分组分解法因式分解(5课时)Word下载.doc

分组分解法因式分解(5课时)Word下载.doc

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把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。

解：

a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a（a-b）+c（a-b）=（a-b）（a+c）

例2：

把2ax-10ay+5by-bx分解因式

把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。

2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）

=2a（x-5y）-b（x-5y）=（x-5y）（2a-b）

提问：

这两个例题还有没有其他分组解法？

请你试一试。

如果能，请你看一下结果是否相同？

（1）ax+bc+3a+3b

（2）a2+2ab-ac-2bc（3）a-ax-b+bx（4）xy-y2-yz+xz

（5）2x3+x2-6x-3（6）2ax+6bx+5ay+15by（7）mn+m-n-1（8）mx2+mx-nx-n

（9）8m-8n-mx+nx（10）x2-2bx-ax+2ab（11）ma2+na2-mb2-nb2

四、课外作业把下列各式分解因式

1．a（m＋n）－b（m＋n）⒉xy（a－b）＋x（a－b）

3．n（x＋y）＋x＋y⒋a－b－q（a－b）

5．p（m－n）－m＋n⒍2a－4b－m（a－2b）

7．a2＋ac－ab－bc⒏3a－6b－ax＋2bx

9．2x3－x2＋6x－3⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by

⒒xy＋x－y－1⒓ax2＋bx2－ay2－by2

⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3⒕3m－3y－ma＋ay

⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy

分组分解法（第二教时）

1．提问：

什么是分组分解法？

分组时有什么要求？

2．用分组分解法因式分解：

（1）ax+ay+bx+by

（2）mx-my+nx-ny（3）ab+ac-b2-bc

（4）2x-4y-xy+2y2（5）5am-a+b-5bm（6）x3-x2-4x+4

1．例题分析

例3：

把3ax+4by+4ay+3bx分解因式

如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。

3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by加法交换律

=（3ax+4ay）+（3bx+4by）分组

=a（3x+4y）+b（3x+4y）提公因式

=（3x+4y）（a+b）再提公因式

练习:

用分组分解法因式分解：

（1）ac+2b+2a+bc

（2）ad-bc+ab-cd

（3）5ax+6by+5ay+6bx（4）ab-4xy+4ay-bx

例4：

把m2+5n-mn-5m分解因式

如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组之间却没有公因式，不好继续分解。

如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。

m2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=（m2-5m）+（5n-mn）

=m（m-5）-n（m-5）=（m-5）（m-n）

（1）x2+y-xy-x

（2）5ax2-b2-b2x+5ax

（3）x2+yz-xy-xz（4）4x2+3z-3xz-4x

（5）5am+b-a-5bm（6）x2-yz+xy-xz

四、课外作业把下列各式分解因式

1．mn＋m－n－12．3mx＋4ny＋4my＋3nx

3．m3－m2＋m－14．m3＋m2－m－1

5．a2－2b＋ab－2a6．ax＋by＋ay＋bx

7．xy－z＋y－xz8．a2x＋by－ay－abx

9．mx3－mx2－mx＋m10．a2b－a2c＋a3－abc

分组分解法（第三教时）

1．什么是分组分解法？

2．把下列各式分解因式

（1）ac-ad+bc-bd

（2）ay2-ax+bx-by2

（3）5ax+6by+10ay+3bx（4）5x2+7a-7ax-5x

3.填空

（1）a2-b2=__________

（2）a2+2ab+b2=__________（3）a2-2ab+b2=___________

1．例题与练习例5：

把x2-y2+ax+ay分解因式

显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？

不是。

由于第一、二两项满足平方差公式x2-y2=（x+y）（x-y）,而三、四两项有公因式a,而ax+ay=a（x+y）.这时可以看出（x+y）（x-y）与a（x+y）有公因式（x+y）。

