高考真题数列篇Word格式文档下载.docx
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（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0．若p＜q，求证：
am0＜an0；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的
递增子列末项的最小值为2s﹣1，且长度为s末项为2s﹣1的递增子列恰有2s﹣1个（s
＝1，2，…），求数列{an}的通项公式．
n245321n
（1）已知等比数列{a}（n∈N*）满足：
aa＝a，a﹣4a+4a＝0，求证：
数列{a}
为“M﹣数列”；
（2）已知数列{b}（n∈N*）满足：
b＝1，1=2−2
，其中S为数列{b}的前n
n
项和．
1
Snbn
bn+1
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
＝3bn﹣an﹣4．
（1）证明：
{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
（1）若{an}为等差数列，且a4＝15，求Sn；
（2）若{an}为等比数列，且limSn＜12，求公比q的取值范围．
n→∞
IAT大象老师2019年高考真题数列篇
【考点】8H：
数列递推式．
【专题】11：
计算题；
35：
转化思想；
49：
综合法；
55：
点列、递归数列与数学归纳法；
62：
逻辑推理．
【分析】对于B，令2
10，得λ=1，取𝑎
=1，得到当b=1时，a
＜10；
𝑥
−𝜆
+=
212410
110
对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a＝2，得到当b＝﹣2时，a＜10；
对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得𝜆
=1±
√17，取𝑎
=1+√17，得到当b＝﹣4时，a
对于A，
211
212
21213
10
4232191
𝑎
2=𝑎
+≥，𝑎
=（𝑎
22
+）+≥
，𝑎
+𝑎
42
+=
162
17＞1，当n≥4时，𝑎
𝑛
+1=a+2＞11
3，由此推导出𝑎
10＞（3）6，从而a
＞729
16𝑎
n+=
22
4264
＞10．
【解答】解：
对于B，令𝑥
−𝜆
+1
=0，得λ=1，
取𝑎
=1，∴𝑎
=1，⋯，𝑎
=1＜10，
1222𝑛
2
∴当b=1时，a
＜10，故B错误；
对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，
∴当b＝﹣2时，a10＜10，故C错误；
=1±
√17，
=1+√17，∴𝑎
=1+√17，…，𝑎
=1+√17＜10，
∴当b＝﹣4时，a10＜10，故D错误；
对于A，𝑎
=𝑎
2+≥
1，𝑎
2+1
+1≥3，24
42321
9117
4=（𝑎
+）+≥+=＞1，
4216216
an+1﹣an＞0，{an}递增，
当n≥4时，𝑎
+1=a+2＞113，
𝑎
5＞3
4＞3
52
∴⋅，∴𝑎
10＞（3）6，∴a＞729＞10．故A正确．
⋅
⋅
10＞3
{𝑎
92
故选：
A．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题．
【考点】88：
等比数列的通项公式．
【专题】34：
方程思想；
54：
等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{an}的公比为q（q＞0），根据条件可得
1+𝑎
1𝑞
+𝑎
2+𝑎
3=15
{
=3𝑎
+4𝑎
，解方程即可．
设等比数列{an}的公比为q（q＞0），则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有
1=1
，∴{，
𝑞
=2
∴𝑎
3=22=4，故选：
C．
【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了方程思想，属基础题．
【考点】83：
等差数列的性质；
85：
等差数列的前n项和．
34：
【分析】根据题意，设等差数列{a}的公差为d，则有4𝑎
1+6𝑑
=0，求出首项和公
差，然后求出通项公式和前n项和即可．
设等差数列{an}的公差为d，由S4＝0，a5＝5，得
1+4𝑑
=5
4𝑎
=0𝑎
1=−3
𝑑
∴an＝2n﹣5，𝑆
=𝑛
2−4𝑛
，
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．
【考点】84：
等差数列的通项公式．
【分析】{an}为等差数列，a2＝2，a3＝3可求d，将d代入等差数列的通项公式，即可求a5
{an}为等差数列，因为所以d＝1，a3﹣a2＝1，所以a5＝a3+2d＝5，故选：
B．
【点评】本题考查等差数列的项的计算，属基础题．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【考点】87：
等比数列的性质．
【专题】14：
证明题；
【分析】根据等比数列的通项公式，分别验证即可．
{an}为等比数列，设其公比为q，则通项为𝑎
−1，所以对于①，2an是以2a1为首项，以q为公比的等比数列，
对于②，𝑎
−12
对于③，2𝑎
2𝑎
−1
=𝑞
2为常数，又因为𝑎
12≠0，故②为等比数列，
=2𝑎
−𝑎
−1，不一定为常数，
对于④，𝑙
𝑜
𝑔
2|𝑎
|
𝑙
−1|
=𝑙
|𝑎
−1|，不一定为常数，
−2|
【点评】本题查了等比数列的判断，属于基础题．
二．填空题（共7小题）
nnnn5
16
【专题】33：
函数思想；
【分析】由已知数列递推式可得数列{a}是等比数列，且𝑎
=1，𝑞
=1，再由等比数
列的前n项和公式求解．
由Sn+an＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，
且Sn﹣1+an﹣1＝2（n≥2），②
①﹣②得：
1（n≥2）．
=2𝑎
∴数列{a}是等比数列，且𝑎
=1．
15
∴𝑆
5
1×
[1−（）]
=2=
1−1
31．
故答案为：
【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．
【考点】85：
【分析】由已知求得首项与公差，代入等差数列的前n项和公式求解．
在等差数列{a}中，由a＝5，a＝13，得d=𝑎
7−𝑎
3=13−5=2，
n37
7−34
∴a1＝a3﹣2d＝5﹣4＝1．
则𝑆
=10×
1+10×
9×
2=100．
100．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题．
nn1
21
𝑆
【分析】根据a＝3a，可得公差d＝a，然后利用等差数列的前n项和公式将𝑆
10用
a1表示，化简即可．
