高等数学下册试题题库及参考答案汇编.docx
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高等数学下册试题题库及参考答案汇编
A）
9
D）{-1,-1,6}.
c=a-b;（A）
）-2i-j+5k
；）
D）
因此，所求夹角
1
=arccos-
2
高等数学下册试题库
亠、选择题（每题4分，共20分）
1.已知A（1,0,2）,B（1,2,1）是空间两点，向量AB的模是：
（
A）5B）3C）6D）
解AB={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，
|AB|=0^（_1）■■'5.
2.设a={1,-1,3},b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：
（B）
A）{-1,1,5}.B）{-1,-1,5}.C）{1,-1,5}.
解
（1）c=3a-2b=3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.
3.设a={1,-1,3},b={2,1,-2}，求用标准基i,j,k表示向量
A）-i-2j+5kB）-i-j+3kC）-i-j+5kD
解c={-1,-2,5}=-i-2j+5k.
4.求两平面x角"-3=0和2xyz^0的夹角是：
（（
A）：
B）T
24
解由公式（6-21）有
cos=
|1汉2+2汉1十（_1）疋1
1222（-1）2.221212
是：
（D）
便得到所求的
5.求平行于z轴，且过点M1（1,0,1）和M2（2,-1,1）的平面方程.
A）2x+3y=5=0B）x-y+1=0
C）x+y+1=0D）xy"=0.
解由于平面平行于z轴，因此可设这平面的方程为
AxByD=0
因为平面过M1、M2两点，所以有
"A+D=0
ZA_B+D=0
解得A二-D,B二-D，以此代入所设方程并约去D（D=0）,平面方程
xy-1=0
6.微分方程xyy"+x（y"3-y4y"=0的阶数是（D）。
A.3B.4C.5D.2
7•微分方程<-x2<-x5=1的通解中应含的独立常数的个数为（A）0
A.3B.5C.4D.2
8•下列函数中，哪个是微分方程dy—2xdx=0的解（B）。
A.y=2xB.y=x2C.y=-2xD.y=-x
2
9.微分方程y'=3y3的一个特解是（B）。
3323
A.y=x1B.y=x2C.y二xCD.y=C1x
10.函数y二cosx是下列哪个微分方程的解（C）o
A.yy=0B.y2y=0C.yny=0D.yy二cosx
11.y二C1e—C2e»是方程厂-y=0的（A），其中G,C?
为任意常数。
A.通解B.特解C.是方程所有的解D.上述都不对
12.y~y满足y|x£=2的特解是（B）。
x
A.y=ex1B.y=2exC.y=2e2D.y=3ex
13.微分方程y”•y二sinx的一个特解具有形式（C）。
**
A.y二asinxB.y=acosx
C.y*二xasinxbcosxD.y*=acosxbsinx
14.下列微分方程中，（A）是二阶常系数齐次线性微分方程。
A.y-2y=0B.y-xy3y2=0
C.5y-4x=0D.y-2y1=0
15.微分方程y：
y=0满足初始条件y0=1的特解为（A）。
A.exB.ex-1C.ex1D.2-ex
16.在下列函数中，能够是微分方程y：
y=0的解的函数是（C）o
A.y=1B.y=xC.y=sinxD.y=ex
17.过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程y二yx应满足的关系是（C）
A.y=2xB.y=.2xC.y=2x,y1i=3D.yJ2x,
18.下列微分方程中，可分离变量的是（B）。
A.dyy=eB.dy=kx-ab-y（k,a,b是常数）dxxdx
C.dy-siny二xD.yxy=y2exdx
19.方程厂-2y=0的通解是（C）。
2x2xx
A.y=sinxB.y=4eC.y=CeD.y=e
20.微分方程dx-dx-0满足y|x卫=4的特解是（A）。
yx一
A.x2y2=25B
.3x4y=C
C.
x2y2二CD.x2_y2=7
21.微分方程dy-1
•y=0的通解是
y=（B
）。
dxx
C
A.—B.Cx
1
C.-C
D.
xC
x
x
22.微分方程y*y=
0的解为（B）
。
A.exB.e"
C.ex「
D.
