汽车保险问题研究模型.docx
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汽车保险问题研究模型
2011空军工程大学工程学院数学建模模拟竞赛
承诺书
我们仔细阅读了建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.
我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.
组别：
第2组
所属系队（请填写完整的全名）：
一系一队
参赛队员（打印并签名）：
1.宗豪华
2.楚厚
3.武亚龙
日期：
2011年8月23日
评阅编号（由训练部教务处评阅前进行编号）：
汽车保险问题研究模型
摘要
保险费是被投保人为取得保险保障，按合同约定向保险人支付的费用，投保人按约定方式缴纳保险费是保险合同生效的条件.本题所要解决的主要问题也就是下一年的总支出（由偿还退回费用部分、索赔支出费用部分和业务支出费用部分构成）的估算和总投保人数的估算.
首先，分析该保险公司总投保人数的构成可知，若把各类保险投保人数当作一个系统，按照不同的保险类别划分为4个等级，这样就形成了一个等级结构.利用处理随机转移的马氏链模型描述等级结构的变化，建立相关的向量、矩阵，根据假设条件确定等式、不等式约束条件，利用Lingo软件进行求解可得等级结构基本式的一组系数.在运用Matlab编程进行求解今后五年中每年各类别的总投保人数和注销人数.
然后，建立概率论模型确定基本保险费.
该保险公司每年的支出主要由给付客户的医疗费、修理费、死亡补偿费、偿还退回和业务支出构成的.题目中平均修理费、平均医疗费平均赔偿费的数据是以所在类别的全部投保人数为基数求得的，我们可以根据人数的关系计算求得实际赔付给客户的相应费用.另外，我们认为偿还退回的费用和业务支出的费用分别与注销人数、投保人数成正比例.因此，我们可以得到总支出W（t）的函数表达式.总支出W（t）服从正态分布，因此其概率密度函数可以编程求得.
该保险公司的净收入主要由保险费的收取构成，但是要刨除对未索赔的续保客户的偿还退回.因此，由题意我们可得第t年的净收入S（t）的表达式.
保险公司第t年的净收入S（t）是定值，而总支出W（t）是变化的.在死亡的司机人数下降40%的前提下，为使保险公司获得收益，我们令保险公司收益的概率分别取不同值，依据概率论基本知识并运用Matlab编程可求当医药费分别下降20%和40%时，今后五年基本保险费的值.
关键词：
数学建模汽车保险马氏链模型概率论模型正态分布
一、问题重述
1.1问题背景
某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年,若客户没有要求赔偿，则给予额外补助.所有参保人被分为0,1,2,3四类.类别越高，从保险费中得到的折扣越多.在计算保险费时,新客户属于0类，在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类.客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分.
现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降.这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额.
1.2目标任务
若死亡的司机人数会减少40%，医疗费会减少20%～40%.根据当前年度该保险公司业务统计表中数据（表略），完成以下目标任务：
任务一建立一个模型，说明法规实施后保险费需要减少，并以表中数据为例，验证模型；
任务二在医疗费下降20%和40%的情况下，给出你的建议确定公司今后5年每年每份保险费额度.
二、模型的假设
（1）假设每年的平均修理费、平均医疗费、平均赔偿费保持不变；
（2）假设各类注销人数占每年相应类别总投保人数的比例不变；
（3）假设每年汽车保险新投保人数与同年我国民用汽车拥有量成正比；
（4）假设偿还退回费用与注销人数成正比；
（5）假设业务支出费用与总投保人数成正比；
（6）假设每年投保客户向保险公司索赔的概率相等.
三、符号说明
ni
每年第i类的总投保人数
pij
每年从第i类转移至第j类的人数（在第i类中占的）比例
wi
每年从第i类注销保险的人数（在第i类中占的）比例
ri
每年第i类新投保人数（在总新投保人数中占的）比例
R（t）
第t年总新投保人数
ai
保险公司支付给第i类受伤客户的平均医疗费
bi
保险公司支付给第i类死亡客户的平均补偿费
fi
保险公司支付给第i类客户的平均修理费
ci
第i类保险的索赔人数
ki
第i类保险的死亡人数占索赔人数的比例
W（t）
保险公司第t年的总支出
x（t）
第t年应收保险费
li
第i类保险的死亡人数
qi
第i类保险每个人获得索赔的概率
S（t）
第t年保险公司的净收入
m（t）
第t年保险公司的总注销人数
（续表）
四、模型的建立与求解
保险费是被投保人为取得保险保障，按合同约定向保险人支付的费用，投保人按约定方式缴纳保险费是保险合同生效的条件.汽车保险费由基本保险费和附加保险费两部分构成.基本保险费用于承担保险责任（合同中约定的死亡、伤残等给付），附加保险费主要用于支付保险公司的日常费用，这部分费用可假定是不变的.因而问题的关键就在于基本保险费的变化.
