平面向量教案及答案.docx

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平面向量教案及答案

教师寄语:

没有最好,只有更好!

1高一年级数学——平面向量

一、考点、热点回顾

（一）向量的基本概念与基本运算1概念:

①向量:

既有大小又有方向的量向量一般用cba,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字

母表示,如:

AB几何表示法AB,a;坐标表示法）,（yxyjxia=+=向量的大小即向量的模（长度）,记作|AB|即向量的大小,记作|a|向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.②零向量:

长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行零向量a=0?

|a|

=0由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行（共线）的问题中务必看

清楚是否有“非零向量”这个条件.（注意与0的区别）

③单位向量:

模为1个单位长度的向量向量0a为单位向量?

|0a

|=1④平行向量（共线向量）:

方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移（即自由向量）,平行向

量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量:

长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为ba=大小相等,方向相同）,（）,（2211yxyx=?

?

?

==?

2121yyxx

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法设,ABaBCb==,则a+b=ABBC+=AC

（1）aaa=+=+00;

（2）向量加法满足交换律与结合律;

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:

（1）用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的

三角形法则可推广至多个向量相加:

ABBCCDPQQRAR+++++=

但这时必须“首尾相连”

.3向量的减法

①相反向量:

与a长度相等、方向相反的向量,叫做a

的相反向量

记作a

-,零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有:

（i））（a--=a

;（ii）a+（a-）=（a-）+a=0;

（iii）若a、b

是互为相反向量,则a=b-,b=a-,a+b=0

②向量减法:

向量a加上b的相反向量叫做a与b

的差,

记作:

）（baba

-+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法

③作图法:

ba-可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b

有共同起点）

4实数与向量的积:

①实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa

它的长度与方向规定如下:

（Ⅰ）aa

?

=λλ;

（Ⅱ）当0>λ时,λa的方向与a的方向相同;当0<λ时,λa的方向与a

的方向相反;当0

=λ时,0

=aλ,方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理:

向量b与非零向量a

共线?

有且只有一个实数λ,使得b=aλ

6平面向量的基本定理:

如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a

有且只有一对实数21,λλ使:

2211eeaλλ+=,其中不共线的向量21,ee

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

7特别注意:

（1）向量的加法与减法是互逆运算

（2）相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线（即重合）,而向量平行则包括共线（重合）的情况

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关

学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点例1给出下列命题:

①若|a|=|b|,则a=b

;

②若A,B,C,D是不共线的四点,则ABDC=

是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;

③若a=b,b=c,则a=c,

④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b

;

⑤若a//b,b//c,则a//c,

其中正确的序号是

解:

①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.

②正确.∵ABDC=,∴||||ABDC=且//ABDC

又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行

四边形,则,//ABDC且||||ABDC=

因此,ABDC=.

③正确.∵a=b,∴a,b

的长度相等且方向相同;

又b=c,∴b,c

的长度相等且方向相同,

∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.

④不正确.当a//b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a//b

不

是a=b

的充要条件,而是必要不充分条件.

⑤不正确.考虑b=0

这种特殊情况.

综上所述,正确命题的序号是②③.

点评:

本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多,因而容易遗忘.为此,复习一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.例2设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简:

①ABBCCD++,②DBACBD++③OAOCOBCO--+-

解:

①原式=（）ABBCCDACCDAD++=+=

②原式=（）0DBBDACACAC++=+=

③原式=（）（）（）0OBOAOCCOABOCCOABAB-+--=-+=+=

例3设非零向量a、b不共线,c=ka+b,d=a+kb（k∈R）,若c

∥d,试求k

解:

∵c

∥d

∴由向量共线的充要条件得:

c

=λd（λ∈R）

即ka+b=λ（a+kb）∴（k-λ）a

+（1-λk）b=0

又∵a、b

不共线

∴由平面向量的基本定理1010

±=?

?

?

?

=-=-kkkλλ

（二）平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示:

在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij

作为基

底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成axiyj=+

由于a

与数对（x,y）是一

一对应的,因此把（x,y）叫做向量a的坐标,记作a=（x,y）,其中x叫作a

在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标

（1）相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量

（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算:

（1）若（）（）1122,,,axybxy==,则（）1212,abxxyy±=±±

（2）若（）（）2211,,,yxByxA,则（）2121,ABxxyy=--

（3）若a=（x,y）,则λa

=（λx,λy）

（4）若（）（）1122,,,axybxy==,则1221//0abxyxy?

-=

a∥

bab

λ=?

（5）若（）（）1122,,,axybxy==

则1212abxxyy?

=?

+?

若ab⊥

则02121=?

+?

yyxx

3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

运算类型几何方法坐标方法运算性质

向量的加法

1平行四边形法则2三角形法则

1212（,）abxxyy+=++abba+=+

）（）（cbacba++=++

ABBCAC+=

向量的减法三角形法则

1212（,）abxxyy-=--）（baba

-+=-

ABBA=-

OBOAAB-=

向量的乘法

a

λ是一个向量,

满足:

λ>0时,aλ与a

同向;

λ<0时,aλ与a

异向;

λ=0时,aλ=0

）,（yxaλλλ=aa

）（）（λμμλ=

aaa

μλμλ+=+）（

baba

λλλ+=+）（a∥bab

λ=?

向量的数量积

ba

?

是一个数

0=a或0=b时,ba?

=0

0≠a且0≠b时,

><=?

bababa

cos||||1212abxxyy?

=+

abba?

=?

）（）（）（bababa?

=?

=?

λλλcbcacba?

+?

=?

+）（

22||aa

=,22||yxa+=

||||||baba≤?

例1已知向量（1,2）,（,1）,2abxuab===+,2vab=-

且//uv,求实数x的值

解:

因为（1,2）,（,1）,2abxuab===+,2vab=-

所以（1,2）2（,1）（21,4）uxx=+=+,2（1,2）（,1）（2,3）vxx=-=-

又因为//uv

所以3（21）4

（2）0xx+--=,即105x=

解得1

2

x=（也可以用:

a∥babλ=?

）

例2已知点）6,2（）,4,4（）,0,4（CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标

解:

设（,）Pxy,则（,）,（4,）OPxyAPxy==-

因为P是AC与OB的交点

所以P在直线AC上,也在直线OB上

即得//,//OPOBAPAC

由点）6,2（）,4,4（）,0,4（CBA得,（2,6）,（4,4）ACOB=-=

得方程组6（4）20

440xyxy-+=?

?

-=?

解之得33xy=?

?

=?

故直线AC与OB的交点P的坐标为（3,3）