高等数学下册试题题库及参考答案汇编.docx
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高等数学下册试题题库及参考答案汇编
A)
9
D){-1,-1,6}.
c=a-b;(A)
)-2i-j+5k
;)
D)
因此,所求夹角
1
=arccos-
2
高等数学下册试题库
亠、选择题(每题4分,共20分)
1.已知A(1,0,2),B(1,2,1)是空间两点,向量AB的模是:
(
A)5B)3C)6D)
解AB={1-1,2-0,1-2}={0,2,-1},
|AB|=0^(_1)■■'5.
2.设a={1,-1,3},b={2,-1,2},求c=3a-2b是:
(B)
A){-1,1,5}.B){-1,-1,5}.C){1,-1,5}.
解
(1)c=3a-2b=3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.
3.设a={1,-1,3},b={2,1,-2},求用标准基i,j,k表示向量
A)-i-2j+5kB)-i-j+3kC)-i-j+5kD
解c={-1,-2,5}=-i-2j+5k.
4.求两平面x角"-3=0和2xyz^0的夹角是:
((
A):
B)T
24
解由公式(6-21)有
cos=
|1汉2+2汉1十(_1)疋1
1222(-1)2.221212
是:
(D)
便得到所求的
5.求平行于z轴,且过点M1(1,0,1)和M2(2,-1,1)的平面方程.
A)2x+3y=5=0B)x-y+1=0
C)x+y+1=0D)xy"=0.
解由于平面平行于z轴,因此可设这平面的方程为
AxByD=0
因为平面过M1、M2两点,所以有
"A+D=0
ZA_B+D=0
解得A二-D,B二-D,以此代入所设方程并约去D(D=0),平面方程
xy-1=0
6.微分方程xyy"+x(y"3-y4y"=0的阶数是(D)。
A.3B.4C.5D.2
7•微分方程<-x2<-x5=1的通解中应含的独立常数的个数为(A)0
A.3B.5C.4D.2
8•下列函数中,哪个是微分方程dy—2xdx=0的解(B)。
A.y=2xB.y=x2C.y=-2xD.y=-x
2
9.微分方程y'=3y3的一个特解是(B)。
3323
A.y=x1B.y=x2C.y二xCD.y=C1x
10.函数y二cosx是下列哪个微分方程的解(C)o
A.yy=0B.y2y=0C.yny=0D.yy二cosx
11.y二C1e—C2e»是方程厂-y=0的(A),其中G,C?
为任意常数。
A.通解B.特解C.是方程所有的解D.上述都不对
12.y~y满足y|x£=2的特解是(B)。
x
A.y=ex1B.y=2exC.y=2e2D.y=3ex
13.微分方程y”•y二sinx的一个特解具有形式(C)。
**
A.y二asinxB.y=acosx
C.y*二xasinxbcosxD.y*=acosxbsinx
14.下列微分方程中,(A)是二阶常系数齐次线性微分方程。
A.y-2y=0B.y-xy3y2=0
C.5y-4x=0D.y-2y1=0
15.微分方程y:
y=0满足初始条件y0=1的特解为(A)。
A.exB.ex-1C.ex1D.2-ex
16.在下列函数中,能够是微分方程y:
y=0的解的函数是(C)o
A.y=1B.y=xC.y=sinxD.y=ex
17.过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程y二yx应满足的关系是(C)
A.y=2xB.y=.2xC.y=2x,y1i=3D.yJ2x,
18.下列微分方程中,可分离变量的是(B)。
A.dyy=eB.dy=kx-ab-y(k,a,b是常数)dxxdx
C.dy-siny二xD.yxy=y2exdx
19.方程厂-2y=0的通解是(C)。
2x2xx
A.y=sinxB.y=4eC.y=CeD.y=e
20.微分方程dx-dx-0满足y|x卫=4的特解是(A)。
yx一
A.x2y2=25B
.3x4y=C
C.
x2y2二CD.x2_y2=7
21.微分方程dy-1
•y=0的通解是
y=(B
)。
dxx
C
A.—B.Cx
1
C.-C
D.
xC
x
x
22.微分方程y*y=
0的解为(B)
。
A.exB.e"
C.ex「
D.