由于政府实施安全带法规，死亡的司机会减少40%，医疗费会减少20%～40%.如果该保险公司的基本保险费保持不变，那么由于死亡人数减少以及医疗费减少，从而导致索赔支出明显减少，那么该保险公司的盈利就会明显增加.所以政府期望减少保险费的数额.保险公司是一个以赢利为目的企业实体，它所关心的问题是实行安全带法规并减少保险费后该汽车保险公司的盈利的变化，以及如何制定下五年的保险费才能保证汽车公司的每年的盈利不会减少.由相关的概率知识知道，基本保险费在数量上等于保险期间赔款的期望值.通过对估计下一年的支出期望值来确定下一年的基本保险费的金额.本题所要解决的主要问题也就是下一年的总支出（由偿还退回费用部分、索赔支出费用部分和业务支出费用部分构成）的估算和总投保人数的估算.
4.1任务一
分析该保险公司总投保人数的构成可知，若把各类保险投保人数当作一个系统，按照不同的保险类别划分为4个等级，这样就形成了一个等级结构.引起等级结构变化的因素主要两种：
一是系统部等级间的转移，即续保未索赔客户保险类别的升高和续保索赔客户保险类别的降低；二是系统外的交流，即新投保客户的加入和注销客户（自动退保、死亡）的退出.系统各个等级的人员每年按一定的比例变化本是一个确定性的转移问题，但是如果我们把这种比例视为各个等级的每个成员提升、降级或退出的概率，就能利用处理随机转移的马氏链模型描述等级结构的变化.在这种观点下各等级成员的数量应理解为相应的平均值.
4.1.1建立马氏链模型确定各类别投保人数
该保险系统根据保险类别的不同可以分为i=0,1,2,3四个等级，时间以年为单位离散化，即每年进行且只进行一次调级，时间记作t=1,2,3,4,5.
根据题目中已知条件所述，在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类.构建转移矩阵
Q=｛pij｝4×4.
其中由于部分类别之间不符合转移条件，可以认为p02,p03,p11,p13,p21,p22,p30,p32的值为0.上一年客户中除了在保险类别之间转移的一部分外，还有一部分注销保险，退出系统.另外建立退出比例向量
w=（w0,w1,w2,w3）.
则在上述矩阵Q中各非零比例系数pij与wi有如下等式约束关系：
.
我们认为每年汽车保险新投保人数与同年我国民用汽车拥有量成正比，根据中国国家统计局公布的数据[1]（如表1）.
表1我国民用汽车拥有量统计表（2000～2009年）
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
汽车总计（万辆）
1608.91
1802.04
2053.17
2382.93
2693.71
3159.66
3697.35
4358.36
5099.61
6280.61
（数据来源：
中国国家统计局）
利用Matlab软件对我国2000～2009年民用汽车拥有量数据进行最优拟合（如图1）.
图1我国民用汽车拥有量拟合曲线图（2000～2009年）
由本年新投保人数对二次拟合曲线方程系数进行按比例缩放，可以求得每年总新投保人数的方程
R（t）=0.3112t2+5.8899t+38.462.
（1）
由此建立调入比例向量r=（r0,r1,r2,r3），新投保客户记为第0类，所以调入比例向量r=（1,0,0,0）.由
（1）式可得，第t年第i类新投保人数为riR（t）.
投保客户按参保类别的分布向量n（t）=（n0（t）,n1（t）,n2（t）,n3（t）），为了研究分布向量n（t）的变化规律，给出每个类别人数的转移方程
，j=0,1,2,3.
（2）
用向量、矩阵符号可将
（2）式表示为
n（t+1）=n（t）Q+R（t）r.（3）
利用（3）式的递推关系，即可求得每年各保险类别的投保人数.
4.1.2马氏链模型的求解
根据以上确立的约束条件，列写如下方程组对各参数进行讨论：
其中约束条件
是根据参数pij的极端假设值确定的围，如
.（4）
pmin为假设注销人数中除死亡客户其余全部受伤得到，pmax为假设注销人数中除死亡客户其余全部未受伤得到，这样即可确定全部pij的取值围不等式.
上述约束条件不足以得到所有参数的值，只可得到一可行域.利用Lingo软件进行求解（具体程序见附录，下同），可以得到可行域一组随机解如下
我们认为这组随机解为各参数的精确值，代入4.1.1中（3）式进行计算，利用Matlab软件进行求解今后五年中每年各类别的总投保人数（如表2）和注销人数（如表3）.