x2-y2+ax+ay=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）

=（x+y）+[（x-y）+a]=（x+y）（x-y+a）

（1）4a2-b2+6a-3b

（2）9m2-6m+2n-n2

（3）x2y2-4+xy2-2y（4）a2b2-c2+abd+cd

例6：

把a2-2ab+b2-c2分解因式

用刚才的方法不能见效。

我们发现a2-2ab+b2是完全平方式（a-b）2,此时，原式就变为（a-b）2-c2，再用平方差公式。

a2-2ab+b2-c2=（a2-2ab+b2）-c2分组

=（a-b）2-c2运用完全平方公式

=[（a-b）+c][（a-b）-c]运用平方差公式

=（a-b+c）（a-b-c）

（1）4a2+4ab+b2-1

（2）c2-a2-2ab-b2

（3）x2-4y2+12yz-9z2（4）a2b2-c2+2ab+1

⒈　4x2－y2－4x＋2y　　　　　　　　⒉　b2－a2＋ax＋bx

⒊　m－2n＋m2－4n2　　　　　　　　⒋　p＋3q－9q2＋p2

⒌　s2－t2＋3s－3t　　　　　　　　　⒍　x2－2x＋2y－y2

⒎　4a2－b2－2a－b　　　　　　　　　⒏　9a2－6a＋2b－b2

⒐　x2－2x＋1－y2　　　　　　　　　⒑　m2＋2mn＋n2－p2

⒒　4x2－4xy＋y2－16z2　　　　　　　⒓　a2－b2－2bc－c2

⒔　x2－4y2＋4y－1　　　　　　　　　⒕　x2－y2－z2－2yz

分组分解法（第四教时）

（1）a2-2a+2b-b2

（2）4m2-9n2+3n-2m（3）m2-2mn+n2-4c2（4）a2-b2+2bc-c2

什么样的多项式可以用分组后运用公式法？

1．例题与练习

例7把下列各式分解因式

（1）（x2-4y2）+（4y-1）

（2）（x2+y2-z2）2-4x2y2

在第

（1）题分好的两组中，虽然第一组可用平方差公式，但与第二组却无公因式，因此无法分解。

如果将括号去掉，再重新分组，得x2-（4y2-4y+1）,此题可用分组后直接用公式法分解因式。

在第

（2）题中，先用平方差公式分解，再用分组分解法。

注意：

必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（1）（x2-4y2）+（4y-1）=x2-4y2+4y-1=x2-（4y2-4y+1）

=x2–（2y-1）2=[x+（2y-1）][x-（2y-1）]

=（x+2y-1）（x-2y+1）

（2）（x2+y2-z2）2-4x2y2=（x2+y2-z2）2-（2xy）2

=[（x2+y2-z2）+2xy][（x2+y2-z2）-2xy]

=（x2+y2-z2+2xy）（x2+y2-z2-2xy）

=[（x2+y2+2xy）-z2][（x2+y2-2xy）-z2]

=[（x+y）2-z2][（x-y）2-z2]

=[（x+y）+z][（x+y）-z][（x-y）+z][（x-y）-z]