设等差数列{an}的公差为d，则由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1，
10=10（𝑎
1+𝑎
10）
55（𝑎
5）
=2（2𝑎
1+9𝑑
）
1+4𝑑
1+18𝑎
1）=4，
1+8𝑎
4．
【点评】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础题．
Sn的最小值为﹣10．
等差数列的通项公式；
4O：
定义法；
等差数列与等比数列；
逻辑推理．
【分析】利用等差数列{an}的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出a1＝﹣4，
d＝1，由此能求出a5的Sn的最小值．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝﹣3，S5＝﹣10，
1+𝑑
=−3
∴{5𝑎
+5×
4，
=−10
解得a1＝﹣4，d＝1，
∴a5＝a1+4d＝﹣4+4×
1＝0，
S=𝑛
+𝑛
（𝑛
−1）𝑑
=−4n+𝑛
−1）=1（n−9）2−81，
22228
∴n＝4或n＝5时，Sn取最小值为S4＝S5＝﹣10．故答案为：
0，﹣10．
【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
34
48
【考点】89：
等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解
∵等比数列{a}的前n项和，a＝1，S=3，
n13
∴q≠1，1−𝑞
3=3，
1−𝑞
4
整理可得，𝑞
+𝑞
=0，
解可得，q=−1，
则S4=
1−1
16
1+18
8
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
S9＝27，则S8的值是16．
【分析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
（𝑎
）（𝑎
）+𝑎
1+7𝑑
=0
则{
1=−5
9𝑎
+9×
8𝑑
=27，解得{．
12𝑑
=8𝑎
+8×
7𝑑
=6×
（﹣5）+15×
2＝16．
16．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．
nn1465
33
【专题】38：
对应思想；
【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．
4611
在等比数列中，由a2＝a，得q6a2＝q5a＞0，即q＞0，q＝3，
1（1−35）
则S5=3=
1−3
121
121，
【点评】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键．
1，𝑛
为奇数，
𝑏
，𝑛
为偶数．
【考点】8E：
数列的求和；
8H：
65：
数学运算．
【分析】
（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n项和的求解{an}和{bn}的通项公式即可．
（Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．
（Ⅰ）{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0．设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，q＞0．
由题意可得：
3q＝3+2d①；
3q2＝15+4d②解得：
d＝3，q＝3，
故a＝3+3（n﹣1）＝3n，b＝3×
3n﹣1＝3n
（Ⅱ）数列{cn}满足cn={，
为偶数
11222n2n
ac+ac+…+ac（n∈N*）
＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn）
＝[3n+𝑛
−1）×
6]+（6×
3+12×
32+18×
33+…+6n×
3n）
＝3n2+6（1×
3+2×
32+…+n×
令T＝（1×
3n）①，则3T＝1×
32+2×
33+…+n3n+1②，
②﹣①得：
2T＝﹣3﹣32﹣33…﹣3n+n3n+1
＝﹣3×
1−3𝑛
+n3n+1
=（2𝑛
−1）3𝑛
+1+3；
故ac+ac+…+ac
＝3n2+6T=（2𝑛
+2+6𝑛
2+9（n∈N*）
2n2nn
【点评】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．
（Ⅱ）记cn=√𝑎
，n∈N*，证明：
c1+c2+…+cn＜2√𝑛
，n∈N*．
2𝑏
【考点】8I：
数列与函数的综合．
63：
数学建模．
（Ⅰ）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出a1＝0，d
nnn+1nnnn+2n
＝2，从而a＝2n﹣2，n∈N*．S＝n2﹣n，n∈N*，利用（S+b）2＝（S+b）（S+b），能求出bn．
（Ⅱ）𝑐
=√𝑎
=√2𝑛
−2
=√𝑛
，n∈N*，用数学归纳法证明，得到c+c+…
12
2𝑏
2𝑛
+1）
+cn＜2√𝑛
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由题意得𝑎
1+2𝑑
=4
{，
1+3𝑑
=3𝑎
解得a1＝0，d＝2，
∴a＝2n﹣2，n∈N*．
∴S＝n2﹣n，n∈N*，
nnnn+1nn+2n
∵数列{b}满足：
对每个n∈N*，S+b，S+b，S+b成等比数列．
n+1nnnn+2n
∴（S+b）2＝（S+b）（S+b），
解得1
2−𝑆
𝑆
），
=𝑑
（𝑆
+1
𝑛
+2
解得b＝n2+n，n∈N*．
（Ⅱ）证明：
𝑐
，n∈N*，
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立；
12k
②假设n＝k，（k∈N*）时不等式成立，即c+c+…+c＜2√𝑘
则当n＝k+1时，
c1+c2+…+ck+ck+1＜2√𝑘
+√𝑘
（𝑘
+1）（𝑘
+2）
＜2√𝑘
+√1
𝑘
+2
√𝑘
+1+√𝑘
=2√𝑘
+2（√𝑘
+1−√𝑘
）=2√𝑘
+1，
即n＝k+1时，不等式也成立．
由①②得c1+c2+…+cn＜2√𝑛
【点评】本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力．
有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1
【考点】8B：
数列的应用；
8I：
数列与函数的综合；
CG：
离散型随机变量及其分布列．
5I：
概率与统计．
（1）由题意可得X的所有可能取值为﹣1，0，1，再由相互独立试验的概率求P（X＝﹣1），P（X＝0），P（X＝1）的值，则X的分布列可求；
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