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矢量力学与分析力学比较

理论物理（论文）

题目：

矢量力学与分析力学的比较

物理与电子电气工程学院应用物理学（材料物理）专业

学号170904002

学生姓名

指导教师

二〇一〇年十月

摘要

牛顿在总结前人成果的基础上创立了公理化的矢量力学理论体系。

牛顿的这个理论体系以矢量形式为特点，因而被称为矢量力学。

随着时间的推移，日益显出其局限性来。

拉格朗日，哈密顿等人对发展了牛顿力学，建立起来的以分析数学形式表述的理论框架，称为分析力学。

经过人类长期的生产实践活动，经过众多科学家实验和理论的研究，经典力学已经完善并突破了以F=ma为核心的牛顿力学的理论框架（矢量力学）；构建起了现代形式的理论体系（分析力学）。

经典力学虽然已经有了长足的发展，有了相当完整的理论体系，但是这决不意味着经典力学已经发展到顶了。

经典力学的理论体系与经过高度抽象的数学的公理体系还是有所不同，物理学本质上是一门实验科学，物理理论的直接的深厚基础是丰富的实验事实。

关键词：

矢量力学；分析力学；比较；区别

ABSTRACT

Newtonestablishedthevectormechanicstheorysystemthatthejusticeturnsintallyingupthefoundationofpeopleofthepast'sachievement.ThetheorysystembeingNewtoniantakesvectorformasacharacteristics,asaresultiscalledvectormechanics.Alongwithhoraryofchange,showittolimitdaybyday.PullspaceLangforday,admireanairtightetc.persontodevelopedNewton'smechanics,buildupgetupofwithanalysismathematicsformdescriptionoftheoryframe,becalledtoanalyzemechanics.Fulfillmentafterlong-termproductionofmankindactivity,afternumerousexperimentsofscientistandtheoreticalresearch,classicmechanicsalreadyperfectcombinebreakwithF=maforthetheoryframe（vectormechanics）ofNewton'smechanicsofcore;Setupthetheorysystem（analysismechanics）ofhavingthemodernform.Althoughtheclassicmechanicshasalreadyhadasubstantialdevelopment,thereisverycompletetheorysystem,thiswillnevermeanthattheclassicmechanicshasalreadydevelopedacrest.Thetheorysystemandprocessheightabstractionofclassicmechanicsofmathematicsofthejusticesystemstillkeephavingadissimilarity,thephysicsisessentiallyanexperimentscience,physicstheoreticalofthedirectlydeepfoundationisabundantexperimentfact.

Keywords:

Vectormechanics;Analyticalmechanics;Compare;Distinct

第1章绪论

1.1经典力学发展史

经典力学研究宏观物体的机械运动的规律。

伽利略（1564-1642）继承了古代原子论和

数理哲学的优秀遗产，并在实验实践的基础上发扬光大，使之成为一门精密的实验科学。

伽利略也因而成为实验物理学之父。

牛顿集前人之大成，在总结前人成果的基础上创立了公理化的经典力学理论体系。

牛顿的《自然哲学的数学原理》奠定了经典力学的理论基础。

（这个理论体系以矢量形式为特点，因而被称为矢量力学。

）为整个物理学的发展提供了一个坚实的起点平台。

牛顿建立了万有引力定律，是使得人类彻底摆脱了神界的一次思想大解放。

牛顿的贡献当然也有其局限性，这也体现了科学发展过程中人类认识的历史局限性。

特别是，牛顿的初衷，希望把他的理论框架发展成为“自然哲学”——广义的物理学的基础，随着时间的推移，日益显出其局限性来。

拉格朗日，哈密顿等人对发展了牛顿力学，建立起来的以分析数学形式表述的理论框架，称为分析力学。

分析力学的建立和发展，对牛顿的理论体系进行了脱胎换骨的改造，使牛顿的理论框架变得“面目全非”，却使得牛顿的理论体系日益成为自然哲学（物理学）的理论基础。

牛顿力学的发展，与其说是对牛顿理论缺陷的揭示，都不如说是对牛顿理论内在价值的追认：

因为几乎所有近代物理学的发展都可直接或间接地在牛顿力学中找到明确的源头。

分析力学发展简史，现状和前景：

经过人类长期的生产实践活动，经过众多科学家实验和理论的研究，经典力学已经完善并突破了以为核心的牛顿力学的理论框架（矢量力学）；构建起了现代形式的理论体系（分析力学）。

