完整版正比例和反比例的意义知识点.docx
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完整版正比例和反比例的意义知识点
正比例和反比例的意义
知识点一：
正比例和反比例的意义
（1）正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母
和
表示两种相关联的量，用
表示一定的量，那么正比例关系可以写成：
例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量
＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。
（2）反比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母
和
表示两种相关联的量，用
表示一定的量，那么反比例关系可以写成：
×
=
（一定）
例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量
每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量
知识点二：
正比例和反比例有什么相同点和不同点？
（1）相同点：
正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：
正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
正比例
反比例
相同点
不
同
点
知识点三：
正比例和反比例的图像是一条什么线？
（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四：
正比例和反比例的判断
（1）先判断两种量
和
是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合
，则
和
成正比例；若符合
×
=
（一定），则
和
成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】
题型一：
根据图标填写信息
例1：
购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
重量（千克）
1
2
3
4
5
6
…
总价（元）
1.9
3.8
5.7
7.6
9.5
11.4
…
（1）（）和（）是两种相关联的量，（）随着（）的变化而变化。
（2）与总价7.6元相对应的重量是（）千克；与6千克相对应的总价是（）元。
（3）总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是（）。
（4）因为比值一定，所以表中总价和重量叫做成（）的量。
题型二：
根据关系式正比例反比例的判断
例2：
判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）瓷砖面积一定，瓷砖的块数和瓷砖的面积。
（2）铺地面积一定，每块砖的面积和所需块数。
（3）铺地面积一定，方砖的边长和所需块数。
（1）生产总时间一定，生产一个零件的时间和个数。
（2）生产一个零件的时间一定，生产零件的总时间和个数。
（1）圆的周长和半径。
（2）圆的周长一定，圆周率和直径。
（3）圆的面积和半径的平方。
例3：
判断下面各题中的两种量成不成比例（在括号里填上“成正比例”或“不成正比例”）。
（1）正方形的面积和边长。
（）
（2）比的前项一定，比的后项和比值。
（）
（3）人的体重和身高。
（）
（4）每本书的单价一定，买书的本数与总价。
（）
（5）出粉率一定，小麦的重量和出粉重量。
（）
（6）正方体的体积和棱长。
（）
（7）产品合格率一定，产品合格数和产品总数。
（）
（8）工作时间一定，工作总量和工作效率。
（）
例4：
判断下面每题中的两种量成什么比例关系，并说明理由。
（1）每公顷施肥量一定，施肥总量与公顷数。
（2）每台织布机的每小时织布的米数一定，织布的总米数和所用的小时数。
（3）汽车行1千米的耗油量一定，汽车所行路程和总耗油量。
（4）同一辆汽车所行驶的路程和车轮转数。
例题9：
判断下列各题的两种量是否成比例？
如果成，成什么比例？
（1）工作效率一定，工作时间和工作总量。
（）
（2）货物总数一定，每次运货吨数和运货次数。
（）
（3）路程一定，已走路程和剩下路程。
（）
（4）圆的半径和面积。
（）
（5）平行四边形的底和面积。
（）
（6）在太阳照射下，同时同地的竿高和影长。
（）
（7）煤的总量一定，每天烧煤量和可烧的天数。
（）
（8）a·b＝c，c一定，a和b。
（）
（9）分数值一定，分子和分母。
（）
（10）路程一定，车轮的直径和转动的周数。
（）
【巩固练习】
（1）比例尺一定，图上距离与实际距离成（）比例。
（2）圆的半径和面积（）比例。
（3）三角形的高一定，它的面积和底成（）比例。
（4）订阅《中国少年报》的钱数和份数成（）比例。
（5）圆的直径和周长成（）比例。
（6）差一定，被减数和减数（）比例。
（7）圆锥的高一定，底面积和它的体积（）比例。
（1）每公顷的施肥量一定，施肥总量与公顷数成（ ）比例。
（2）要修的路程一定，每天修的路程与天数成（ ）比例。
（3）肥料总数一定，每平方米施肥量和平方米成（ ）比例。
（4）钱的总数一定，铅笔数量和单价成（ ）比例。
