江苏高考数学二轮复习练习11附加题部分有答案.docx

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江苏高考数学二轮复习练习11附加题部分有答案

专题限时集训（十一）　附加题部分

（对应学生用书第107页）

（限时：

120分钟）

1．（本小题满分10分）（2017·江苏省盐城市高考数学二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：

（t为参数），与曲线C：

（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．

[解]　法一：

直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4，

将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x.4分

联立方程组解得或

所以A（4,4），B.

所以AB＝.10分

法二：

将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x.

直线l的参数方程代入抛物线C的方程得2＝4，即4t2－15t－25＝0，8分

所以t1＋t2＝，t1t2＝－.

所以AB＝|t1－t2|＝＝.10分

2．（本小题满分10分）（2017·江苏省无锡市高考数学一模）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.

（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

[解]　

（1）ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－2ρcos＝2，2分

所以ρ2－2ρ＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.

6分

（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

8分

化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.10分

3．（本小题满分10分）（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）设n∈N*，f（n）＝3n＋7n－2.

（1）求f

（1），f

（2），f（3）的值；

（2）证明：

对任意正整数n，f（n）是8的倍数．

[解]　

（1）代入求出f

（1）＝8，f

（2）＝56，f（3）＝368.2分

（2）证明：

①当n＝1时，f

（1）＝8是8的倍数，

命题成立．

②假设当n＝k时命题成立，即f（k）＝3k＋7k－2是8的倍数，

那么当n＝k＋1时，f（k＋1）＝3k＋1＋7k＋1－2＝3（3k＋7k－2）＋4（7k＋1），

6分

因为7k＋1是偶数，所以4（7k＋1）是8的倍数，

又由归纳假设知3（3k＋7k－2）是8的倍数，

所以f（k＋1）是8的倍数，

所以当n＝k＋1时，命题也成立．

根据①②知命题对任意n∈N*成立.10分

4．（本小题满分10分）利用二项式定理证明：

当n∈N*时，32n＋2－8n－9能被64整除．

[解]　32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝（8＋1）n＋1－8n－9＝8n＋1＋C·8n＋C·8n－1＋…＋C·82＋C·8＋1－8n－9＝82·（8n－1＋C·8n－2＋C·8n－3＋…＋C），6分

而8n－1＋C·8n－2＋C·8n－3＋…＋C∈N*，所以32n＋2－8n－9能被64整除.10分

5．（本小题满分10分）（2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模）已知a，b，c为正实数，求证：

＋＋≥a＋b＋c.

【导学号：

56394086】

[证明]　∵a，b，c为正实数，

∴a＋≥2b，b＋≥2c，c＋≥2a，4分

将上面三个式子相加得：

a＋b＋c＋＋＋≥2a＋2b＋2c，

∴＋＋≥a＋b＋c.10分

6．（本小题满分10分）（四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测）已知函数f（x）＝|x＋1|－|x|＋a.

（1）若不等式f（x）≥0的解集为空集，求实数a的取值范围；

（2）若方程f（x）＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围．

[解]　

（1）令g（x）＝|x＋1|－|x|，则f（x）≥0的解集为空集⇔g（x）≥－a的解集为空集⇔g（x）＜－a恒成立，

g（x）＝|x＋1|－|x|＝，作出函数g（x）的图象，由图可知，函数g（x）的最大值为g（x）max＝1，所以－a＞1，即a＜－1.5分

综上，实数a的取值范围为（－∞，－1）．

（2）在同一坐标系内作出函数g（x）＝|x＋1|－|x|图象和y＝x的图象如图所示，由题意可知，把函数y＝g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1＜a＜0.10分

7．（本小题满分10分）（2017·江苏省淮安市高考数学二模）如图11－9，已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC.

求证：

AD·BC＝2AC·CD.

图11－9

[证明]　∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直径，

∴AD垂直平分BC，设垂足为E（图略），

∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED，

∴△ACD∽△CED，6分

∴＝，∴AD·BC＝AC·CD，

∴AD·BC＝2AC·CD.10分

8．（本小题满分10分）（2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模）如图11－10，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE＝2BE，求证：

2OC＝3BC.

图11－10

[证明]　连接OD，设圆的半径为R，BE＝x，则OD＝R，DE＝2BE＝2x，

Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2＝OC·OE，∴R2＝OC（R＋x），①

4分

∵直线DE切圆O于点D，∴DE2＝BE·AE，

∴4x2＝x（2R＋x），②，∴x＝，8分

代入①，解得OC＝，

∴BC＝OB－OC＝，∴2OC＝3BC.10分

9．（本小题满分10分）（2017·江苏省泰州市高考数学一模）已知向量是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1,1）在矩阵A对应的变换作用下变为P′（3,3），求矩阵A.

[解]　设A＝，

因为向量是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量，

所以＝（－1）＝.

所以6分

因为点P（1,1）在矩阵A对应的变换作用下变为P′（3,3），

所以＝.所以8分

解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝.10分

10．（本小题满分10分）（江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试）

已知α＝为矩阵A＝属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2.

