高考立体几何题型与方法全归纳文科docxWord文件下载.docx
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故BD⊥平面PAC。
（Ⅱ）解：
SBCD1BC?
CD?
sin
BCD
2
2sin2
由PA
SBCD
PA
32
2.
底面ABCD知VPBDC
由PF
7FC,得三棱锥FBDC的高为1PA,
8
11
故：
VFBDC
1PA
23
4
VPBDFVPBCD
VF
7
2、如图，四棱锥P
ABCD中，四边形ABCD为矩形，PAD为等腰三角形，APD
90，平面PAD
平面ABCD，且AB
1,AD2
，E,F分别为PC和BD的中点．
P
E
D
C
F
A
B
（Ⅰ）证明：
EFP平面PAD；
（Ⅱ）证明：
平面PDC平面PAD；
（Ⅲ）求四棱锥PABCD的体积．
OF
AB
如图，连结AC．
∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点．∴F也是AC的中点．
又E是PC的中点，EFPAP
22
∵EF平面PAD，PA平面PAD，所以EFP平面PAD；
∵平面PAD平面ABCD，CDAD，平面PADI平面ABCDAD，
所以平面CD平面PAD，又PA平面PAD，所以PACD
又PAPD，PD,CD是相交直线，所以PA面PCD
又PA平面PAD，平面PDC平面PAD；
（Ⅲ）取AD中点为O．连结PO,PAD为等腰直角三角形，所以POAD，
因为面PAD面ABCD且面PADI面ABCDAD，
所以，PO面ABCD，
即PO为四棱锥PABCD的高．
由AD2得PO1．又AB
1．
∴四棱锥PABCD的体积V
1POABAD
考点：
空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.
3、如图，在四棱锥P
ABCD中，PD
平面ABCD，CD
PA，DB平分
ADC，E为PC的中点，
DAC45o，AC
PA∥平面BDE；
33
（Ⅱ）若PD2,BD22,求四棱锥EABCD的体积
（Ⅰ）设ACBDF，连接EF，
PD平面ABCD，CD平面ABCD，PDCD
又CDPA，PDPAP，PD，PA平面PAD
CD平面PAD，AD平面PADCDAD
∵DAC45,∴DADC,
∵DB平分ADC,F为AC中点，E为PC中点，
∴EF为CPA的中位线.
∵EF∥PA,EF平面BDE，PA平面BDE
∴PA∥平面BDE.
（Ⅱ）底面四边形ABCD的面积记为S;
SSADCSABC
22．
点E为线段PC的中点，
VEABCD
S
PD
2．
1.
线面平行的证明；
2.空间几何体的体积计算.
4、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，其中PAPDAD2，BAD60，Q为AD
的中点．
44
（1）求证：
AD平面PQB；
（2）若平面PAD平面ABCD,且M为PC的中点，求四棱锥MABCD的体积．
（1）QPAPD，Q为中点，ADPQ
连DB，在ADB中，ADAB，BAD60，
ABD为等边三角形，Q为AD的中点，
ADBQ,
PQBQQ,PQ平面PQB,BQ平面PQB,
AD平面PQB.
（2）连接QC,作MHQC于H.
M
H
Q
55
QPQAD,PQ平面PAD,平面PAD平面ABCDAD,平面PAD平面ABCD，
PQ平面ABCD,QC平面ABCD,
PQQC
PQ//MH.
MH平面ABCD,
又PM
12PC,MH
1PQ
3.
在菱形ABCD中，BD2,
SABD
ABADsin600=1
3=3,
S菱形ABCD
2SABD
23.
VMABCD1
S菱形ABCD
MH
123
1．
5、如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，ABAE
2AD4，现将ABE沿
BE边折至
PBE位置，且平面PBE
平面BCDE.
⑴求证：
平面PBE平面PEF；
⑵求四棱锥PBEFC的体积.