（5）制造一批零件的个数一定，制造一个零件的时间和需要的总时间成（ ）比例。
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
（1）平行四边形的底一定，高和面积。
（ ）
（2）积一定，一个因数与另一个数。
（ ）
（3）一本书的页数一定，已看的页数和没看的页数。
（ ）
（4）工作效率一定，工作总量和工作时间。
（ ）
下面各题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例，并说明理由。
1、每个小朋友分的饼干数一定，饼干数的总块数和分的人数。
2、每箱梨的重量一定，箱数和总重量。
3、正方形的周长和边长。
4、正方形的面积和边长。
5、读一本书，每天读的页数和读的天数。
6、一箱饮料的数量一定，卖出的和剩下的。
7、三角形的底一定，它的面积和高。
8、每袋面粉的质量一定，面粉的总质量和袋数。
9、一个人的年龄和体重。
10、长方形的周长和宽。
11、长方形的长一定，面积与宽。
12、三角形的高一定，面积与底。
13、圆的面积与半径。
14、正方形的周长和边长。
15、一个班级的男生人数和女生人数。
16、每箱苹果个数一定，运来苹果的箱数与苹果总个数。
17房屋地面的面积一定，铺地砖的块数与每块地砖的面积。
18、每块地砖的面积一定，铺地面积与所需地砖的块数。
19、分子一定，分母和分数值。
20、三角形的高一定，它的底和面积。
21、梯形的上底和下底一定，面积和高。
22、圆的周长和直径。
23、车轮的直径一定，所行驶的路程和转数。
24、被乘数一定，乘数和积。
25、积一定，一个因数和另一个因数。
26、除数一定，被除数和商。
27、从甲地到乙地，行驶的速度和所用的时间。
28、每台电视机的价格一定，购买电视机的台数和钱数。
29、圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高。
30、小明的身高和他的体重。
10判断下面的两种量成不成比例？
成正比例画“○”，成反比例画“△”，不成比例画“×”。
（1）每小时织布米数一定，织布的总时间和总米数。
（ ）
（2）一个人的年龄和他的体重。
（ ）
（3）生产总量一定，每天的生产量和生产天数。
（ ）
（4）正方形的边长和面积。
（ ）
（5）分母一定，分子和分数值。
（ ）
11填空：
（1）物品的总价一定，它的单价和数量成（ ）比例。
（2）每公顷的施肥量一定，施肥的公顷数和施肥总量成（ ）比例。
（3）要走的路程一定，已行路程与未行的路程（ ）比例。
（4）比的后项一定，前项和比值成（ ）比例。
（5）甲数是乙数的80%，甲数和乙数成（ ）比例。
（6）圆的半径和它的周长成（ ）比例。
14判断（对的打“√”，错的打“×”）
（1）生产效率一定，生产的总量和生产的时间成反比例。
（ ）
（2）出米率一定，大米的重量和稻谷的重量成正比例。
（ ）
（3）汽车速度一定，行驶的路程和所用时间成反比例。
（ ）
（4）三角形的高一定，它的面积和底不成比例。
（ ）
（5）被减数一定，减数和差成反比例。
（ ）
2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。
如果要装订500本，每本有X页。
题中（）量一定，关系式：
（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。
题中（）量一定，关系式：
（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。
题型三：
根据图表成正反比例判断
例：
李平和同学星期六骑车去郊游，下图表示她骑车的路程和时间的关系。
（1）李平骑车行驶的路程和时间成正比例吗？
为什么？
（2）利用图估计，李平20分钟大约行了多少千米？
行20千米大约用了多少分钟？
（答案保留整数）
例：
根据表中两种量相对应的比值，判断它们是不是成正比例，并说明理由。
（1）
面粉的袋数（袋）
1
2
3
4
面粉的总重量（千克）
25
50
75
100
（2）
钢铁的重量（千克）
7.8
15.6
23.4
31.2
钢铁的体积（m3）
1
2
3
4
【巩固练习】
（4）糖果厂包装一批糖果，每袋糖果的粒数和装的袋数如下表：
每袋的粒数
12
15
20
24
…
装的袋数
50
40
30
25
…
每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例吗？
为什么？
1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？
有什么关系？
为什么？
表格1
数量/本
1
3
6
8
10
20
……
总价/元
4
12
24
32
40
80
……
表格2
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
总价/元
6
8
12
16
20
24
……
表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
数量/本
40
30
20
15
12
10
……
题型四：
根据比例关系填表
例4：
（1）根据
，填写下表。
20
35
120
2
8
（2）下表中
和
两个量成反比例，请把表格填写完整
2
40
5
0.1
（3）下表中
和
两个量相关联的量，观察规律，请把表格填写完整
0.5
0.6
1
