⑶函数y=f（x）对一切x满足xf'n（x）+3x[f\x）]2=1—严，假设广g）=O（xo工0）,那么（）
（A）/（卞）是/（x）的极大值
（B）/（列）是/（x）的极小值
（C）（x0J（心））是曲线y=f（x）的拐点
（D）/（勺）不是/（X）的极值，（儿,/（儿））也不是曲线y=f（x）的拐点
⑷设F（x）=[l+27esin,sintdt,那么F（x）（）
Jx
（A）为正常数
（B）为负常数
（C）恒为零
（D）不为常数
2—A\
x<0
7
x<0…
（5）设g（x）=<
x+2,
x>o"）T
MgUM］为
x>0
\2+x\x<0
（A）
2+x,
x<0
x>0
三、
（C）2」，"VO
2-x,x>0
（此题共6小题,每题5分,总分值30分・）
2+x,
x<0
x>0
2-x,x>0
求极限lim山人:
+丄?
1宀一Vx2+sinx
设y=yM由<
x=arctant
2y-ty2+R=5
所确左，求空.
dx
计算J/'（tanx+l）2^v.
求微分方程（3/+2xy-y2）dx+（x2-2xy）dy=0的通解.
⑸X=疋“+小,儿乞心+严,儿=加+小一严是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.
'11
（6）4=011，且A2-AB=EtK中E是三阶单位矩阵,求矩阵B.
00-1
四、（此题总分值8分•）
2*+Ax2-x3=14x,+5x2一5兀3=一1
>1取何值时，方程组“西-吃+a3=2
无解，有惟一解或有无穷多解？
并在有无穷
多解时写出方程组的通解.
五、（此题总分值8分）
设曲线厶的极坐标方程为r=r（0）,M（M）为厶上任一点，M（>（2,0）为厶上一泄点,
假设极径OM°、OM与曲线厶所用成的曲边扇形面积值等于厶上M°,M两点间弧长值的一半，求曲线厶的方程.
同跨考教肓
KUAKAOEDUCATION
六、〔此题总分值8分〕
设函数/⑴在闭区间［0,1］上连续，在开区间〔0,1〕内大于零,并满足xfXx〕=fM+
—x2〔d为常数〕，又曲线y=/〔x〕与x=\,y=0所围成的图形S的而积值为2,求函数2
y=/〔a〕,并问a为何值时，图形s绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小・
七、〔此题总分值8分.〕
函数f{x〕连续，且limS=2,设卩〔x〕=「,求〔p\x〕,并讨论0〔x〕的A-M〕XJo
连续性.
八、〔此题总分值8分〕
就k的不同取值情况，确左方程x--s\nx=k在开区间〔0上〕内根的个数，并证明你22
的结论.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题（此题共5分,每题3分，总分值15分•把答案在题中横线上•）
（1）【答案】e2
【解析】由于/（x）在x=0处连续，故
/（0）=limf（x）=lim?
1©=lim严川=limZIncosx
.ytOxtO.ttO.ttO
吸穿lim空笄洛必达】沛巫二21
=limwr“=gE2x
lim-JllL-1
=2.tcos.v=£2
【相关知识点】1•函数y=f（x）在点儿连续:
设函数/（x）在点X。
的某一邻域内有泄义，如果lim/（©=/（儿）,那么称函数/（X）在点2勺
儿连续.
2.如果函数在心处连续，那么有limf（x）=lim/（x）=/（x0）.
-V™>X（|+A->.t（|—
（2）【答案】一。
2
【解析】题目考察复合函数在某点处的髙阶导数，按照复合函数求导法那么具体计算如下:
y=l[ln（l-x）-ln（l+x2）],
」2兀]x
21—x1+X"2（1—x）1+x"
1-x2
y一一2（1-对2一（1+b，
【相关知识点】1•复合函数求导法那么:
如果u=gM在点x可导，而y=/（x）在点“=g（x）可导，那么复合函数y=f[gW]
在点X可导，且其导数为—=f（u）・g'（Q或—•也.dxdxdudx
⑶【答案】arcsin竽+C或2arcsin当+C
dx
【解析】题目考察不左积分的计算,分別采用凑微分的方法计算如下:
d（x_2）
方法原式二山——=f-f'2=arcsin—+C.
月4十-2）2Jr^72
方法2：
原式二J
dx
長」4_（長丫
dyfx
J47Q
（4）【答案】-
8
【解析】题目考察广义积分的讣算，釆用凑微分的方法，结合根本微分公式表讣算如下:
x+2
dx_1厂（2
4+（x+2）2~2'0]|严2）2
2丿
4-X
17t7t7t
1
=—arctan
2
⑸【答案】3
【解析】方法1：
利用初等变换.