x
-e
23.下列函数中,为微分方程xdx•ydy=0的通解是(B)。
222
A.xy=CB.xy二CC.Cxy=0D.Cxy=0
24.微分方程2ydy-dx=0的通解为(A)。
A.y2-x=CB.y-.x=CC.y=xCD.y=-xC
25.微分方程cosydy二sinxdx的通解是(D)。
A.sinxcosy二CB.cosy「sinx=C
C.cosx「siny=CD.cosxsiny=C
26.y二e"的通解为y=(C)。
A.-e^B.e"C.e^C,xC2D.-e^C,xC2
27.按照微分方程通解定义,y”二sinx的通解是(A)。
A.-sinxC1xC2B
-sinxC1C2
C.sinxCixC2D
sinxCiC2
一、单项选择题
2.设函数fx,y在点xo,y°处连续是函数在该点可偏导的(D)
(A)充分而不必要条件;(B)必要而不充分条件;
(C)必要而且充分条件;(D)既不必要也不充分条件•
3.函数fx,y在点x°,y°处偏导数存在是函数在该点可微分的(B).
(A)充分而不必要条件;(B)必要而不充分条件;
(C)必要而且充分条件;(D)既不必要也不充分条件•
4
A.
B.
.对于二元函数z=f(x,y),下列结论正确的是().C
若limf(x,y)二A,则必有limf(x,y)=A且有limf(x,y)二A;
^x0^x0iy°
y“0
若在(X0,y°)处W和三都存在,则在点(x°,y°)处z=f(x,y)可微;dxdy
C.
若在(x0,y0)处2和气存在且连续,则在点(“)处“
f(x,y)可微;
-2-2-2
d.若z和z都存在,则•z
:
x:
y:
x
-2
cz
—H2.
:
y
6.向量a=3,-1,-2,b二1,2,-1,
(A)3(B)
(C)-2(D)2
-3
5•已知三点(1,2,1),A(2,1,1),B(2,1,2)
(A)-1;(B)1
(C)0;(D)2
,贝UMMAB=
6.已知三点M(0,1,1),A(2,2,1),(B)
B(2,1,3)
TT
则|MAAB|=
(A)
(C)
-2;
2;(D)-2;
(B)
22
7
.设D
为园域xy<2ax(a0),
化积分F(x,y)d二为二次积分的正确
n
方法
是
D
2aa
2a:
2ax
A.
0dx」(x,y)dyB.
20叭
f(x,y)dy
a2acos-i
C.
0d〔1f(「cosj,「sin旳
2acos71
D.2drf(「cosn「sin
"2
3Inx»、,,、
8.设Idx0f(x,y)dy,改变积分次序,则I=.B
In3eyln33
A.0dy0f(x,y)dxB.°dy「f(x,y)dx
ln333Inx
C.0dy0f(x,y)dxD.’dy0f(x,y)dx
cos71
9.二次积分f(Pcos日,Psin日)PdP可以写成.D
IJy-y1J-y
A.0dy0f(x,y)dxB.0dy0f(x,y)dx
II1彳X—x
C.0dx0f(x,y)dyD.°dx0f(x,y)dy
10.设■■是由曲面xy2=2z及z=2所围成的空间区域,在柱面坐标系
下将三重积分
I=f(x,y,z)dxdydz表示为三次积分,I二.C
2兀1—
A.dd「2f(「cosv,『sinr,z)dz
SS5\77
2兀2£
B.di!
d'2f('cosd「sinpz);?
dz
J0J0J0v111
QO
14.幕
级数nxn
的收径半径
na
(D)
(A)3
(B)0
(C)2
(D)1
11•设L为xOy面内直线段,其方程为则
(C)
(A)a
(C)0
L:
x=a,c_y_d,
Px,ydx-
L
(B)c
(D)d
12.设L为xOy面内直线段,其方程为(C)
(A)a
(C)0
□0
13.
设有级数
7Un,则
n经
(D)
(A)
充分条件;
(B)
(C)
既不充分也不必要条件;
L
(B)c
(D)
d
limun=0
是级数收敛的
n:
.
充分必要条件;
(D)
必要条件;
L:
y=a,c岂x乞d,贝UPx,ydy
15.幕
级数
M1
x
nTn
(A)
(A)1
(B)0
(C)2
(D)
3
的收敛半径R=
oO
QO
则、
n=0
anXn2的收敛半径为
16.若幕级数vanxn
的收敛半径为R,
n=0
(A
)
(A)
R
(B)
R2
(C)
(D)
无法求得
17.
若nim:
Un=0,
CO
则级数"Un(
nd
A.收敛且和为B.
C.发散
D.