=（x+y+z）（x+y-z）（x-y+z）（x-y-z）

（1）（2ab-a2）+（c2-b2）

（2）（ax+by）2+（bx-ay）2

（3）4a2b2-（a2+b2-c2）2

例8：

把下列多项式分解因式

（1）x3+x2y-xy2-y3

（2）a3-ab2+4abc-4ac2

（1）x3+x2y-xy2-y3=（x3+x2y）-（xy2+y3）分组

=x2（x+y）-y2（x+y）分别提公因式

=（x+y）（x2-y2）提公因式

=（x+y）[（x+y）（x-y）]运用平方差公式

=（x+y）2（x-y）相同因式写成幂的形式

还有其他解法吗？

（2）a3-ab2+4abc-4ac2=a（a2-b2+4bc-4c2）先提公因式

=a[a2-（b2-4bc+4c2）]分组

=a[a2-（b-2c）2]运用完全平方公式

=a[a+（b-2c）][a-（b-2c）]运用平方差公式

=a（a+b-2c）（a-b+2c）整理

（1）a2b2+x2y2-a2x2-b2y2

（2）x3-x2y-xy2+y3

（3）x2y-y3-2xyz+yz2（4）a3+a2-a-1

3．作业：

（1）x3y3-x2y2-xy+1

（2）（2xy-a2）+（x2+y2）（3）（x2-y2+z2）2-4x2z2

四、课外作业

⒈3ax＋5ay－6bx－10by⒉　a2－b2－4a－4b⒊　m2－4mn＋4n2－4

⒋4－x2－2xy－y2⒌　ax2－ay2＋a2x－a2y⒍　a3＋2a2b＋ab2－a

⒎a2b2－a2－2ab－b2⒏　x3－x2y＋xy2－y39.（ax－by）2＋（bx＋ay）2

10．（m2－4n2）＋（4n－1）11．（a2－m2－n2）2－4m2n2

分组分解法（第五教时）

1.什么是分组分解法？

怎样才是正确的分组？

2.把下列多项式分解因式

（1）x2+2x+nx+2n

（2）x2-y2+2yz-z2（3）x2+px+qx+pq

1.引入

（1）把x2+（p+q）x+pq分解因式

分析

此式不好直接用已学的知识来分解因式，可以把式子展开为x2+px+qx+pq。

这时，可以用分组分解法。

x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）

=（x+p）（x+q）

另外：

我们知道（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq,于是有

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

（2）特点

式子x2+（p+q）x+pq的特点为：

（1）二次项的系数是1。

（2）常数项是两个数之积。

（3）一次项系数是常数项的两个因数之和。

根据上面的结果，可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。

2.应用举例

例：

（1）x2+3x+2

（2）x2-7x+6（3）x2+x-2（4）x2-2x-15

（1）x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×

2，一次项系数3=1+2。

这是一个x2+（p+q）x+pq型式子。

（2）x2-7x+6的二次项系数是1，常数项6=（-1）×

（-6），一次项系数-7=（-1）+（-6）。

这也是一个x2+（p+q）x+pq型式子。

（3）x2+x-2的二次项系数是1，常数项-2=（-1）×

2，一次项系数1=（-1）+2。

（4）x2-2x-15的二次项系数是1，常数项-15=（-5）×

3，一次项系数-2=（-5）+3，这也是一个x2+（p+q）x+pq型式子。

（1）因为2=1×

2，并且3=1+2，所以

x2+3x+2=（x+1）（x+2）

（2）因为6=（-1）×

（-6），并且-7=（-1）+（-6），所以

x2-7x+6=（x-1）（x-6）

（3）因为-2=（-1）×

2，并且1=（-1）+2，所以

x2+x-2=（x-1）（x+2）

（4）因为-15=（-5）×

3，并且-2=（-5）+3，所以

x2-2x-15=（x-5）（x+3）

3.归纳与小结

（1）常数项是正数时，它分解成两个___号因数，它们和一次项系数符号____。

（2）常数项是负数时，它分解成两个___号因数，其中绝对值较___的因数的符号和一次项系数的符号相同。

思考题把x4-5x2+4因式分解

一、根据公式x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q），填空：

⑴若x2＋ax－6＝（x＋3）（x－2）,则a＝＿＿＿

⑵若x2－5x＋a＝（x－6）（x＋1），则a＝＿＿＿

⑶若x2－mx＋n＝（x－4）（x－2），则m＝＿＿＿n＝＿＿＿

⑷若x2＋mx－n＝（x＋5）（x－3），则m＝＿＿＿n＝＿＿＿

二、如果a＋b＝5，ab＝4，那么关于x的二次三项式x2－abx－（a＋b）分解因式的结果（）

A．（x－1）（x－4）B．（x－5）（x＋1）C．（x＋5）（x－1）D．（x＋1）（x＋4）

三、把下列各式分解因式

⒈x2＋px＋qx＋pq⒉x2＋4x＋3

⒊y2－5y－6⒋m2－7m＋6

⒌p2＋9p－10⒍n2－5n－36

⒎x2＋7x＋10⒏y2＋y－20

⒐m2－11m＋28⒑－x2－3x－2

⒒a2b2－6ab－16