奥数专题时钟问题.docx

奥数专题时钟问题.docx

《奥数专题时钟问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥数专题时钟问题.docx（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

奥数专题时钟问题

奥数专题时钟问题

第一部分基础知识点部分

【开门见山这一段话多半录自XX百科】

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

不同在于时钟问题有别于其他行程问题是：

它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

对于正常的时钟：

1.整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：

每分钟走1小格，每分钟走6度；

时针速度：

每分钟走十二分之一小格，每分钟走0.5度

速度差：

每分钟6-0.5=5.5度；每分钟1-1/12=11/12小格

2.需要注意的是在许多时钟问题中，往往遇到各种“怪钟”、“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，但是在题目中总会给出标准时钟与特殊钟表的比例关系，在独立分析的基础上必须要学会十字交叉法。

当你做过一个题目后，这个十字交叉法其实没有啥精妙之处，与浓度问题中的十字交叉类似，实际就是个一元一次方程变种格式而已。

【温故知新】追击问题的三个特点：

同时出发；同向而行；同时停止。

追击问题的重要公式：

路程差除以时间差=追击时间。

常用的等量关系：

快者路程-慢者路程=距离；在实际题目中，路程差相对变化多一些，主要的类型有：

重合问题（路程）

例如：

时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为65又11分之5分。

认识钟面：

时钟问题解法与算法公式：

时钟问题的关键点：

　　时针每小时走30度;　　分针每分钟走6度

分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。

***************************************************************************

　　第二部分以知促行

　　【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：

　　A．1次B．2次C．3次D．4次

　　【解析】

　　时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：

　　根据角度差/速度差=分钟数，可得90/5．5=16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5=49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。

经验证，选B可以。

　　【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为----。

　　【解法1】

　　时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以

　　【解法2】常规方法

　　设此时刻为X分钟。

则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+10×30度。

所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。

着名数学难题：

时钟的时针和分针（了解）

由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，介绍几例，研究解法。

例1在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？

它们分别表示什么时刻？

解：

钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。

两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。

用数学式子来表示，即为：

12x－x=60m，其中m=1，2，…．

度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟。

所以，12点以后出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出它们:

如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。

1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？

分析：

两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。

而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。

解：

（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）

答：

2点10分时，两针重合。

2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？

分析：

分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。

在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。

因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。

因此，需追及（20＋30）小格。

解：

（5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）

答：

在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。

3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？

分析：

分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。

所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。

解：

（5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）

或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）

答：

在1点21分和1点54分时，两针都成直角。

4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。

看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。

看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。

（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？

看到几点结束的？

分析：

连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。

12点以后时针与分针：

第一次成一条直线时刻是：

（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）即12点32分。

第二次成一条直线时刻是：

（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）即1点38分。

第三次成一条直线的时刻是：

（5×2＋30）÷（1－）＝40÷＝43（分）即2点43分。

如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）

如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。

因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。

5、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27÷。

解：

5×（17－12）＝27（分）27÷＝30（分）

答：

再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。

解题关键：

时钟问题属于行程问题中的追及问题。

钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。

每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。

【其他例题】

　　例1：

从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?

　　5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。

由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。

　　例2：

从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?

　　6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。

如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

　　例3：

在8时多少分，时针与分针垂直?

　　8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。

如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格（分针落后时针），也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/（11/12）=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/（11/12）=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。

由上面三个例题可以看出，求解此类问题（经过多少时间，分针与时间成多少夹角）时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。

解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。

下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。

　　关于时钟的问题有：

求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。

要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。

　　一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。

1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。

　　例4：

从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?

　　9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。

如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/（11/12）=180/11分钟。

　　例5：

一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?

　　9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。

如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/（11/12）=540/11分钟。

　　例6：

时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?

　　时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。

2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。

3.钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？

（）

A.30度B.60度C.90度D.150度［答案］D

［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°。

【例2】中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。

那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？

（）A.10B.11C.12D.13［答案］B

［解一］从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。

因此，时针与分针重合了11次。

选择B。

［解二］根据基本知识点：

由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。

【例3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。

问这次会议大约开了1小时多少分？

（）#中国公务员考试信息网A.51B.47C.45D.43［答案］A

［解析］根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。

由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。

假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小时，约合1小时51分。

【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？

（）

A.10点15分B.10点19分

C.10点20分D.10点25分［答案］A

［解析］代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。

我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。

核心提示

钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T＝T0+111T0，其中：

T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。

T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。

例5从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。

A.43分钟B.45分钟C.49分钟D.61分钟［答案］C

［解析］从12点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0＝45（分钟），根据公式，其间隔时间T＝T0+T0/11≈49（分钟）。

【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?

（）A.1次B.2次C.3次D.4次［答案］B

［解一］从12时到13时，时针旋转了30°；分针旋转了360°。

分针与时针所成的角度从0°变化到330°（其中包括90°和270°），因此有2次成直角的机会。

选择B。

［解二］根据公式：

从12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。

【例7】（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？

（）

A.5点10分B.5点101011分C.5点11分D.5点12分［答案］B

［解析］根据公式：

时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间为10+1011=101011分钟，所以选择B。

强华公务员

【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？

（）

A.32B.32811分C.33分D.34分［答案］B

［解一］根据公式：

时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟，代入公式算得追及时间为30+3011=32811分钟，所以选择B。

［解二］根据基本知识点：

时针与分针24小时内垂直44次，所以垂直间隔为：

24×6044=32811分钟。

核心提示当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题”。

解题的关键是抓住“标准比”，按比例计算。

【例9】（国家2005二类-46）有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少?