收敛但和不一定为
可能收敛也可能发散
18.若un为正项级数,则()
n4
oO
QO
QO
A.若limun=0,
则vUn收敛B.
若7Un收敛,则7Uf收敛
n_sc
n4
n-1
n~1
B
oOcd
aO
c.若vu2,则v
un也收敛D.
若un发散,
则limun=0
n=1n三
n3
19.设幕级数「Cnxn
在点x=3处收敛,
则该级数在点
x--1处()
n4
A
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定
20.级数二Sin^X(x=0),则该级数()B
nmn!
A.是发散级数B.是绝对收敛级数
C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散
1、填空题(每题
1.a巾=
答案
1a1
?
lb
A
lcos(a,b)
2.a=(ax,
ay,az
0,
b=(bx,by,zbz)则a•
答案axbx+ayby+azbz
3.a
~
—
i
j
k
答案
ax
ay
az
bx
by
bz
4.[abc]
—
ax
ay
az
答案
bx
by
bz
Cx
Cy
Cz
b=
5.平面的点法式方程是
4分,
(公式)
共20分)
(计算)
答案A(x-Xo)B(y-y°)C(z-z°)=0
22
6•设z=arCSinX」,其定义域为('x,yx2y2叮,y•、x_0:
)
门-x
Isinx2y
xy=0
7.设f(x,y)才xy,则fx(0,1)=(fx(0,1)=1)
i0xy=0
8.fx,y在点x,y处可微分是fx,y在该点连续的的条件,fx,y在点x,y
处连续是fx,y在该点可微分的的条件.(充分,必要)
9.z二fx,y在点x,y的偏导数—及三存在是fx,y在该点可微分的条件.(必
&cy
要)
10.在横线上填上方程的名称
1y_3Jnxdx_xdy=0方程的名称是
答案可分离变量微分方程;
2xy2■xdx■y「x2ydy二0方程的名称是
答案可分离变量微分方程;
3xdy=yln-方程的名称是
dxx
答案齐次方程;
4xy'yx2sinx方程的名称是
答案一阶线性微分方程;
5y:
y•-2y=0方程的名称是
答案二阶常系数齐次线性微分方程•
11.在空间直角坐标系{O;i,j,k}下,求P(2,-3,—1),M(a,b,c)关于
(1)坐标平面;
(2)坐标轴;(3)坐标原点的各个对称点的坐标.
[解]:
M(a,b,c)关于xOy平面的对称点坐标为(a,b,—c),
M(a,b,c)关于yOz平面的对称点坐标为(—a,b,c),
M(a,b,c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,—b,c),
M(a,b,c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,—b,—c),
M(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(—a,b,—c),
M(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(一a,—b,c).
类似考虑P(2,—3,—1)即可.
12.要使下列各式成立,矢量a,b应满足什么条件?
(1)
a+6
=<
a—b;
(2)
a+b
(3)
a+b
=<
aTbl;
(4)
—»T
a_b
(5)
—»T
a_b
=<
计.
[解]:
(1)
a,b所在的直线垂直时有
a
=a+冃;
bl;
(2)a,b同向时有a+b=a+”t
(3)a绢,且a,b反向时有a+b|=a—b;
(4)a,b反向时有a—b=a+甘
(5)a,b同向,且a^b时有|a-b=a-b
13•下列情形中的矢量终点各构成什么图形?
(1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点;
(2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点;
(3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点;
(4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点
[解]:
(1)单位球面;
(2)单位圆
(3)直线;(4)相距为2的两点
二、填空题
1•设f(x,y)=sinx+(y_1)In(x2+y2),则f「(0,1)=1_
2.设f(x,y)=cosx+(y-1)n(x2+y2),贝Ufx(0,1)=0
3•二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是
Ilfx,ydxdy二f'cos6'sin;i'dd-
DD
4.三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是
hifx,y,zdxdydz二H:
cos,「sin,z岸d'dz
5.柱面坐标下的体积元素—dvldd^dz
6.设积分区域D:
x2y2-a2,且.i.idxdy=9二,则a=3。
D
7.设D由曲线}=asinv,-—a所围成
则iidxdy=
D
一二a
22
8.设积分区域D为1D
1
9.设f(x,y)在[0,1]上连续,如果J。
f(x)dx=3,
11
则0dx0fxfydy=9
10•设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则
xyds=2.
L
11•设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,
贝UJ(x-y)ds=.0
L
12.