x
-e
23.下列函数中，为微分方程xdx•ydy=0的通解是（B）。
222
A.xy=CB.xy二CC.Cxy=0D.Cxy=0
24.微分方程2ydy-dx=0的通解为（A）。
A.y2-x=CB.y-.x=CC.y=xCD.y=-xC
25.微分方程cosydy二sinxdx的通解是（D）。
A.sinxcosy二CB.cosy「sinx=C
C.cosx「siny=CD.cosxsiny=C
26.y二e"的通解为y=（C）。
A.-e^B.e"C.e^C,xC2D.-e^C,xC2
27.按照微分方程通解定义，y”二sinx的通解是（A）。
A.-sinxC1xC2B
-sinxC1C2
C.sinxCixC2D
sinxCiC2
一、单项选择题
2.设函数fx,y在点xo,y°处连续是函数在该点可偏导的（D）
（A）充分而不必要条件；（B）必要而不充分条件；
（C）必要而且充分条件；（D）既不必要也不充分条件•
3.函数fx,y在点x°,y°处偏导数存在是函数在该点可微分的（B）.
（A）充分而不必要条件；（B）必要而不充分条件；
（C）必要而且充分条件；（D）既不必要也不充分条件•
4
A.
B.
.对于二元函数z=f（x,y）,下列结论正确的是（）.C
若limf（x,y）二A,则必有limf（x,y）=A且有limf（x,y）二A;
^x0^x0iy°
y“0
若在（X0,y°）处W和三都存在,则在点（x°,y°）处z=f（x,y）可微;dxdy
C.
若在（x0,y0）处2和气存在且连续，则在点（“）处“
f（x,y）可微;
-2-2-2
d.若z和z都存在，则•z
:
x:
y:
x
-2
cz
—H2.
:
y
6.向量a=3,-1,-2,b二1,2,-1,
（A）3（B）
（C）-2（D）2
-3
5•已知三点（1,2,1）,A（2,1,1）,B（2,1,2）
（A）-1；（B）1
（C）0;（D）2
，贝UMMAB=
6.已知三点M（0,1,1）,A（2,2,1）,（B）
B（2,1,3）
TT
则|MAAB|=
（A）
（C）
-2;
2；（D）-2;
（B）
22
7
.设D
为园域xy<2ax（a0）,
化积分F（x,y）d二为二次积分的正确
n
方法
是
D
2aa
2a:
2ax
A.
0dx」（x,y）dyB.
20叭
f（x,y）dy
a2acos-i
C.
0d〔1f（「cosj,「sin旳
2acos71
D.2drf（「cosn「sin
"2
3Inx»、，，、
8.设Idx0f（x,y）dy,改变积分次序，则I=.B
In3eyln33
A.0dy0f（x,y）dxB.°dy「f（x,y）dx
ln333Inx
C.0dy0f（x,y）dxD.’dy0f（x,y）dx
cos71
9.二次积分f（Pcos日，Psin日）PdP可以写成.D
IJy-y1J-y
A.0dy0f（x,y）dxB.0dy0f（x,y）dx
II1彳X—x
C.0dx0f（x,y）dyD.°dx0f（x,y）dy
10.设■■是由曲面xy2=2z及z=2所围成的空间区域，在柱面坐标系
下将三重积分
I=f（x,y,z）dxdydz表示为三次积分，I二.C
2兀1—
A.dd「2f（「cosv,『sinr,z）dz
SS5\77
2兀2£
B.di!
d'2f（'cosd「sinpz）;?
dz
J0J0J0v111
QO
14.幕
级数nxn
的收径半径
na
（D）
（A）3
（B）0
（C）2
（D）1
11•设L为xOy面内直线段，其方程为则
（C）
（A）a
（C）0
L:
x=a,c_y_d,
Px,ydx-
L
（B）c
（D）d
12.设L为xOy面内直线段，其方程为（C）
（A）a
（C）0
□0
13.
设有级数
7Un,则
n经
（D）
（A）
充分条件；
（B）
（C）
既不充分也不必要条件；
L
（B）c
（D）
d
limun=0
是级数收敛的
n:
.
充分必要条件；
（D）
必要条件；
L:
y=a,c岂x乞d，贝UPx,ydy
15.幕
级数
M1
x
nTn
（A）
（A）1
（B）0
（C）2
（D）
3
的收敛半径R=
oO
QO
则、
n=0
anXn2的收敛半径为
16.若幕级数vanxn
的收敛半径为R,
n=0
（A
）
（A）
R
（B）
R2
（C）
（D）
无法求得
17.
若nim：
Un=0,
CO
则级数"Un（
nd
A.收敛且和为B.
C.发散
D.