1.5
2.7
3
【巩固练习】
（1）如果x和y成正比例，并且
＝20。
请完成下表。
y
20
80
130
1000
850
x
1.5
8
0.4
10
在下图中，描出上题中y与相对应的x的点（注意找几个关键点），然后连成线。
（21）已知x和y成正比例关系，请完成下列表格。
x
60
8
y
6
4
2.4
（3）已知x和y成反比例关系，请完成下表。
x
0.07
1.4
0.2
y
14
10
（4）小英和妈妈的年龄变化情况如下，把表填写完整。
小英的年龄/岁
6
7
8
9
10
11
妈妈的年龄/岁
30
31
母女的年龄成正比例吗？
为什么？
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
……
（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。
吨数/吨
4
3
2
1
0
1234567时间/时
（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？
为什么？
（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？
题型五：
比例的扩大缩小
例5：
选择。
（把正确答案的序号填在括号里）
（1）如果两种相关联的量成正比例，一种量扩大几倍，另一种量就（）相同的倍数。
①扩大②缩小③增加④减少
（2）如果两种相关联的量成反比例，一种量扩大几倍，另一种量就（）相同的倍数。
①扩大②缩小③增加④减少
（3）和一定，一个加数和另一个加数（）。
①成正比例②成反比例③不成比例
（4）正方形的面积和边长（）。
①成正比例②成反比例③不成比例
（5）甲、乙两车行同一段路程，甲车需3小时，乙车需5小时，甲、乙两车速度的比是（）。
①11∶6②3∶5③5∶3
题型六：
根据关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例或反比例。
例：
根据下面的关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例。
（1）总价＝单价×数量。
（ ）一定，（ ）和（ ）成正比例。
（2）长方形面积＝底×高。
（ ）一定，（ ）和（ ）成正比例。
（3）xy＝z。
（ ）一定，（ ）和（ ）成正比例。
（4）铺地面积＝方砖面积×方砖块数。
（ ）一定，（ ）和（ ）成正比例。
（5）路程＝速度×时间。
（ ）一定，（ ）和（ ）成正比例。
已知ab＝c，a、b都不为0。
先写两个正比例关系式，再填空。
______（ ）一定，（ ）和（ ）成正比例。
______（ ）一定，（ ）和（ ）成正比例。
（1）速度×时间＝路程。
速度一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。
时间一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。
路程一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。
（2）单价×数量＝总价。
单价一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。
数量一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。
总价一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；
当高一定时，（）与（）成（）比例；
当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中，
当（）一定时，（）与（）成正比例；
当（）一定时，（）与（）成反比例；
6、当a×b＝c（a、b、c为三种量，且均不为0）。
（）一定，（）与（）成（）比例；
（）一定，（）与（）成（）比例；
（）一定，（）与（）成（）比例；
拓展
例：
若x和y是两种相关联的量，判断它们是否成比例，成什么比例
（1）若5x=4y，（x，y均不为0），则x和y成（）比例。
（2）若
，（x，y均不为0），则x和y成（）比例。
（3）若
，（x，y均不为0），则x和y成（）比例。
（4）若
，（x，y均不为0），则x和y成（）比例。
（5）若
，（x，y均不为0），则x和y成（）比例。
【巩固练习】
1.三角形的高一定，它的面积和底（）
A.成正比例B.成反比例C.不成比例
2.甲数和乙数互为倒数，则甲数和乙数（）
A.成正比例B.成反比例C.不成比例
3.
是
的
，那么
与
（）
A.成正比例B.成反比例C.不成比例
例：
如果
＝1（b≠0，c≠0），那么，当a一定时，b和c成（ ）比例；当b一定时，a和c成（ ）比例；当c一定时，a和b成（ ）比例。
作业：
一、填空
1、判断分子、分母、分数值一种量一定，另外两种量成什么比例。
（1）分子一定，分母和分数值成_________比例。
（2）分母一定，分子和分数值成_________比例。
（3）分数值一定，分子和分母成_________比例。
2、已知
=k，当____一定时，另外两种量成反比例。
3、
=_____，当_____一定时，_____和______成正比例。
当_____一定时，_____和______成反比例。
4、已知x、y成反比例，完成表格。
X
4