经典力学虽然已经有了长足的发展，有了相当完整的理论体系，但是这决不意味着经典力学已经发展到顶了。

作为一门基础学科，人类实践和相关各学科实验与理论的研究不断给经典力学提出各种新问题，不断拓展着经典力学新的研究领域。

F=ma还应指出，经典力学的理论体系与经过高度抽象的数学的公理体系还是有所不同，物理学本质上是一门实验科学，物理理论的直接的深厚基础是丰富的实验事实。

第2章矢量力学（Vectormechanics）

2.1矢量力学介绍

2.1.1矢量力学的发展

力学通常指以牛顿三大定律为核心的矢量力学，有时也泛指描述低速宏观物体机械运动的经典力学体系。

从亚里士多德和阿基米德的物理学发展到牛顿力学体系经历了约两千年，经历了以哥白尼、开普勒和伽利略为代表的科学革命。

牛顿“站在巨人们的肩膀上”，进行了科学史上第一次伟大的综合，即天与地、实验归纳与理论演绎、时空观与方法论、数学与哲学、物理思维与技术应用等多方面的综合，形成了一个以实验为基础、以数学为表达形式的力学科学体系。

他解决的不只是某些概念和定律，而且找出了大至星宇小至微粒分子和日常物体机械运动的共同数学规律。

使力学成为可与欧氏几何相比美的严格的科学理论体系，成为物理学乃至整个自然科学和工程技术大发展的基础。

牛顿的继承、综合与发展是全面的。

他在1664年的一本《一些哲学问题》的笔记本中写道：

“柏拉图是我的朋友，亚里士多德是我的朋友，但我最好的朋友是真理”。

在数学与物理的结合上，他超越了伽利略所用的初等数学而发展为能够精确描述运动变化过程的微积分（《流数术》）。

在物质观上，他继承了德谟克里特的原子论。

在方法论上他把实验放在首位，他在给奥尔登堡的信中说：

“探求事物属性的准确方法是从实验中把它们推导出来”。

“进行哲学研究最好和最可靠的方法，看来第一是，勤恳地去探索事物的属性、并用实验来证明这些属性，然后进而建立一些假说，用以解释这些事物本身。

”这样，他就把培根的实验归纳法和笛卡儿的理性演绎法统一起来，开辟了一条物理学研究方法的康庄大道。

《自然哲学的数学原理》简称《原理》一书集中反映了牛顿总结建立的力学体系，包括几个基本概念的定义，六条推论（即定理或法则），三条运动定律，万有引力定律及其几何形式和在有阻力介质（气、液体）中的运用，若干天象计算实例，最后讨论了“哲学中的推理方法”。

这里值得特别注意的是牛顿对几个基本概念的明确规定和三条运动定律的建立。

《原理》的“总论”部分不仅对人们长期混淆的几个基本概念（主要是惯性、质量、动量和力）给出了定义，更重要的是把它们都定量地表述为可以测量与计算的物理量。

另外又提出了绝对空间与绝对时间的概念。

从而把物理学的若干基石从亚里士多德以来的经院哲学或神学的桎梏中完全夺取过来，成为建立新大厦的基础。

2.1.2矢量力学的研究方法

　在进行运动学分析时不考虑系统外物体对其力的作用和刚体相互之间力的作用。

建立力与运动的关系是动力学研究的任务。

此外，这种关系与物体的惯性有关，故在处理动力学问题时还必须考虑物体的质量分布，这也是动力学与运动学不同之处。

质点、质点系（包括刚体与刚体系）动力学的基本问题有两类：

（1）已知系统所受的力，求它们的运动规律，称为动力学正问题。

（2）已知系统的运动规律，求产生该运动时系统所受的力，称为动力学逆问题。

作为特殊情况，当系统处于静止时，动力学问题退化为静力学问题。

如同运动学分析一样，在研究动力学问题时，首先应定义该系统的力学模型，如质点、质点系、刚体或刚体系。

然后，根据力学的基本原理建立该力学模型的力与系统运动的关系，即运动微分方程，它是该力学模型的数学模型。

这样，动力学正问题成为对运动微分方程进行积分运算的数学问题。

动力学逆问题成为对运动方程进行微分运算的数学问题。

建立动力学数学模型的方法有矢量动力学与分析动力学两种。

本章将介绍矢量动力学基础，分析动力学基础安排在第7章。

矢量动力学的基础是由伽利略（G.Galilei）奠定的。

他建立了以观察与实验为基础的科学研究方法。

牛顿继续了他的工作，1687年牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》中对矢量动力学作了系统的叙述。