表2今后五年中每年各类别的总投保人数表
类别
年份
第0类
第1类
第2类
第3类
第一年
167.90
144.14
118.26
909.75
第二年
165.21
146.43
96.57
943.29
第三年
170.45
146.06
98.11
954.64
第四年
180.32
149.93
97.86
966.47
第五年
193.57
156.83
100.45
977.13
表3今后五年中每年各类别的注销人数表
类别
年份
第0类
第1类
第2类
第3类
第一年
1.67
2.38
0.90
34.16
第二年
1.68
1.95
0.92
35.48
第三年
1.65
1.98
0.75
36.79
第四年
1.70
1.97
0.77
37.23
第五年
1.80
2.02
0.76
37.69
（续表）
4.1.3建立概率论模型确定基本保险费
实施了新法规后，题目中指出虽然每年的事故数量不会减少，说明总索赔人数不发生变化.索赔客户由死亡客户和受伤客户两部分组成，若死亡的司机减少40%，则受伤的客户会相应增加.由此分析可知，题目中所述的医疗费相应地减少主要是因为受伤客户的伤情减小.
该保险公司每年的支出主要由给付客户的医疗费、修理费、死亡补偿费、偿还退回和业务支出构成的.题目中平均修理费、平均医疗费平均赔偿费的数据是以所在类别的全部投保人数为基数求得的，我们可以根据人数的关系计算求得实际赔付给客户的相应费用.另外，我们认为偿还退回的费用和业务支出的费用分别与注销人数、投保人数成正比例.因此，我们可以得到总支出W（t）的函数表达式
.（5）
（5）式中第i类的索赔人数ci～b（ni,qi），由大数定理知，当人数极大时，可近似认为第i类的索赔人数ci～N（niqi,ni（1-qi））.在估计qi的时候，我们可以利用已知数据，采用最大似然估计法，即
qi=（0.35,0.33,0.10,0.08）.
由概率论基本知识可知，在ci服从正态分布的前提下，总支出W（t）为ci的线性组合，必然服从正态分布，因此其概率密度函数可以编程求得.
建立今后五年保险公司每年总支出的向量
W=（W
（1）,W
（2）,W（3）,W（4）,W（5））T.
类似地，我们可以分别建立平均修理费、平均死亡补偿费、平均医疗费和总投保人数的向量F、B、A、N.
设矩阵C={ci（t）}5×4，其中ci（t）表示第t年处于第（i-1）类的索赔人数，矩阵L={li（t）}5×4，其中li（t）表示第t年处于第（i-1）类的死亡人数，则根据题意易知C-L={ci（t）-li（t）}5×4为相应的受伤人数的矩阵.用向量、矩阵符号可将（5）式表示为
.（6）
该保险公司的净收入主要由保险费的收取构成，但是要刨除对未索赔的续保客户的偿还退回.因此，由题意我们可得第t年的净收入S（t）的表达式
（7）
4.1.4概率论模型的求解
根据4.1.3中建立的概率论模型，可以验证如下
P{总支出﹥总收入}=0.6135.
分析可知，按照原有的保险费收取，保险公司当年总支出大于总收入的概率很大，这样本年度出现超支属于可能事件，验证了我们建立的概率论模型的正确性.
4.2任务二
按照前文所述，保险公司第t年的净收入S（t）是定值，而总支出W（t）是变化的.为使保险公司获得收益，我们令
P{总支出﹥总收入}=α.
在死亡的司机人数下降40%的前提下，令α分别取不同值，依据概率论基本知识可知总收入为总支出的上α分位点.利用Matlab编程可求当医药费分别下降20%（如表4）和40%（如表5）时，今后五年基本保险费的值.
表4医药费下降20%时不同收益概率下的基本保险费表（元）
收益的概率
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0.95
一年
600.66
611.21
622.49
635.70
654.01
669.13
二年
598.57
609.07
620.30
633.44
651.67
666.72
三年
598.32
608.73
619.87
632.90
650.98
665.90
四年
603.01
613.34
624.39
637.32
655.26
670.07
五年
610.55
620.79
631.75
644.57
662.35
677.04
表5医药费下降40%时不同收益概率下的基本保险费表（元）
收益的概率
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0.95
一年
547.81
557.54
567.95
580.13
597.02
610.97
二年
545.95
555.63
565.99
578.11
594.93
608.81
三年
545.62
555.22
565.49
577.50
594.17
607.93
四年
549.70
559.22
569.40
581.33
597.86
611.51
五年
556.36
565.79
575.89
587.71
604.09
617.63
五、模型的评价
本文中，我们主要研究了保险公司在投保客户的死亡率下降且医疗费下降的情况下，基本保险费的变化.通过建立马氏链模型和概率论模型分别研究了相关政策发生变化后的五年，总投保人数和总支出的变化情况.结合题目中的已知数据，做出一系列合理假设，最终给出了当医药费分别下降20%和40%时，不同收益概率下，今后五年基本保险费的值.