收敛但和不一定为
可能收敛也可能发散
18.若un为正项级数,则（）
n4
oO
QO
QO
A.若limun=0,
则vUn收敛B.
若7Un收敛,则7Uf收敛
n_sc
n4
n-1
n~1
B
oOcd
aO
c.若vu2，则v
un也收敛D.
若un发散,
则limun=0
n=1n三
n3
19.设幕级数「Cnxn
在点x=3处收敛,
则该级数在点
x--1处（）
n4
A
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定
20.级数二Sin^X（x=0）,则该级数（）B
nmn!
A.是发散级数B.是绝对收敛级数
C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散
1、填空题（每题
1.a巾=
答案
1a1
?
lb
A
lcos（a,b）
2.a=（ax,
ay,az
0,
b=（bx,by,zbz）则a•
答案axbx+ayby+azbz
3.a
~—
i
j
k
答案
ax
ay
az
bx
by
bz
4.[abc]
—
ax
ay
az
答案
bx
by
bz
Cx
Cy
Cz
b=
5.平面的点法式方程是
4分，
（公式）
共20分）
（计算）
答案A（x-Xo）B（y-y°）C（z-z°）=0
22
6•设z=arCSinX」，其定义域为（'x,yx2y2叮,y•、x_0：
）
门-x
Isinx2y
xy=0
7.设f（x,y）才xy，则fx（0,1）=（fx（0,1）=1）
i0xy=0
8.fx,y在点x,y处可微分是fx,y在该点连续的的条件，fx,y在点x,y
处连续是fx,y在该点可微分的的条件.（充分，必要）
9.z二fx,y在点x,y的偏导数—及三存在是fx,y在该点可微分的条件.（必
&cy
要）
10.在横线上填上方程的名称
1y_3Jnxdx_xdy=0方程的名称是
答案可分离变量微分方程；
2xy2■xdx■y「x2ydy二0方程的名称是
答案可分离变量微分方程；
3xdy=yln-方程的名称是
dxx
答案齐次方程；
4xy'yx2sinx方程的名称是
答案一阶线性微分方程；
5y：
y•-2y=0方程的名称是
答案二阶常系数齐次线性微分方程•
11.在空间直角坐标系｛O;i,j,k｝下，求P（2,-3,—1）,M（a,b,c）关于
（1）坐标平面；
（2）坐标轴；（3）坐标原点的各个对称点的坐标.
［解］:
M（a,b,c）关于xOy平面的对称点坐标为（a,b,—c）,
M（a,b,c）关于yOz平面的对称点坐标为（—a,b,c）,
M（a,b,c）关于xOz平面的对称点坐标为（a,—b,c）,
M（a,b,c）关于x轴平面的对称点坐标为（a,—b,—c）,
M（a,b,c）关于y轴的对称点的坐标为（—a,b,—c）,
M（a,b,c）关于z轴的对称点的坐标为（一a,—b,c）.
类似考虑P（2,—3,—1）即可.
12.要使下列各式成立，矢量a,b应满足什么条件？
（1）
a+6
=<
a—b；
（2）
a+b
（3）
a+b
=<
aTbl；
（4）
—»T
a_b
（5）
—»T
a_b
=<
计.
［解］:
（1）
a,b所在的直线垂直时有
a
=a+冃；
bl；
（2）a,b同向时有a+b=a+”t
（3）a绢,且a,b反向时有a+b|=a—b;
（4）a,b反向时有a—b=a+甘
（5）a,b同向，且a^b时有|a-b=a-b
13•下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点;
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点
［解］:
（1）单位球面；
（2）单位圆
（3）直线；（4）相距为2的两点
二、填空题
1•设f（x,y）=sinx+（y_1）In（x2+y2），则f「（0,1）=1_
2.设f（x,y）=cosx+（y-1）n（x2+y2），贝Ufx（0,1）=0
3•二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是
Ilfx,ydxdy二f'cos6'sin；i'dd-
DD
4.三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是
hifx,y,zdxdydz二H：
cos,「sin,z岸d'dz
5.柱面坐标下的体积元素—dvldd^dz
6.设积分区域D:
x2y2-a2,且.i.idxdy=9二，则a=3。
D
7.设D由曲线｝=asinv,-—a所围成
则iidxdy=
D
一二a
22
8.设积分区域D为1D
1
9.设f（x,y）在［0,1］上连续，如果J。
f（x）dx=3,
11
则0dx0fxfydy=9
10•设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则
xyds=2.
