概率的意义随机事件的概率.docx
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概率的意义随机事件的概率
§3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
3.1.2 概率的意义
学习目标
1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义.2.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.3.了解概率的意义以及频率与概率的区别.
知识点一 事件的有关概念
1.事件的分类及三种事件
2.对事件分类的两个关键点
（1）条件：
在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
（2）结果发生与否：
有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.
知识点二 概率与频率
思考 小明说：
“做10次抛硬币试验，正面向上的次数一定是5次”对吗？
答案 不一定正确.因为每次试验结果都是随机的，在试验前不能确定正面向上的次数.
梳理
（1）频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝
为事件A出现的频率.
（2）概率
①含义：
概率是度量随机事件发生的可能性大小的量.
②与频率联系：
对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）.
知识点三 概率的意义
1.概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性.
2.实际问题中的几个实例
（1）游戏的公平性
①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为
，所以这个规则是公平的.
②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则.
（2）决策中的概率思想
如果面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则.这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
（3）天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小.
（4）试验与发现
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律.
（5）遗传机理中的统计规律
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律.利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系.
1.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.（ √ ）
2.小概率事件就是不可能发生的事件.（ × ）
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.（ × ）
类型一 必然事件、不可能事件与随机事件的判断
例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件.
（1）从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（2）一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
（3）函数y＝logax（a＞0且a≠1）在其定义域内是增函数；
（4）平行于同一直线的两条直线平行；
（5）某同学竞选学生会主席成功.
考点 事件的综合应用
题点 事件的判断
解
（2）为不可能事件，（4）为必然事件，
（1）（3）（5）为随机事件.
反思与感悟 事件的分类
事件类型
定义
举例
必然事件
在一定条件下，必然会发生的事件
在山顶上，抛一块石头，石头下落
不可能事件
在一定条件下，肯定不会发生的事件
在常温常压下，铁熔化
随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件
掷一枚硬币，出现正面向上
跟踪训练1 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件.
（1）中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；
（2）出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；
（3）若x∈R，则x2＋1≥1；
（4）小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书.
考点 事件的综合应用
题点 事件的判断
解
（1）
（2）中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件.
（3）中的事件一定会发生，所以是必然事件.
（4）小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件.
类型二 试验与重复试验的结果分析
例2 下列随机事件中，一次试验各指什么？
试写出试验的所有结果.
（1）抛掷两枚质地均匀的硬币；
（2）从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集.
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
解
（1）一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：
（正，反），（正，正），（反，反），（反，正）.
（2）一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：
{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}.
反思与感悟
（1）准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础.
（2）在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果不重不漏.
跟踪训练2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.
（1）从中任取1球；
（2）从中任取2球.
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
解
（1）条件为：
从袋中任取1球.结果为：
红、白、黄、黑4种.
（2）条件为：
从袋中任取2球.若记（红，白）表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：
（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）6种.
类型三 利用频率估计概率
例3 下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果.n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上的次数m
“正面朝上”出现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
解 由fn（A）＝
可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.
反思与感悟
（1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.
（2）解此类题目的步骤：
先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.
跟踪训练3 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
13520
17190
男婴数m
2883
4970
6994
8892
（1）计算男婴出生的频率（保留4位小数）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
解
（1）计算
即得男婴出生的频率依次约是0.5200，0.5173,0.5173,0.5173.
（2）由于这些频率非常接近0.5173，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.5173.
1.在10个学生中，男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为（ ）
A.5B.6
C.3或4D.5或6
考点 事件的综合应用
题点 事件的应用
答案 C
解析 由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，∴x＝3或x＝4.故选C.
2.在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（ ）
A.3件都是正品B.至少有一件是次品
C.3件都是次品D.至少有一件是正品
考点 必然事件
题点 必然事件的判断
答案 D
解析 12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D.
3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的（ ）
A.概率为
B.频率为
C.频率为8D.概率接近于8
考点 概率与频率
题点 概率与频率的计算
答案 B
解析 做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为
.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率.故
＝
为事件A的频率.
4.某地气象局预报说：
明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（ ）
A.明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B.明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C.明天本地降水的可能性是80%
D.以上说法均不正确
考点 天气预报的概率解释
题点 天气预报的概率解释
答案 C
解析 选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.