（）

A.11点整B.11点5分C.11点10分D.11点15分［答案］C

［解析］标准比：

标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟。

此时，慢钟从4点30分走到10点50分，一共走了6小时20分，合380分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：

x∶380=60∶57，可得：

x＝400（分钟）。

说明标准时间比慢钟快400-380＝20分钟，慢钟走到了10点50分，实际上应该是11点10分了。

【例10】（国家2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。

如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。

则此时的标准时间是多少？

（）

A.9点15分B.9点30分C.9点35分D.9点45分［答案］D

［解析］快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1∶3。

假设现在是9点x分（快钟显示10点整，慢钟显示9点整），那么（60-x）∶（x-0）＝1∶3，解得：

x＝45。

所以标准时间是9点45分。

时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。

关于时钟的问题有：

求时间差：

例：

从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？

A.8小时B.8小时30分C.9小时30分D.9小时50分

解析：

这种属于最简单的时钟问题。

答案是14.45-5.15=9.30C

求慢（快）表在几小时后显示什么时间？

例：

有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是（）。

A．11点整B．11点5分c．1l点1O分D．11点15分

解析：

慢表显示经过的时间是：

10：

50-4：

30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间应该是：

380÷[（60-3）/60]=400分钟=6小时40分钟，答案为C：

4：

30+6：

40=11：

10。

例：

一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。

如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。

则此时的标准时间是（）。

A．9点15分B9点30分c．9点35分D9点45分

解析：

这是2个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。

我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走造成的，3分钟时慢走造成的。

所以当它们（快慢钟）的差距有60分钟时，那么一样，1/4的时间=15分钟时快走造成的，3/4的时间（45分钟）时慢走造成的。

所以标准时间为9点45分，答案为D。

总结：

其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例关系，也就是常说的一小时慢（快）多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的。

延伸：

通过第二道例题，大家可以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题中较困难问题的一个核心思想。

下面，我们继续往下看，来看看时钟问题中较为困难的类型。

求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。

例：

中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？

一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。

1小时时间，分针走60个小格，时针只走了5个小格，所以每小时分针比时针多走55个小格。

解析：

就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题：

时针:

v1=5格/小时分针：

v2=60格/小时

n*60=（v2-v1）*12即：

重合一次，多走60个格，假设重合了N次，所以多走了n*60；再有，一小时多走（60-5）个格，总共走了12小时，所以多走了（60-5）*12个格。

解出：

n=11

例：

从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？

解析：

6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。

如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/55=6/11小时=360/11分钟。

例：

一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？

解析：

9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。

如果要分针与时针重合，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/55小时=540/11分钟。

总结：

这类题型其本质就是追击问题。

我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度差。

而在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小时差55格（前面已经分析过）。

所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。

大家可以看看下面这两个问题：

供大家思考，也是对这类问题的延伸。

例：

爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次,这只钟每昼夜慢多少分钟?

解析：

正常的钟每隔（12/11）小时=（720/11）分钟重合一次，

爷爷家的老式钟是726/11分钟重合一次，慢了6/11分钟。

每小时这个钟就会慢【（6/11）/（720/11）】*60=1/2分钟。

一昼夜共慢了1/2*24=12分钟。

时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。

例：

1个小时内分针和秒针共重叠（）次。

A.60B.59C.61D.55

这个题目很多人认为是61次，我们来讨论一下：

首先，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻

分针和秒针都是在12上

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。

。

。

。

。

。

。

58，59，60

我们来仔细分析

当0分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1次重叠。

但是在0～1之间却是没有重合的，因为当秒针从12转一圈之后回到12，此时的分针已经偏离12，1格子的角度了。

从1～2分钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。

当到了59～60分钟之间，最后是分针和秒针同时到达12上，形成了最后一次重复。

在59～60间隙里面也是没有重合的。

这样我们就可以把开始0位置上的重合看作是0～1上的重合，60上的重合看作是59～60之间的重合，整个过程就发现就是60次。

其次：

如果不是理想状态。

这个题目就出现了2个结果。

就是看间隔。

59个间隔至少有59次相遇。

第一次的间隔没有。

这里有一个问题，很多人认为当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。

如果题目没有交代的情况下是包涵的，跟植树问题是样的。

如果交代了，自然按照题目交代的情况来做。

时钟问题经典例题详解

例：

现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？

析：

2点时候，时针处在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，则需经过10/11/12

分钟的时间。

例：

中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？

析：

时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗时60/11/12＝720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/720/11分钟/次=11次，第11次时，

时针与分针又完全重合在12点。

如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。

如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。

2.分针与秒针秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，每秒钟秒针比分针多走59/60格

3.例：

中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？

析：

秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针

追分针一次耗时，60格/59/60格/秒=3600/59秒。

而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒/3600/59秒/次=59次。

第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。

则重合了59次。

3.时针与秒针

秒针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。

例：

中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合了多少次?

析：

重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次要追60/719/