[3]+[2卜（_1）
2
-4
0
-1
r+2
3—f
1
-2
0
以⑷,冬为行构成3x4矩阵，对其作初等变换:
j
2
-1
1'
[2円卜（-2）
'1
2
-1
1'
4=
a2
=
2
0
t
0
0
-4
t+2
-2
0
-4
5
—2.
0
-4
5
_2.
=2,所以3-/=0,/=3・
a、
因为r（A）=ra2
S
方法2：
利用秩的左义.
由于厂＜z2=r（A）=2,那么矩阵A中任一三阶子行列式应等于零.
j
2
-1
1'
a2
=
2
0
t
0
2-
0
-4
5
_2.
应有
1
2
-1
1
2
-1
1
2
-1
2
0
t
=
0
-4
t+2
=
0
-4
t+2
0
-4
5
（）
-4
5
0
0
3-r
同跨考教肓
罗匚二/KUAKAOEDUCATION
解得/=3.
方法3：
利用线性相关性.
因为r（al,a2,a3）=r（A）=2,故久如他线性相关，O以&组成的线性齐次方
a[x}+a[x2+a^x3=BX=0有非零解，因
1
2
2
0
0
-4
B=\c
z.a,a
=
L
1z
」
-1
t
5
1
0
-2
2十
】«2）
'1
2
0_
【驸T
'1
2
0■
3+
1
卩]+2]心一2）
4-
0
-4
-4
忖也x（-2）
0
1
1
T
0
t+2
5
T
0
0
t+3
0
-2
-2
0
0
0
故3X=0有非零解U>/=3・
二、选择题（此题共5小题,每题3分，总分值15分•每题给出的四个选项中，只有一项符合題目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
⑴【答案】（0
【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法那么计算如下：
v严〞一。
丫vx严j_l
lim=hme・
.ytOxnXT（>x/r
tanx-x-iesec2-ltan2x21
=lim=lim=lim=lim——_
5x"5必心2（）加I3x-3
严一夕与疋同阶,故应选（C）.
⑵【答案】（D）
【解析】方法1：
用几何意义•由/（x）>0,/V）<0,/7x）>0可知，曲线y=/（x）是上半平而的一段下降的凹弧，y=j\x）的图形大致如右图.'
5=心是曲边梯形ABCD的而积；
S2=f（b）（h-a）是矩形ABCE的而积：
S.=-[f（a）+f（b）]（b-a）是梯形ABCD的面积.
2
由图可见S?
VS】vS“应选（D）・
方法2：
观察法•因为是要选择对任何满足条件的/（x）都成立的结果，故可以取满足条件的特泄的/（x）来观察结果是什么•例如取f（x）=丄,xu[1,2],那么
&=『+必=和2=扌,S3€=>S2vSiVS3.
【评注】此题也可用分析方法证明如下：
由积分中值泄理,至少存在一个点爲使£/（a-Xv=f^）{b-a\a<^/（/?
）,从而
S\=^f（x）dx=>f（b）（b-a）=S2.
为证S5>Slt令^（.v）=*[/（x）+/（"）]（x-"）-J：
/（『）（〃，那么0（"）=0,
0（兀）=£广（x）（x-"）+|（/W+/（«））一fM
=IfrW（x_-£（/（a）-/（«））
=-f（x）（x-a）--m）（x-a）（a22
=+（广（X）-广（〃））（Xi）,
由于厂（x）>0,所以广（x）是单调递增的，故fix）>广（“）,（p\x）>0,即（pg在［a,b］a）=0,所以（p（x）>0,xe［a.b］,从而
0（"）=+/（"）］（方一“）一£f⑴山>0,
即S、>S\.因此,S2如果题目改为证明题，那么应该用评注所讲的方法去证，而不能用图证.
【相关知识点】1.积分中值左理：
如果函数/（x）在积分区间［“甸上连续，那么在（“"）上至少存在一个点，使下式成立：
=f^）（b-a）（a<^Ja
公式.
2.拉格朗日中值泄理：
如果函数/（x）满足在闭区间［“"］上连续，在开区间（匕方）内可导,那么在仏b）内至少有一点郭v（3）【答案】（B）
【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题，分析如下：
由八％）=0知X=无为f（x）X=X。
代入恒等式Xofn（xo）=1一严,即
［_严
ru0）=—・由于分子、分母同号，故厂（心）>0,因此驻点%=x0为极小值点•应选
Tbl
⑷【答案】（A）
【解析】由于函数sin/是以2龙为周期的函数，所以，
F（x）=Jg*严'sinM=sinrJr,
F（x）的值与x无关•不选D,（周期函数在一个周期的积分与起点无关）.估计]「严『sinM的值有多种方法.