12
Y
9
18
3
3.6
5、已知x、y成正比例，完成表格。
X
1.5
3
Y
1
4.5
0.15
6、如果6ａ＝５ｂ，那么ａ：
ｂ＝___：
___，ａ：
5＝___：
___。
7、有120吨货物，每次运的吨数和运的次数成（）比例。
8、总价一定，购买算草本的本数和单价成（）比例。
9、工作效率一定，工作总量和工作时间成（）比例。
10、汽车每千米耗油量一定，所行的路程和耗油总量成（）比例。
二、选择
1、如果3x=8y（x、y都不等于0），那么x和y（）
A、成正比例B、成反比例
C、不成比例D、以上说法都不对
2、如果
=
（x、y都不等于0），那么x和y（）
A、成正比例B、成反比例
C、不成比例D、以上说法都不对
3、把一堆化肥装入麻袋中，麻袋的数量和每袋化肥的重量（）
A、成正比例B、成反比例
C、不成比例D、以上说法都不对
4、下列表示x和y成反比例的式子是（）
A、x+3y=12B、y=4x
C、y=
D、y=-
x
5、已知kx=y，且x和y都不为0，当k一定时，x和y（）
A、成正比例B、成反比例
C、不成比例D、以上说法都不对
6、三种量a，b，h的关系是b=ah，当b一定时，a和h（）
A、成正比例B、成反比例
C、不成比例D、以上说法都不对
7、甲数的
是乙数，那么甲数与乙数（）
A、成正比例B、成反比例
C、不成比例D、以上说法都不对
三、判断题
1、正方形的边长和周长成正比例。
（）
2、正方形的边长和面积成正比例。
（）
3、a是b的
，数a和数b成正比例。
（ ）
4、如果4a=3b,那么a∶b=3∶4。
（）
5、圆的周长一定，直径和圆周率成反比例。
（ ）
6、
=B，那么A和B成反比例。
（）
7、长方体的体积一定，底面积和高成反比例。
（）
8、如果x与y成反比例，那么3x与y也成反比例。
（）
9、圆的面积与半径的平方成正比例。
（）
10、圆锥的体积一定，底面积和高成反比例。
（）
11、三角形的高一定，底和面积成反比例。
（）
12、路程一定，车轮的直径与车轮的转数成反比例。
（）
13、全班总人数一定，出勤人数和出勤率成正比例。
（）
14、从甲地到乙地，已走路程和未走路程成反比例。
（）
15、减数一定，被减数和差成正比例。
（）
四、图表题
1、某场一生产车间的生产情况如下表：
时间（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
…
生产量（吨）
70
140
210
280
350
420
490
560
…
（1）表中有哪两个量？
是不是相关联的量？
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小。
（3）说明这个比值所表示的意义。
（4）表中的两种量成正比例吗？
为什么？
2、
平行四边形的底（cm）
1
2
3
4
5
平行四边形的高（cm）
15.6
7.8
5.2
3.9
3.12
（1）写出两种量中相对应的两个数的积，比较大小。
（2）积的意义是什么？
表中相关联的量成什么比例？
（3）当底为6cm的时候，高为多少？
判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。
1、天数一定，每天烧煤量和烧煤总量（）比例。
2、圆的直径和面积（）比例。
3、订《少年科学画报》的份数和所需要的钱数（）比例。
4、生产时间一定，每小时生产的个数和总个数（）比例。
5、被除数一定，除数和商（）比例。
6、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数（）比例。
7、正方形的边长和周长（）比例。
8、比的后项一定，比的前项和比值（）比例。
9、A、B、C三种量的关系是：
A=
。
如果B一定，A、C两种量（）比例。
如果C一定，A和B两种量（）比例。
10、如果Y=10X，X和Y（）比例；如果Y=
，X和Y（）比例。
如果
=Y，X和Y（）比例。
11、分数的大小一定，它的分子和分母（）比例。
12、全班人数一定，出勤人数和出勤率（）比例。
13、正方体一个面的面积和它的表面积（）比例。
14、在一定的时间里，做一个零件所用的时间和做零件的个数（）比例。
15、圆的半径和面积（）比例。
16、圆锥体的高一定，圆锥的底面半径和它的体积（）比例。
17、4X=8Y，X和Y（）比例。
18、车轮的直径一定，所行的路程和车轮的转数（）比例。
19、圆柱的底面半径一定，圆柱的高和圆柱的体积（）比例。
20、分数值一定，分子和分母（）比例。
21、正方形的边长和面积（）比例。
22、小麦的总重量一定，出粉率和面粉的重量（）比例。
23、三角形的面积一定，底和高（）比例。
24、要行一段路程，已行的和未行的路程（）比例。
25、长方形的长一定，宽和周长（）比例。
26、圆的半径和周长（）比例。
27、总产量一定，单产量和数量（）比例。
28、在同一时间里，杆高和影长（）比例。
29、做一项工程，工作效率和工作时间（）比例。
30、汽车从甲地到乙地，行车时间和速度（）比例。
二、判断题，对的打√，错的打ⅹ。
1、速度和时间成反比例。
（）
2、图上距离和实际距离成正比例。
（）
3、三角形的底一定，它的面积和高不成比例。
（）
4、图上距离一定，实际距离和比例尺成正比例。
（）
5、出盐率一定，盐的重量和海水的重量成正比例。
（）
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