L
11•设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，
贝UJ（x-y）ds=.0
L
12.
等比级数「aq
n=4
（a=0）当
q<1时，等比级数
□a
'aq
n-1
收敛.
13•当_P"_时,
p-级数二
n-A
14.当
两n11
时,级数v-1--是绝对收敛的.
np
15.若f（x,y）=
fx（2,1）=
fy（1,y）=
3y2
17.设u=zxy,则du=
zxy
yinxdxxInzdy
翌dz
z
Iny（lny-1）inx
2y
x
-2
18.设z=J"*，贝U2=
ex
222
19.积分0dx^e^dy的值等于
*2），
20.设D为园域x+y2"2,若（J（x2+y2）dxdy=5,则a=.2
D
21.设I=出2dxdydz,其中0:
x2+y2+z2兰a：
z迫则I=
Q
三、是非题侮题4分，共20分）
1.初等函数的定义域是其自然定义域的真子集•（X）
sinx,
2.lim1.（x）
xx
「x—22
3.lim.（x）
x；：
x33
4.对于任意实数x,恒有sinx^x成立.（x）
5.y=Ox是指数函数.（x）
6.函数y=logax0：
：
：
a：
：
：
1的定义域是0」心］;.（x）
7.log23log32=1.（V）
8.如果对于任意实数R,恒有「x=0,那么y二fx为常函数.（V）
9.存在既为等差数列，又为等比数列的数列.（V）
10.指数函数是基本初等函数.（V）
11.lim0.（V）
X—X
32
12.函数y=x3x4为基本初等函数.（V）
1U
13.xadxxaC.（x）
”a+1
14.arcsinx"•弋［是基本初等函数.（x）
15.sinx与x是等价无穷小量.（x）
16.ex-1与x为等价无穷小量.（x）
17.若函数fx在区间La,b1上单调递增，那么对于任意xIa,b,恒有「x0.
（x）
18.存在既为奇函数又为偶函数的函数.（x）
19.当奇函数fx在原点处有定义时，一定成立f0i；=0.（V）
20.若偶函数y=fxx1-1,1连续，那么函数y=fxx•-1,1为奇函数.
（v
21.
（v
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
）
若奇函数y=fxx：
=【1,11连续，那么函数y二Fxx1,1为偶函数.
偶函数与奇函数的乘积为奇函数.（V）
奇函数与奇函数的乘积为偶函数.（V）
若函数fx为奇函数，那么一定成立f0=0.（V
若函数fx为偶函数，那么一定成立「0=0.（
sinx二二cosx.（x）
sinxcosx=sin2x.（x）
r
xx
aa.（x）
sinxx二-sinx.（x）
单调函数一定存在最大值与最小值.（X）
单调函数一定存在反函数.（V）
互为反函数的两个函数的图像关于直线y二x对称.（V）
若定义域为1.0,1丨的函数fx存在反函数，那么fx在区间〔0,1〕上单调.（V）
limjJ（V
—2n212
对于任意的a,bR，恒有a•b一2；ab.（V）
函数的三要素为：
定义域，对应法则与值域.（V）
若函数fx在其定义域内处处有切线，那么该函数在其定义域内处处可导.（x）
空集是任意初等函数的定义域的真子集.（X）
-bo
二sin"x为初等函数.（x）
i=0
对于任意的x•R,恒有x•1-2x.（X）
左右导数处处存在的函数，一定处处可导.（X）
F列题（1.x；2.x；3.V；4.x；5.V）
1•任意微分方程都有通解。
（x）
2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
（x）
3.函数y=3sinx-4cosx是微分方程y丫二0的解。
（V）
4.函数y=x2・ex是微分方程y”-2y：
y=0的解。
（x）
12
5.微分方程xy"-lnx=0的通解是y=—（lnx）+C（C为任意常数）。
（V）
2
F列是非题（1.x；2.V；3.V；4.x；5.x）
1.可分离变量微分方程不都是全微分方程。
（）
2.若y1x,y2x都是y'Pxy=Qx的特解，且％x与y?
x线性无关,
则通解可表为yxy1xCIy1x-y2x1。
（）
3.函数y=e"+eQX是微分方程y（人+九2y+和一2y=0的解。
（）
4.曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微
分方程是y'x2・C（c是任意常数）。
（）
1
5.微分方程yJeZ，满足初始条件ylx£=0的特解为e^-e2x1。
（）
2
是非题（1.x；2.V;）
1.只要给出n阶线性
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