方法1：
划分严sinf取值正、负的区间.
F（x）=严,sintdt=j%sinfsintdt+f曲sintdt=J严，sintdt+J（）不切"（—sinu）du
当00,严-严>o,所以p（x）>0.选（a）.
方法2：
用分部积分法.
F（x）=£es'n!
sintdt=-£fcost
=-eiin,cost2'+Ccostdesin,
0Jo
=一/（1一1）+匚"严cost2dt=j^esia,cosrdt>0.
故应选（A）・
【评注】此题的方法1十分有代表性.
被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时，那么常将积分区间划分成假设干个,使每一个区间内，被枳函数保持确左的符号，然后再作适当的变量变换，使几个积分的积分上下限相同，然后只要估计被积函数的正、负即可.
（5）【答案】（D）
【解析】题目考察函数的复合问题，分淸内层函数的定义域与值域,要注意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域.
当x<0时，f（x）=x2>0,那么g[/（x）]=/（x）+2=〒+2：
当x>0时，f（x）=-x<0,那么g[f（x）]=2-/（x）=2-（-x）=2+x.
X+2,
2+x,
r<0
•，因此应选（D）・
x>0
3.（此题共6小题,每题5分,总分值30分•）
（1）【分析】这是工型的极限,可以设法约去分子、分母中极限为00的因子，从而转化为确左O0
X趋于负无穷.
=—x（xvO）,那么
（2）【解析】题目考察参数方程所确左的函数的微分法.
人X'‘i+尸’
y；可由第二个方程两边对t求导得到：
2£-2心;一员+〞=0,
解得〞=境咯•由此'有）'；=鸞］°；严•
2（1-（y）2（1-/y）
（3）【解析】题目考察，不左积分的换元与分部积分法，难度不大，具体讣算如下:
原式=Je2x（sec2x+2tanx）dx=Je2xsec2xdx+2jelxtanxdx
分部『f7
=IQdtanx+Itanxde^x=e^xtanx+C・
（4）【解析】题目考察齐次微分方程的通解,分别利用齐次方程的求解方法和凑全微分方法计算如下：
方法1:
所给方程是齐次方程.
令y=xii,那么dy=xclu+udx,代入原方程得
3（1+"-"'）dx+x（l-2m）du=0,
别离变量得'i,u=—\吐
1+H-zrx
积分得（空二t=—3卩必，
Jl+i/-zrJx
即l+“—“2=Ch.
以w=-代入得通解x2+xy^y2=-・
XX
方法2：
（3x2+2xy一y2）dx+（x2一2xy）dy
=3x2dx+（yd（x2）+x2dy）-（y2dx+xd（y2））
=d（x3）+d（x2y）一d（xy2）
=d（x3+x2y-x）2）,
故通解为：
a3+x2y-A）'2=C.
⑸【解析】>*!
->'3=e~x与y,-y2=e2x一八都是相应齐次方程的解，（才一儿）+（"一儿）也是相应齐次方程的解、丁与/x是两个线性无关的相应齐次方程的解；而儿-水“=xe"是非齐次方程的解•下面求该微分方程：
方法1：
由芒是齐次解，知,-=-1,^=2是特征方程的两个根，特征方程为
（r+l）（r-2）=0,即r-r-2=0,
相应的齐次微分方程为：
/-/-2y=0.
设所求非齐次方程为：
y"—/-2y=f（x）,把非齐次解.2代入便得
/（x）=（xex）"~（xex）'-2（xex）=（1-2x0.
所求方程为:
y,,-y,-2y=（l-2x）er.
方法2：
由于通解为：
，=*7+°戶+恥"，求出
y'=-c}e~x+2c2e2'+（x+\）ex,yH=c{e~x+4c2e2x+（x+2）ex,
并消去q,c2,便得微分方程/-y'-2y=（1-2x）ex.
_02r
⑹【答案】000
000
【解析】由题设条件Al-AB=E，把A提岀来得A（A-B）=E，因为
11-1
|A|=011=一1工0,
00-1
由此知道A是满秩的，所以A可逆，两边左乘从而有A-B=A~\B=A-A~l.
（^A1-AB=E,AB=A2-E,A可逆，两边左乘A-,,W5=A-,（A2-E）=A-A_1）.
用矩阵的初等变换求A-1.
从而得
[应卜
册〕
'1
1
-1:
1
0
0_
[*MH）
1
1
0：
1
0
-1"
0
1
1:
0
1
0
0
1
0：
0
1
1
0
0
-1:
0
0
1
0
0
-1:
0
0
1■
-2
0
0:
1
0:
0
1:
0
E-A-1
'1
1
'1
一1
-2
'0
2
r
0
1
1
—
0
1
1
—
0
0
0
0
0
-1_
0
0
_1.