在讨论确定保险费数额时，我们仅仅从保险公司收益的概率大小角度考虑并给出相应概率下的保险费数额.但是在实际中，保险公司在决策时往往还要考虑保证一定的收益额.在模型建立求解中，我们忽略了这一点.若将这点考虑进来，也可以通过一定的算法和编程求得，从而使模型更加完善.
参考文献
[1]中华人民国国家统计局，
[2]中国保险监督管理委员会,
[3]赫孝良等，数学建模竞赛赛题简析与论文点评[M].：
交通大学，2003.
[4]国家统计局，《2010中国统计年鉴》[M].：
中国统计，2011.
[5]启源等，数学模型（第三版）[M].：
高等教育，2003.
附录
一、求马氏链模型参数值的Lingo程序
n0*p00+n1*p10+n2*p20=128;
p01*166.5+876*p31=176.5;
n1*p12=115.5;
p23*n2+n3*p33=876;
p00+p01+w0=1;
p10+p12+w1=1;
p20+p23+w2=1;
p31+p33+w3=1;
n0+n1+n2+n3=1334.5;
w0=1.8/n0;w1=2.82/n1;w2=1.39/n2;w3=32.4/n3;
p00<（57/166.5）;p00>（（57-（w0*166.5-1.17））/166.5）;
p01<（（166.5-58.3）/166.5）;p01>（（166.5-58.3-（w0*166.5-1.17））/166.5）;
p10>（（55.9-（w1*176.5-2.38））/176.5）;p10<55.9/176.5;
p12>（（176.5-58.25-（w1*176.5-2.33））/176.5）;p12<（1-58.25/176.5）;
p20>（11.4-（w2*115.5-0.23））/115.5;p20<11.4/115.5;
p23>（（115.5-11.6-（w2*115.5-0.23））/115.5）;p23<（1-11.6/115.5）;
p31<（69.4/876）;p31>（（69.4-（w3*876-0.7））/876）;
p33>（（876-70-（w3*876-0.7））/876）;p33<（1-70/876）;
0=（166.5*775+n0*p01*0.75*775+0.6*p12*n1*775+0.5*775*n2*p23+p33*0.5*775*n3-618200）^2;
二、求解每年各类总投保人数的Matlab程序
Q=[0.34,0.65,0,0;0.3165,0,0.67,0;0.09317,0,0,0.899;0,0.041,0,0.92;];
r=[1,0,0,0];n0=[166.5,176.5,115.5,876];w=[0.01,0.0135,0.0078,0.039];
R=inline（'0.3112*n^2+5.8899*n+38.462','n'）;
n（1,:
）=（n0*Q+R
（1）*r）;
m（1,:
）=n0.*w;
fori=1:
4
n（i+1,:
）=n（i,:
）*Q+R（i+1）*r;
m（i+1,:
）=w.*n（i,:
）;
end
三、求某一年总支出的数学期望与方差的Matlab程序
a=[1526,1231,823,814]';b=[33985,37006,60015,70971]';
k=[0.019995,0.04003,0.01978,0.01];e=182.1;
f=[1020,1223,947,805]';q=[0.35,0.33,0.10,0.08];
fori=1:
5
n0（i,:
）=sum（n（i,:
））;
forj=1:
4
mu_c（i,j）=q（j）*n（i,j）;
mu_l（i,j）=k（j）*mu_c（i,j）*0.6;
mu_cl（i,j）=mu_c（i,j）-mu_l（i,j）;
var_c（i,j）=q（j）*（1-q（j））*n（i,j）;
var_ww（i,j）=（f（j）+k（j）*b（j）+（1-k（j））*a（j）*0.8）^2*var_c（i,j）;
end
var_w（i,:
）=sum（var_ww（i,:
））;
end
mu_w=mu_c*f+mu_l*b+n0/1334.5*149*100+（mu_cl）*a*0.8;
四、求不同的收益概率以及收益额度下每年保险费的Matlab程序
alpha=0.95;shouyi=0;
fori=1:
5
ifi==1
mn=[166.5328176.4898115.4461876.0058];
else
mn=n（i-1,:
）;
end
renshu=n0（i）-mn
（1）*Q（1,2）*0.25-mn
（2）*Q（2,3）*0.4-（mn（3）*Q（3,4）+mn（4）*Q（4,4））*0.5;
zhichu=norminv（alpha,mu_w（i）,sqrt（var_w（i）））+sum（m（i,:
））/38.45*7000;
x（i,:
）=（zhichu+shouyi）/renshu;
end
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