[解]　由条件可知＝λ，

∴解得a＝λ＝2.6分

因此A＝，

所以A2＝＝.10分

11．（本小题满分10分）（2017·江苏省淮安市高考数学二模）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．

（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；

（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.

【导学号：

56394087】

[解]　

（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）＝1－P（）＝1－＝.4分

（2）由题意可得：

X＝5a,6a,7a,8a.

P（X＝5a）＝＝＝，P（X＝6a）＝＝＝，6分

P（X＝7a）＝＝＝，P（X＝8a）＝＝＝.

X

5a

6a

7a

8a

P

E（X）＝5a×＋6a×＋7a×＋8a×＝a.10分

12．（本小题满分10分）（江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：

甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（1）求在一次游戏中摸出3个白球的概率；

（2）在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的数学期望．

[解]　

（1）记“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i＝0,1,2,3）．

则P（A3）＝＝.

故在一次游戏中摸出3个白球的概率为.4分

（2）获奖的概率为P（A2∪A3）＝P（A2）＋P（A3）＝＋＝.

X的所有可能取值为0,1,2.

P（X＝0）＝×＝，

P（X＝1）＝C×＝，P（X＝2）＝×＝.8分

X的分布列为

X

0

1

2

P

故X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＝.10分

（或：

∵X～B，∴E（X）＝2×＝，同样给分）

13．（本小题满分10分）（2017·江苏省泰州市高考数学一模）如图11－11，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1（λ≠0）．

图11－11

（1）若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；

（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．

[解]　以{，，}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.

（1）因为＝（1,2,2），＝（2,0,1），

所以cos〈，〉＝

＝＝.

所以AP与AQ所成角的余弦值为.4分

（2）由题意可知，＝（0,0,2），＝（2,0,2λ）．

设平面APQ的法向量为n＝（x，y，z），

则即

令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ.

所以n＝（2λ，2－λ，－2）.7分

又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，

所以|cos〈n，〉|＝＝＝，

可得5λ2－4λ＝0，又因为λ≠0，所以λ＝.10分

14．（本小题满分10分）（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）如图11－12，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点.

图11－12

（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；

（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．

[解]　

（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，

又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．

分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），

则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得

A（0,0,0），B（2,0,0），C（2,2,0），D（0,4,0），P（0,0,4），

又因为M为PC的中点，所以M（1,1,2）．

所以＝（－1,1,2），＝（0,0,4），

所以cos〈，〉＝

＝＝，

所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.6分

（2）因为AN＝λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），则＝（－1，λ－1，－2），＝（0,2,0），＝（2,0，－4），

设平面PBC的法向量为m＝（x，y，z），

则即令x＝2，解得y＝0，z＝1，

所以m＝（2,0,1）是平面PBC的一个法向量.8分

因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，

所以|cos〈，m〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0,4]，

所以λ的值为1.10分

15．（本小题满分10分）（江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试）已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），点R（1,2）在抛物线C上．

图11－13

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点Q（1,1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B.若直线AR，BR分别交直线l：

y＝2x＋2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．

[解]　

（1）将R（1,2）代入抛物线中，可得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.2分

（2）设AB所在直线方程为x＝m（y－1）＋1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

与抛物线联立

得：

y2－4my＋4（m－1）＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝4（m－1）．

设AR：

y＝k1（x－1）＋2，

由得xM＝，

而k1＝＝＝，

可得xM＝－，同理xN＝－.6分

所以|MN|＝|xM－xN|＝2，

令m－1＝t（t≠0），则m＝t＋1，

所以|MN|＝|xM－xN|＝2≥，

此时m＝－1，AB所在直线方程为x＋y－2＝0.10分

16．（本小题满分10分）（2017·江苏省泰州市高考数学一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2＝2py（p＞0）上的点M（m,1）到焦点F的距离为2，

（1）求抛物线的方程；

（2）如图11－14，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

【导学号：

56394088】

图11－14

[解]　

（1）抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝－，

因为M（m,1），由抛物线定义，知MF＝1＋，

所以1＋＝2，即p＝2，

所以抛物线的方程为x2＝4y.2分

（2）因为y＝x2，所以y′＝x.

设点E，t≠0，则抛物线在点E处的切线方程为y－＝t（x－t）．

令y＝0，则x＝，即点P.

因为P，F（0,1），所以直线PF的方程为y＝－，即2x＋ty－t＝0.

则点E到直线PF的距离为d＝＝.4分

联立方程消元，得t2y2－（2t2＋16）y＋t2＝0.

因为Δ＝（2t2＋16）2－4t4＝64（t2＋4）＞0，

所以y1＝，

y2＝，

所以AB＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝＋2＝.6分

所以△EAB的面积为S＝××＝×.

不妨设g（x）＝（x＞0），则g′（x）＝·（2x2－4）．

因为x∈（0，）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，）上单调递减；x∈（，＋∞）上，g′（x）＞0，所以g（x）在（，＋∞）上单调递增．

所以当x＝时，g（x）min＝＝6.

所以△EAB的面积的最小值为3.10分