北师大数学八年级上册第七章平行线的性质基础.docx

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北师大数学八年级上册第七章平行线的性质基础

平行线的性质（基础）知识讲解

【学习目标】

1.掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；

2.了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；

3.了解平行线的判定与性质的区别和联系.

【要点梳理】

要点一、平行线的公理、定理

公理：

两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：

两直线平行，同位角相等）.

定理：

两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：

两直线平行，内错角相等）.

定理：

两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：

两直线平行，同旁内角互补）.

要点诠释：

（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．

（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、平行线的性质定理的探究过程

1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：

两直线平行，内错角

相等）.

因为a∥b,

所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），

又∠3=∠1（对顶角相等）

所以∠2=∠3.

2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：

两直线平行，同旁

内角互补）.

因为a∥b,

所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），

又∠3+∠1=180°（补角的定义），

所以∠2+∠1=180°.

要点诠释：

平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.

要点三、平行线的性质与判定

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：

性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．

联系：

性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

【典型例题】

类型一、平行线的性质公理、定理的应用

1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?

为什么．

【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：

第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、

∠3、∠4的度数．

【答案与解析】

解：

∵DE∥BC，

∴∠4＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）．

∠2+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．

又∵DF∥AB（已知），

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

∴∠3＝115°（等量代换）．

【总结升华】平行线的性质：

由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．

举一反三：

【变式】（2015•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=　　度．

【答案】解：

∵∠1=∠2，∴AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ADC=120°．故答案为：

120°

2.如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？

【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．

【答案与解析】

解：

过点B作直线BE∥CD．

∵CD∥AF，

∴BE∥CD∥AF．

∴∠A=∠ABE=105°．

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．

又∵BF∥CD，

∴∠CBE+∠C=180°．

∴∠C=150°．

【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．

3.已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．

求证：

∠B+∠D=180°

【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．

【答案与解析】

证明：

∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．

∵BE∥FD（已知），

∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠B+∠D=180°（等量代换）．

【总结升华】此题主要考查平行线的性质：

两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

举一反三

【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．

【答案】

解：

∵CE平分∠ACD，∠1=25°，

∴∠ECD=∠1=25°，

∵AB∥CD，

∴∠ECD+∠2=180°，

∴∠2=180°-∠ECD=155°．

4.（2016春•秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）

【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．

【答案与解析】如图：

（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；

证明：

过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，

∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．

（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；

（4）∵AB∥CD，

∴∠POB=∠PCD，

∵∠POB是△AOP的外角，

∴∠APC+∠PAB=∠POB，

∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，

∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．

【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．

5.如图

是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．

已知：

如图，BC∥AD，BE∥AF．

（1）求证：

∠A=∠B；

（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．

【思路点拨】

（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．

（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．

【答案与解析】

解：

（1）∵BC∥AD，

∴∠B=∠DOE，

又∵BE∥AF，

∴∠DOE=∠A，

∴∠A=∠B．

（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°

又∠DOB=135°，

∴∠A=45°．

【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．

举一反三

【变式】已知：

如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．

【答案】

解：

∵BD∥AF，∠ABD=60°，

∴∠BAF=∠ABD=60°，