CB
（1）
（2）
66
DEF中
ED
DF
DEF
45
【答案】
（1）
证明：
由题可知，
EFBE
AE
AB
ABE
AEB
平面ABE平面BCDE
平面ABEI平面BCDE
BE
EF
平面PBE
平面PEF
SBEFC
SABCD
SABE
SDEF6
122
14，则
V
14
28
h
6、已知四棱锥PABCD中，PD平面ABCD,ABCD是正方形，E是PA的中点，
DC
（1）若PDAD，求PC与面AC所成的角
（2）求证：
PC//平面EBD
（3）求证：
平面PBC⊥平面PCD
【答案】
（1）QPD平面ABCD，DC是直线PC在平面ABCD上的射影，PCD是直线PC和平
77
v1.0
可编辑可修改
面ABCD所成的角。
又QPDDA，四边形ABCD是正方形，DADC,
PDDC，PCD
450；
直线PC和平面ABCD所成的角为450
（2）连接AC交BD与O,连接EO,∵E、O分别为PA、AC的中点
∴EO∥PC
∵PC平面EBD,EO平面EBD∴PC∥平面EBD
（3）∵PD
平面ABCD,BC平面ABCD，∴PDBC，
∵ABCD为正方形∴BC
CD，
∵PD∩CD=D,PD，CD平面PCD
∴BC平面PCD
又∵BC平面PBC
∴平面PBC平面PCD
7、在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为B，构成一个三棱锥．
（1）请判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）证明AB平面BEF；
（3）求四棱锥EAFNM的体积．【答案】
（1）MN平行平面AEF
88
由题意可知点M、N在折叠前后都分别是AB、CF的中点（折叠后B、C两点重合）
所以MN平行AF
MN
面AEF
因为AF
面AEF，所以MN平行平面AEF.
MN平行AF
（2）证明：
由题意可知ABBE的关系在折叠前后都没有改变.
因为在折叠前ADDF，由于折叠后AD与AB重合，点D与F重合，所以ABBF
BF
因为BE
面BEF，所以AB
平面BEF.
面BEF
BF=B
（3）VE
AFNM
VE
ABFVE
MBN
VABEF
VMBEN
1SBEF
1S
BENMB
212
8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
平面EFG⊥平面PDC；
（2）求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．
99
【答案】
（1）证明：
∵MA平面ABCD，PD∥MA，
∴PD平面ABCD，
又BC平面ABCD，∴PDBC，
∵ABCD为正方形，∴BCDC.
∵PDIDC＝D，∴BC平面PDC.
在PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
∴GF∥BC，∴GF平面PDC.
又GF平面EFG，∴平面EFG平面PDC.
（2）不妨设MA=1，∵ABCD为正方形，∴PD＝AD＝2，
又∵PD平面ABCD，
所以VP－ABCD＝1S正方形ABCDPD＝8.
由于DA平面MAB，且PD∥MA，
所以DA即为点P到平面MAB的距离，
三棱锥VP－MAB
＝1
×
1
12×
2＝2.
所以V－
MAB
V－
ABCD
＝1:
4.
9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥
S-ABCD中，
ABC
90,SA
面ABCD，SAAB
BC1,AD
1.
1010
BC
AD
（1）求四棱锥S-ABCD的体积;
（2）求证：
面SAB面SBC;
（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值。
（1）解：
v
Sh
（ADBC）ABSA
1）11
6
SA
面ABCD，BC
面ABCD,又
ABBC，SAABA,
BC面SAB
BC
BC面SAB面SAB面SBC
（3）解：
连结AC,则SCA就是SC与底面ABCD所成的角。
在三角形SCA中，SA=1,AC=1212
2,tanSCA
10、如图，DC平面ABC，EB//DC，ACBCEB
2DC
2，
ACB120o
，
分别为
AE,AB
P,Q
的中点．（I）证明：
PQ//平面ACD；
（II）求AD
与平面ABE所成角的正
弦值．
1111
连接DP,CQ，在ABE中，P,Q分别是AE,AB的中点，所以PQ//1BE，
又DC//1BE，所以PQ//DC，又PQ平面ACD，DC平面ACD，所以PQ//平面ACD
（Ⅱ）在ABC中，ACBC2,AQBQ，所以CQAB
而DC平面ABC，EB//DC，所以EB平面ABC
而EB平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以CQ平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP//CQ
所以DP平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是DAP
在RtAPD中，ADAC2DC222125，DPCQ2sinCAQ1
所以sinDAP
DP15
AD55
1212
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