北京高考数学16题 概率与统计专题.docx
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北京高考数学16题概率与统计专题
16.（朝阳区2011本小题共13分）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为
第二轮检测不合格的概率为
两轮检测是否合格相互没有影响．
（I）求该产品不能销售的概率．
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出其均值E（X）．
17．（朝阳区2011本小题共13分）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：
每场投6个球，至少投进4个球且最后．2个球都投进者获奖，否则不获奖，已知教师甲投进每个球的概率都是
（I）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
17．（朝阳区2012本小题共13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
（I）写出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设
表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求
的分布列及其数学期望．
16.（朝阳区2012本小题共13分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2,3，4的4个白球，从中任意取出3个球．
（I）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；
（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．
16．（朝阳区2012本小题共13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．
（I）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；
（Ⅱ）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学人数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．
17．（朝阳区2013本小题共13分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：
成绩等级
A
B
c
D
E
成绩（分）
90
70
60
40
30
人数（名）
4
6
10
7
3
（I）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A或B”的概率；
（Ⅱ）根据（I）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；
（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．
16．（朝阳区2013本小题共13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字-1，O，1，2．称“从盒中随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字后放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（I）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为
试求随机变量
的分布列与数学期望
17．（东城区2011本小题共13分）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：
两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为
乙、丙面试合格的概率都是
且面试是否合格互不影响．
（I）求至少有1人面试合格的概率；
（Ⅱ）求签约人数
的分布列和数学期望，
17．（东城区2011本小题共13分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时，比赛停止的概率为
（I）求p的值；
（Ⅱ）设
表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量
的分布列和数学期望
16.（东城区2012本小题共13分）某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为
一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为
两人租车时间都不会超过三小时．
（I）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量
求
的分布列与数学期望
16.（东城区201本小题共13分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元，两种产品生产的质量相互独立．
（I）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：
万元），求X的分布列；
（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率，
16.（东城区2013本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如下表：
（单位：
人）
优秀
良好
合格
男
180
70
20
女
120
口
30
按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优秀的有30人．，
（I）求a的值；
（Ⅱ）在合格的同学中按男、女分层，得到一个容量为的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．
16.（东城区普通高中示范校2012本小题共13分）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：
（I）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；
（Ⅱ）从40人中任选两名学生，用X表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.
16．（东城区普通高中示范校2013本小题共13分）某地区举办了一次数学知识应用竞赛，有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．
（I）试估计这40名学生成绩的众数；
（Ⅱ）试估计这40名学生的成绩在（72，84]之间的人数；
（Ⅲ）从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在（80，90]之间的概率．
16.（丰台区2011本小题共14分）张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有
两条路线（如图），
路线上有
三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
路线上有
两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
（I）若走
路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走
路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
17．（丰台区2011本小题共13分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：
依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意…‘兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生…‘意”“兴”三个字的球为三等奖．
（I）求分别获得一、二、三等奖的概率；
（Ⅱ）设摸球次数为
求
的分布列和数学期望．
16．（丰台区2012本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：
元）．设奖券上的数字为
的分布列如下表所示，且
的数学期望
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．
17．（丰台区2012本小题共13分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：
分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（I）请根据图中所给数据，求出口的值；
（Ⅱ）从成绩在区间[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在区间[60，70）内的概率；
（Ⅲ）为了了解学生本次考试的得分情况，从成绩在区间[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在区间[60，70）内的人数,求X的分布列和数学期望．
16．（丰台区2013本小题共13分）国家对空气质量的分级规定如下表：
污染指数
0—50
51～100
101～150
151—200
201—300
>300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
134
140
18
73
121
210
40
45
78
23
65
79
207
81
60
142
101
38
163
154
22
27
36
151
49
103
135
20
16
48
根据以上信息，解决下列问题：
（I）写出下面频率分布表中a，b，x，y的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（I）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX．
17.（丰台区2013本小题共13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：
主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．
（I）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和数学期望EX．
16.（海淀区2011本小题共13分）某商场一号电梯从1展出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．
（I）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望，
17.（海淀区2011本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．
（I）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；
（Ⅲ）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率．
16.（海淀区2012本小题共13分）汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
17.（海淀区2012本小题共13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：
（1）投资A项目，一年后获得的利润
（万元）的概率分布列如下表所示：
且
的数学期望
（2）投资B项目，一年后获得的利润
（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p（O的关系如下表所示：
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）求
的分布列；
（Ⅲ）若
则选择投资B项目，求此时P的取值范围．
17.（海淀区2012本小题共13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：
min），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[O，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].
（I）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1h的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20min的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20min的频率作为每名学生上学所需时间少于20min的概率）
16.（海淀区2013本小题共13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：
（1）该福利彩票中奖率为50%；
（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%.
（I）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．
16.（石景山区2011本小题共13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示．
（I）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？
并补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数．
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中逸取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望，
16.（石景山区2012本小题共13分）甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为
乙每次投中的概率为
每人分别进行三次投篮．
（I）记甲投中的次数为
的分布列及数学期望
（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．
16.（石景山区2013本小题共13分）PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标.
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（I）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；
（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标，请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记S表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求亭的分布列及期望．
17．（西城区2011本小题共13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动．
（I）求选出的4名选手均为男选手的概率；
（Ⅱ）记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的分布列和期望．
16.（西城区2011本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为
（I）求甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX.
17.（西城区2012本小题共13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：
指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
（I）试分别估计元件A、元件B为正品的概率．
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下.
（i）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.
17.（西城区2012本小题共13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是
乙能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．
（I）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
16.（西城区2012本小题共13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
（I）求甲以4比1获胜的概率；
（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
（Ⅲ）求比赛局数的分布列
16．（西城区2013本小题共13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止，规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
（I）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
17.（2009年北京本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
遇到红灯时停留的时间都是2min.
（I）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间
的分布列及期望．
17.（2010年北京本小题共13分）某同学参加3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p>q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记
为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
（I）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ）求p，q的值（m）求数学期望
17．（（2011年北京本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（I）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X-9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数y的分布列和数学期望．
（注：
方差
其中
为
的平均数）
17.（2012年北京本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：
吨）：
（I）试估计厨余垃圾投放正确的概率：
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率：
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中
当数据a，b，c的方差
最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时
的值．（求：
其中
为数据
的平均数）
16．（2013年北京本小题满分13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（I）求此入到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？
（结论不要求证明）
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