∵AP平分∠BAF，

∴∠PAF=

∠BAF=30°，

又∵AF∥CE，∠ACE=36°，

∴∠CAF=∠ACE=36°．

∴∠PAC=∠PAF+∠CAF=30°+36°=66°．

类型二、平行的性质与判定综合应用

6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）

A．180°B．270°C．360°D．540°

【答案】C

【解析】过点C作CD∥AB，

∵CD∥AB，

∴∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵EF∥AB

∴EF∥CD．

∴∠DCE+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE

∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°

【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°

【巩固练习】

一、选择题

1．下列说法：

①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是（）

A．①B．②和③C．④D．①和④

2．（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（　　）

A．122°B．151°C．116°D．97°

3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（）

4．（2016•陕西一模）直线a、b、c、d的位置如图，如果∠1=100°，∠2=100°，∠3=125°，那么∠4等于（　　）

A．80°B．65°C．60°D．55°

5．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为（）

A．60°B．70°C．80°D．120°

6．如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于（）

A．55°B．30°C．65°D．70°

二、填空题

7．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2=_______．

8.如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D=________度．

9.如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．

10．（2015•云南）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α=　　．

11．（2016春•冷水江市期末）如图，下列推理是否正确，请写出你认为是正确推理的编号　　．

①因为AB∥DC，所以∠ABC+∠C=180°

②因为∠1=∠2，所以AD∥BC

③因为AD∥BC，所以∠3=∠4

④因为∠A+∠ADC=180°，所以AB∥DC．

12．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．

三.解答题

13．如图，已知AB∥CD，MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM，试说明NH∥MG?

14.如图，a∥b∥c，∠1＝60°，∠2＝36°，AP平分∠BAC，求∠PAQ的度数．

15．（2015春•晋安）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF

（1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC：

∠OFC的值是否随之发生变化？

若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？

若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】A；

【解析】两直线平行

角的关系.

2.【答案】B；

【解析】∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，

∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=

∠EFD=

×58°=29°，

∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B．

3.【答案】B；

【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.

4.【答案】D；

【解析】∵∠1=100°，∠2=100°，∴∠1=∠2，∴直线a∥直线b，∴∠4=∠5，

∵∠3=125°，∴∠4=∠5=180°﹣∠3=55°，故选D．

5.【答案】B

【解析】注意到CD∥OE∥AB，由“两直线平行，同位角相等”可知∠AOE＝∠D＝

30°，∠EOC＝∠B＝40°．故∠AOC＝∠EOC+∠AOE＝40°+30°＝70°．

6.【答案】C；

【解析】∠3＝180°－40°－75°＝65°.

二、填空题

7.【答案】115°；

【解析】∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．

故答案为：

115°．

8.【答案】36°；

【解析】∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，

∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，

在△CDE中，∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°．

故答案为：

36．

9.【答案】60；

【解析】由已知得：

∠2＝2∠1＝60°.

10．【答案】64°；

【解析】由已知可得：

AD∥BC，由平行的性质可得：

∠D+∠C＝180°.

如图，

∵∠1+56°=120°，

∴∠1=120°﹣56°=64°，

又∵直线l1∥l2，

∴∠α=∠1=64°．

故答案为：

64°．

11.【答案】①②④

【解析】①∵AB∥DC，∴∠ABC+∠C=180°，此结论正确；

②∵∠1=∠2，∴AD∥BC，此结论正确；

③∵AD∥BC，∴∠1=∠2，而∠3≠∠4，此结论错误，

④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥DC，此结论正确．故答案为①②④．

12.【答案】15°；

【解析】由图可知：

∠APC＝∠BAP+∠PCD，即有45°+a＝60°-a+30°-a，

解得：

a＝15°.

三、解答题

13.【解析】

证明：

∵AB∥CD（已知），∴∠BMN＝∠MNC（两直线平行，内错角相等）．

∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM（已知）．

∴∠MNH＝

∠MNC，∠NMG＝

∠BMN（角平分线定义）．

∴∠MNH＝∠NMG，∴NH∥MG（内错角相等，两直线平行）．

14.【解析】

解：

∵a∥b∥c，

∴∠BAQ＝∠1＝60°，∠CAQ＝∠2＝36°，∠BAC＝60°+36°＝96°，

又AP平分∠BAC，∠BAP＝

×96°＝48°，

∴∠PAQ＝∠BAQ-∠BAP＝60°-48°＝12°．

15.【解析】

解：

（1）∵CB∥OA，

∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，

∵OE平分∠COF，

∴∠COE=∠EOF，

∵∠FOB=∠AOB，

∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=

∠AOC=

×80°=40°；

（2）∵CB∥OA，

∴∠AOB=∠OBC，

∵∠FOB=∠AOB，

∴∠FOB=∠OBC，

∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，

∴∠OBC：

∠OFC=1：

2，是定值；

（3）在△COE和△AOB中，

∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，

∴∠COE=∠AOB，

∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，

∴∠COE=

∠AOC=

×80°=20°，

∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，

故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．