据此，矢量力学又称为牛顿力学。

牛顿力学是质点动力学的理论基础，它的组成部分为著名的牛顿三定律以及作为这三定律补充的"力作用的互不相关定律"。

牛顿三定律叙述如下：

第一定律惯性定律。

如质点不受力的作用，则永远保持静止，或作匀速直线运动。

第二定律力与加速度关系定律。

质点受一力作用而产生加速度，其方向与作用力相同，其大小与力的大小成正比。

如果定义质点的质量为m，作用于质点的力矢量为质点的瞬时加速度矢量为，则此定律的表达式为：

　　第三定律作用与反作用定律。

有一个作用力必存在另一个反作用力，其大小与作用力相等，方向与作用力相反。

需要强调的是作用与反作用力分别出现在两个相互作用的质点上。

　　矢量动力学与拉格朗日动力学之间的关系在利用矢量动力学的方法建立的动力学方程求解系统动力学问题时，由于未知的理想约束力的存在，故需引入约束方程。

对于利用拉格朗日乘子的动力学方程求解同样的问题时，由于未知的拉格朗日乘子的存在，也需引入约束方程。

可见两者在处理动力学问题的方法上是相通的。

从表面上看方程与的差别似乎不大。

其实不然，如果利用动力学方程（6.1-10），必须进行对理想约束力进行分析。

不同的问题分析的过程与结果不同。

而动力学方程（9.1-21）中不出现理想约束力，与该力有关的项统一用式描述。

在建立方程时不必对理想约束力进行分析，因此利用拉格朗日第一类方程建立方程（9.1-21）比利用矢量动力学方法建立动力学方程，更具通用性与程式化[1]。

第3章分析力学

3.1分析力学介绍

3.1.1分析力学的发展

分析力学是理论力学的一个分支，它通过用广义坐标为描述质点系的变数，以牛顿运动定律为基础，运用数学分析的方法，研究宏观现象中的力学问题。

分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系，它的研究对象是质点系。

质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一到无穷。

又如太阳系可看作自由质点系，星体间的相互作用是万有引力，研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学，同分析力学密切相关，在方法上互相促进；工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。

例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。

不同的系统所遵循的运动微分方程不同；研究大量粒子的系统需用统计力学；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。

但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。

分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束方程，系统的自由度就可减少，运动微分方程组的阶数陆之降低，更易于求解。

分析力学的发源1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。

分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。

两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。

1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。

1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程。

汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。

从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。

20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。

3.1.2分析力学的研究方法

经过人类长期的生产实践活动，经过众多科学家实验和理论的研究，经典力学已经完善并突破了以F=ma为核心的牛顿力学的理论框架（矢量力学）；构建起了现代形式的理论体系（分析力学）。

分析力学的主要内容分析力学研究的主要内容是：

导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。

分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。

分析力学中也可用变分原理（如汉密尔顿原理）导出运动微分方程。

它的优点是可以推广到新领域（如电动力学）和应用变分学中的近似法来解题。

从20世纪60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。

在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。

从1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。

但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。

例如用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿-雅可比方程化成波动力学的基本方程——薛定谔方程等。

爱因斯坦提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光速的相对论力学。

第4章分析力学与矢量力学

4.1分析力学与矢量力学的比较

4.1.1分析力学

分析力学与矢量力学前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数学工具，后者采用更多数学分析的方法。

矢量力学

分析力学

几种常用的坐标系

广义坐标（任意曲线坐标系）

力系的平衡

（静力学）虚功原理

牛顿定律

达朗贝尔方程（动力学虚功原理）

（动力学定理）

（拉格朗日方程，哈密顿理论等）

分析力学便于处理更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。

分析力学能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，因而便于阐述力学的普遍理。

分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力），因此分析力学的方法便于推广，对于物理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。

数学工具用得较多，特别是数学分析；当然，我们也不必刻意回避几何方法。

分析力学的特点是：

分析力学的理论概括性比较强，力图对多样化的力学问题作统一的处理，同时也比较抽象。

学习时应加强对其物理意义的理解，同时应注重其在实际问题中的应用。

如果自己能构造一些实例以加深理解当然更好。

分析力学和矢量力学是同一研究对象的两种研究方法，所得结果当然应该一致。

在矢量力学中很难求解的问题可能在分析力学中变得比较容易求解，但是两者不可能得到相互矛盾的结论。

例如，在矢量力学中，单摆（振幅不很小的情况下）的解不能用初等函数来精确表示，那么用分析力学的方法同样不可能用初等函数来精确表示。

分析力学与之前学习的力学，我们会感到有较大的“跳跃性”。

这虽然给我们带来了一定的困难，也给我们一种有益的训练。

因为，严谨性固然是必须具备的良好的学习品质，但带有“跳跃性”地来学习某些内容也是一种必需具备的能力。

刚学习理论力学或分析力学时往往感到，“听课容易，作业困难”，力学习题有些固然比较困难，其实还是有规律可循；听课，特别是要听好课，也未必容易。

感到“作业困难”往往正是由于没有听好课，或者没有很好消化讲课和教材上的内容。

什么叫“听好课”，什么叫“认真阅读教材”，什么叫“很好消化”，首先当然是要弄懂面上的意思，即已经讲出来写出来的意思；进一步要设法挖掘深一层的意思；（为什么要这样讲，这样写，这样论证，这样推导，能不能换一种方法？