等比级数「aq
n=4
(a=0)当
q<1时,等比级数
□a
'aq
n-1
收敛.
13•当_P"_时,
p-级数二
n-A
14.当
两n11
时,级数v-1--是绝对收敛的.
np
15.若f(x,y)=
fx(2,1)=
fy(1,y)=
3y2
17.设u=zxy,则du=
zxy
yinxdxxInzdy
翌dz
z
Iny(lny-1)inx
2y
x
-2
18.设z=J"*,贝U2=
ex
222
19.积分0dx^e^dy的值等于
*2),
20.设D为园域x+y2"2,若(J(x2+y2)dxdy=5,则a=.2
D
21.设I=出2dxdydz,其中0:
x2+y2+z2兰a:
z迫则I=
Q
三、是非题侮题4分,共20分)
1.初等函数的定义域是其自然定义域的真子集•(X)
sinx,
2.lim1.(x)
xx
「x—22
3.lim.(x)
x;:
x33
4.对于任意实数x,恒有sinx^x成立.(x)
5.y=Ox是指数函数.(x)
6.函数y=logax0:
:
:
a:
:
:
1的定义域是0」心];.(x)
7.log23log32=1.(V)
8.如果对于任意实数R,恒有「x=0,那么y二fx为常函数.(V)
9.存在既为等差数列,又为等比数列的数列.(V)
10.指数函数是基本初等函数.(V)
11.lim0.(V)
X—X
32
12.函数y=x3x4为基本初等函数.(V)
1U
13.xadxxaC.(x)
”a+1
14.arcsinx"•弋[是基本初等函数.(x)
15.sinx与x是等价无穷小量.(x)
16.ex-1与x为等价无穷小量.(x)
17.若函数fx在区间La,b1上单调递增,那么对于任意xIa,b,恒有「x0.
(x)
18.存在既为奇函数又为偶函数的函数.(x)
19.当奇函数fx在原点处有定义时,一定成立f0i;=0.(V)
20.若偶函数y=fxx1-1,1连续,那么函数y=fxx•-1,1为奇函数.
(v
21.
(v
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
)
若奇函数y=fxx:
=【1,11连续,那么函数y二Fxx1,1为偶函数.
偶函数与奇函数的乘积为奇函数.(V)
奇函数与奇函数的乘积为偶函数.(V)
若函数fx为奇函数,那么一定成立f0=0.(V
若函数fx为偶函数,那么一定成立「0=0.(
sinx二二cosx.(x)
sinxcosx=sin2x.(x)
r
xx
aa.(x)
sinxx二-sinx.(x)
单调函数一定存在最大值与最小值.(X)
单调函数一定存在反函数.(V)
互为反函数的两个函数的图像关于直线y二x对称.(V)
若定义域为1.0,1丨的函数fx存在反函数,那么fx在区间〔0,1〕上单调.(V)
limjJ(V
—2n212
对于任意的a,bR,恒有a•b一2;ab.(V)
函数的三要素为:
定义域,对应法则与值域.(V)
若函数fx在其定义域内处处有切线,那么该函数在其定义域内处处可导.(x)
空集是任意初等函数的定义域的真子集.(X)
-bo
二sin"x为初等函数.(x)
i=0
对于任意的x•R,恒有x•1-2x.(X)
左右导数处处存在的函数,一定处处可导.(X)
F列题(1.x;2.x;3.V;4.x;5.V)
1•任意微分方程都有通解。
(x)
2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
(x)
3.函数y=3sinx-4cosx是微分方程y丫二0的解。
(V)
4.函数y=x2・ex是微分方程y”-2y:
y=0的解。
(x)
12
5.微分方程xy"-lnx=0的通解是y=—(lnx)+C(C为任意常数)。
(V)
2
F列是非题(1.x;2.V;3.V;4.x;5.x)
1.可分离变量微分方程不都是全微分方程。
()
2.若y1x,y2x都是y'Pxy=Qx的特解,且%x与y?
x线性无关,
则通解可表为yxy1xCIy1x-y2x1。
()
3.函数y=e"+eQX是微分方程y(人+九2y+和一2y=0的解。
()
4.曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方,则曲线所满足的微
分方程是y'x2・C(c是任意常数)。
()
1
5.微分方程yJeZ,满足初始条件ylx£=0的特解为e^-e2x1。
()
2
是非题(1.x;2.V;)
1.只要给出n阶线性