5.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1370
1786
2709
发芽的频率
（1）请完成上述表格（保留3位小数）；
（2）该油菜籽发芽的概率约为多少？
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
解
（1）填入题表中的数据依次为1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.
填表如下：
每批
粒数
2
5
10
70
130
700
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1370
1786
2709
发芽的频率
1.000
0.800
0.900
0.857
0.892
0.910
0.913
0.893
0.903
（2）由
（1）估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
1.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.
2.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大.
3.利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
一、选择题
1.从1,2,3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是（ ）
A.必然事件B.不可能事件
C.随机事件D.以上选项均不正确
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
答案 C
解析 从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件，故选C.
2.下列现象：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码.
其中是随机现象的是（ ）
A.①②③B.①③④
C.②③④D.①②④
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
答案 C
解析 由随机事件的定义知②③④正确.
3.每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：
“每个选项正确的概率是
，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确.”这句话（ ）
A.正确B.错误
C.不一定正确D.以上都不对
考点 概率的正确解释
题点 概率的意义
答案 B
解析 虽然答对一道题的概率为
，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可能对3道，也可能全不对等.
4.某医院治疗一种疾病的治愈率为
，前4位病人都未治愈，则第5位病人的治愈率为（ ）
A.1B.
C.
D.0
考点 概率的正确解释
题点 概率意义的应用
答案 B
解析 治愈率为
，表明每位病人被治愈的概率均为
，并不是5人中必有1人被治愈.故选B.
5.同时抛掷两枚大小完全相同的骰子，用（x，y）表示出现的结果，其中x，y分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为（ ）
A.11B.22C.36D.66
考点 随机事件
题点 随机事件的判断
答案 C
解析 在这个试验中，（1,2）和（2,1）应视为2种不同的结果，列表可知共有36种结果.
6.下列结论正确的是（ ）
A.设事件A的概率为P（A），则必有0＜P（A）＜1
B.事件A的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效.现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
考点 概率的正确解释
题点 概率意义的应用
答案 C
解析 A项不正确，因为0≤P（A）≤1；若事件A是必然事件，则P（A）＝1，故B项不正确；对于D项，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D项不正确.故选C.
7.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
考点 游戏的公平性
题点 游戏公平性的判断
答案 B
解析 A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝
；B项，P（恰有一枚正面向上）＝
，P（两枚都正面向上）＝
；C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝
；D项，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝
.
8.从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是（ ）
A.次品率小于10%B.次品率大于10%
C.次品率等于10%D.次品率接近10%
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
答案 D
解析 抽出的样本中次品的频率为
，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.
9.同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况（ ）
A.这100个铜板两面是相同的
B.这100个铜板两面是不相同的
C.这100个铜板中有50个两面是相同的，另外50个两面是不相同的
D.这100个铜板中有20个两面是相同的，另外80个两面是不相同的
考点 决策中的概率思想
题点 极大似然法
答案 A
解析 落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是相同的可能性较大.
二、填空题
10.将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________.
考点 试验与发现
题点 等可能事件的概率
答案 3∶1
解析 将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）.
至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.
11.一个袋中装有数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，取出的是白球，估计袋中数量少的球是__________.
考点 决策中的概率思想
题点 极大似然法
答案 黑球
解析 根据极大似然法，知袋中数量较多的是白球，因此黑球数量较少.
12.给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是
；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是
.
其中正确命题有__________.
考点 概率与频率
题点 概率与频率的计算
答案 ④
解析 ①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.②③混淆了频率与概率的区别.④正确.
三、解答题
13.街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？
若不公平，请说明哪方占便宜？
考点 游戏的公平性
题点 游戏公平性的判断
解 两枚骰子点数之和如下表：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种，概率是
＝
，
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种，概率是
＝
.所以这种游戏不公平，白方比较占便宜.
四、探究与拓展
14.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如下表：
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2100
1000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
考点 概率与频率
题点 利用频率估计概率
答案 C
解析 由题意得，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200＋2100＝3300，
所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为
＝
.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为
.故选C.
15．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：
自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？
如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
解 列表如下：
A
B
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P（和为6）＝
＝
，所以甲、乙获胜的概率不相等．
所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的．
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