）更进一步则是问自己，我还能给自己提出些什么问题？

当然不是说对每个问题都要这样深究，的确也不是每一个问题都值得这样深究；但要努力学会发现值得深究的问题，学会深究问题的方法。

很多同学希望通过做更多的习题来解决‘作业困难’的问题。

这种学习积极性无疑是应该肯定的，做一定数量的习题也是完全必要的。

但是过分看重做题未必是一种好的学习方法，大量做题在时间安排上也是不现实的。

与其匆匆忙忙甚至似懂非懂地做十个题，不如仔仔细细做两三个题。

这里仔仔细细是指多思考，做深做透，举一反三，做一个题要想到一系列题，几个题就变成几个系列的题，几个系列的题交织成网，派生出更多的题，以掌握更多的题；后面也将通过若干例题来说明“仔仔细细”的含义。

出题，解题，批改的过程，小学生只管中间（解题），两头（出题和批改）都是老师的事；中学生不仅等老师出题，自己也会设法找题，不仅等老师批改，自己也会核对答案；大学生应该还要进一步：

自己会出题，逐步会研究，什么样的题目有解，什么样的题目有唯一的解；会研究用各种方法去解，解题方法举一反三；从解题的过程和结果中，研究已知条件举一反三的可能性，会给自己找出更多的题目来。

4.1.2矢量力学

它以质点为对象，着眼于力的概念，在处理质点系统问题时，须分别考虑各个质点所受的力，然后来推断整个质点系统的运动。

牛顿力学认为质量和能量各自独立存在，且各自守恒，它只适用于物体运动速度远小于光速的范围。

牛顿力学较多采用直观的几何方法，在解决简单的力学问题时，比分析力学方便简单。

　经典力学的应用受到物体运动速率的限制，当物体运动的速率接近真空中的光速时，经典力学的许多观念将发生重大变化。

如经典力学中认为物体的质量不仅不变，并且与物体的速度或能量无关，但相对论研究则表明，物体的质量将随着运动速率的增加而增大，物体的质量和能量之间存在着密切的联系。

但当物体运动的速度远小于真空中的光速时，经典力学仍然适用。

牛顿运动定律不适用于微观领域中物质结构和能量不连续现象。

19世纪和20世纪之交，物理学的三大发现，即X射线的发现、电子的发现和放射性的发现，使物理学的研究由宏观领域进入微观领域，特别是20世纪初量子力学的建立，出现了与经典观念不同的新观念。

例如：

量子力学的研究表明，微观粒子既表现为粒子性又表现为波动性，粒子的能量等物理量只能取分立的数值，粒子的速度和位置具有不确定性，粒子的状态只能用粒子在空间出现的概率来描述等。

但量子力学的建立并不是对经典力学的否定，对于宏观物体的运动，量子现象并不显著，经典力学依然适用。

现代物理学的发展，并没有使经典力学失去存在的价值，只是拓宽了人们的视野，经典力学仍将在它适用的范围内大放异彩。

第5章结论与展望

5.1结论

矢量力学和分析力学：

牛顿的《自然哲学的数学原理》奠定了经典力学的理论基础。

（这个理论体系以矢量形式为特点，因而被称为矢量力学。

以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数学工具，后者采用更多数学分析的方法。

分析力学便于处理更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。

分析力学能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，因而便于阐述力学的普遍原理。

分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力），因此分析力学的方法便于推广，对于物理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。

它以质点为对象，着眼于力的概念，在处理质点系统问题时，须分别考虑各个质点所受的力，然后来推断整个质点系统的运动。

牛顿力学认为质量和能量各自独立存在，且各自守恒，它只适用于物体运动速度远小于光速的范围。

牛顿力学较多采用直观的几何方法，在解决简单的力学问题时，比分析力学方便简单。

5.2未来展望

现代物理学的发展，并没有使经典力学失去存在的价值，只是拓宽了人们的视野，经典力学仍将在它适用的范围内大放异彩。

参考文献

[1]XX百科（科学）

[2]刘连寿.《理论物理基础教程》.绪论.高等教育出版社

[3]XX文库.分析力学.

[4]贾利群,张耀宇,刘沛龙,陈向炜,力学理论的矢量分析力学方法-江南大学学报自然科学版.江南大学理学院

致谢

本文是在淮阴师范学院张云、苗小虎两位学长的悉心指导下完成的，表示谢意!