.0
0
0
-1
B=A-ATX
四、〔此题总分值8分・〕
【解析】方法1：
对原方程组的增广矩阵作初等行变换:
2
-1:
「
[枫（-5）
-2
2
-上1'
2
-1
「2
2+2
2-1
0:
3
4
5
-6
-5A+5
0-6.
[A%]=
【屮【2卜5
2
2+2
5A+4
2-1:
1
2-10：
3
00：
9
当2^-1且几H1时，r〔A〕=r[A：
/7]=3,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数，故原方程组有唯一解.
当2=--时，心〕=2胡创=3,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解.
当几=1时，原方程组的同解方程组为
2x{+x2-x3=1
=1,
原方程组有无穷多解，其通解为{兀=-1+k,〔k为任意常数〕.X严k.
〔或卜1宀,订=[1,-1,0]7+it[0,1,if{k为任意常数〕〕
方法2：
原方程组系数矩阵的行列式
2-1
0=（2-1）（52+4）,
0
故知：
当且兄H1时，r〔A〕=r[A:
h]=3,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数，故原方程组有唯一解.
4
当2=--时，对原方程组的增广矩阵作初等行变换，得
-1
4
_5
4
2
_10
-4
-5
:
5'
[3卜[2]
）0
-4
-5
:
5'
[2>5
-4
-5
5
:
10
T
-4
-5
5
:
10
4
5
-5
1-1
0
0
0
:
9
r〔A〕^r[A\b]^方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等，故原方程组无解.
当几=1时，对原方程组的增广矩阵作初等行变换，得
~2
1
-1:
1■
2W（-2）
3冲卜（_4）
j
-1
\：
2~
PH2卜3[%
"1
-1
1；2_
1
-1
1：
2
0
3
-3：
-3
0
1
-1:
-1
4
5
-5：
-1
0
9
-9：
-9
0
0
0：
0_
r〔A〕=r[A：
b]=2V3,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数，故
州=1,
原方程组有无穷多解，其通解为彳厂=一1+匕〔乂为任意常数〕・
〔或[W沁丫=[1,-1,0丫+耳0丄1]'伙为任意常数〕〕
5.〔此题总分值8分〕
【解析】由条件得-^r2d&=-^yr2+r,2d0.
22
两边对&求导，得
八=廿+产〔隐式微分方程〕,
解出门得
别离变量，得
—土朋.心_1
由于
两边积分，得arccos-=±&+c・
r
代入初始条件r（0）=2,得c=arccos—=—,=>arccos-=—±0.
即厶的极坐标方程为
—sin<9,
2
23r3
—=cos（—±0）=—cos0q：
r32
从而,厶的直角坐标方程为xT>/3y=2.
A.（此题总分值8分）
【解析】由xf（x）=f（x）+—x2,^2
7
JC
#'（x）—/（x）3a/（x）v3a=_,RP（__）=_.
从而得
=—x+c,即/（a-）=—%2+Cx.
x22
又由题设知，面积
S=]：
/（x）〃x=J（：
（¥+Cx）〃x=#+：
=2,
得C=4-a,从而f（x）=^-x2+（4-a）x.
旋转体体积V（6/）=兀f）"x=^-£[—x2+（4-=^-（―+—+—）.
"。
23033
由Vf（a）=龙（二+-）=0,解得惟一驻点。
=一5：
又由V\a）=二>0,。
=一5是极小值点
11
也是最小值点.（易验证，此时f（x）=-—x2+9x在（0,1］恒正.）
2
七、（此题总分值8分•）
【分析】通过变换将（p（x）化为积分上限函数的形式，此时xH0,但根据lim竺=A，知5X
/（0）=0,从而祕0）=£'f（O）dr=0,由此利用积分上限函数的求导法那么、导数在一点处的定义以及函数连续性的定义来判泄0（x）在x=0处的连续性.
【解析】由题设lim丄巴=A知，f（0）=09f（0）=A9且有似0）=0•又
WwwH也巴（“0）,
从而
心空伞巴（5.
由导数左义，有
0（0）=liink"；竺=lim-^=-
严）一防讪
20.10
由于
ytOxxt（）f
wo疋z2x2
X
AA
=A--=-=从而知0（x）在x=0处连续.
八、（此题总分值8分）
【解析】设/（x）=A-^sinA-,研究/（x）在（0,弓）内的极值情况，从而判泄它与水平线22
y=kf\x）=1一彳cosx=0解得f（x）在（0,—）内的唯一驻点22
x0
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