负频率的意义.docx
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负频率的意义
负频率的意义
频率怎么会有负的？
很奇怪吧，其实负频率是个很好理解的概念，为了说明这个问题，我描述一下负速度这个概念，我们知道在定义了正方向后，与正方向相反的方向运动的物体，就可以说是具有负速度，这是显而易见的。
与速度类似的一个概念是角速度，如果我们把逆时针旋转定义为正的角速度，则顺时针旋转就具有负角速度，这也是显而易见的。
在某种情况下，可以将角速度和角频率等同起来，也就是小欧米伽ω。
傅立叶变换可视为将一个信号分解为无数个
分量的和，上文说了，对于正的角频率，可视为逆时针旋转，则负的角频率就是顺时针旋转。
我们利用复平面和垂直于复平面的时间轴作为一个三维空间，则
在这个空间中呈现出螺旋线的形状，类似弹簧。
对于正频率，即ω>0，俯视复平面时这根“弹簧”是逆时针的，对于负频率，即ω<0，这根“弹簧”是顺时针的。
为了说明问题方便，我们这里以余弦函数为例，对于
来说，其频谱的表达式是：
π[δ（ω-ω0）+δ（ω+ω0）]，在正负ω0处有两个冲击，正ω0处的冲击对应的exp（）分量为角频率是ω0（逆时针旋转），幅度为π/2π=0.5，初相为0，即与实轴的夹角为0；负ω0处的冲击对应的exp（）分量是角频率为-ω0（即旋转速度为ω0，但方向是顺时针），幅度为π/2π=0.5，初相为0，即与实轴夹角为0。
用Matlab绘制这两个分量，代码和图形如下，x轴对应信号的实轴，y轴对应信号的虚轴，z轴对应时间轴，输入余弦函数假设为ω0=2π，幅度范围是-1~+1：
m代码：
clearall;
w=2*pi;
t=0:
0.01:
4;
v1=exp（j*w*t）/2;
v2=exp（-j*w*t）/2;
subplot（1,2,1）;
plot3（real（v1）,imag（v1）,t）;
subplot（1,2,2）;
plot3（real（v2）,imag（v2）,t）;
figure
（2）;
plot3（real（v1+v2）,imag（v1+v2）,t）;
图形：
左边是正频率对应的
分量，可以看出是逆时针；右边是负频率对应的
分量，顺时针。
让我们再看看这两根“弹簧”在由时间轴和实轴构成的平面上的投影：
注意竖直的是时间轴，而水平的是信号实部的幅度，这两根旋转方向相反的“弹簧”在实轴和时间轴构成的平面上的投影具有相同的形状，就是cos函数的形状，只不过幅度只有原余弦信号的一半（在将两个分量合成之后，我们就会发现幅度=信号的幅度了）。
再看看两根“弹簧”在由虚轴和时间轴构成的平面上的投影：
注意竖直的是时间轴，水平的是信号虚部的幅度：
两个投影之间差了一个负号。
如果我们将这两根“弹簧合成”，由于它们在实轴上的一致，所以实部会增大一倍，它们在虚轴上的投影相差一个负号，所以会抵消为0，合成图如下：
显然这个图形只在由实轴和时间轴构成的平面中具有幅度了，让我们看看实轴和时间轴构成的平面上信号的样子，注意竖直方向是时间轴，水平方向是信号实部的幅度：
还原了我们的余弦信号。
一般而言，进行变换的信号一般都是实信号，但傅立叶变换把信号分解成无数个
，而
是复平面和时间轴构成的空间中的螺旋线，它有虚部。
只有将某一频率的分量，分解为一正一负两个旋转方向相反的螺旋线，才能使分量的合成后保留实部，抵消虚部，还原原来的实信号，也就是说，如果没有负频率的分量，那么我们无法用
来合成一个实信号。
为了充分地说明问题，下面再以sin函数为例重复上面的过程：
的频谱是-jπδ（ω-ω0）+jπδ（ω+ω0），它有两个分量，一个对应频率为ω0，在t=0时刻其值为-j，也就是初相为-90度（与实轴夹角为负90度），幅度为π/2π=0.5;另一个对应频率为-ω0，在t=0时刻其值为j，即初相为90度（与实轴夹角为90度），幅度为0.5。
下面是m代码（x轴对应信号的实轴，y轴对应信号的虚轴，z轴对应时间轴，输入正弦函数假设为ω0=2π，幅度范围是-1~+1）：
clearall;
w=2*pi;
t=0:
0.01:
4;
v1=-j*exp（j*w*t）/2;
v2=j*exp（-j*w*t）/2;
subplot（1,2,1）;
plot3（real（v1）,imag（v1）,t）;
subplot（1,2,2）;
plot3（real（v2）,imag（v2）,t）;
figure
（2）;
plot3（real（v1+v2）,imag（v1+v2）,t）;
两个分量在由复平面和垂直于复平面的时间轴构成的空间中的图形，左边为正频率的，右边为负频率的：
它们在由实轴和时间轴构成的平面中的投影（注意竖直的是时间轴，水平的是信号的实部）：
再看看它们在由虚轴和时间轴构成的平面中的投影（注意竖直的是时间轴，水平的是信号的虚部）：
两个分量合成后的空间形状：
由时间轴和信号实轴构成的平面中的图形（竖直的为时间轴，水平的为实轴）：
最后说两句，在Matlab中，使用plot3函数可以很方便地绘制由参数方程确定的空间曲线的形状。
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