高三第一次模拟考试文科数学含答案Word下载.docx

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则的最大值是

7．已知函数，则“”是“，使”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

8．如图，正方体中，是棱的

中点，动点在底面内，且，则

点运动形成的图形是

（A）线段

（B）圆弧

（C）椭圆的一部分

（D）抛物线的一部分

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知向量，．若向量与垂直，则实数______．

10．已知函数则______．

11．抛物线的准线方程是______；

该抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，则______．

12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件

的长度数据（单位：

）全部介于至之间．

将长度数据以为组距分成以下组：

，

，，，，

，得到如图所示的频率分布直方图．若长

度在内的元件为合格品，根据频率分布直

方图，估计这批产品的合格率是_____．

13．在△中，内角，，的对边边长分别为，，，且．若，则△的面积是______．

14．已知数列的各项均为正整数，其前项和为．若

且，

则______；

______.

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数的一个零点是．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）设，求的单调递增区间．

16．（本小题满分14分）

在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，，，．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求四面体的体积；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使//平面？

证明你的结论．

17．（本小题满分13分）

某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：

每辆汽车一次停车不超过小时收费元，

超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．

（Ⅰ）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲

停车付费恰为元的概率；

（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．

18．（本小题满分13分）

已知函数，，其中．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．

19．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．

（Ⅰ）若点的横坐标为，求直线的斜率；

（Ⅱ）记△的面积为，△（为原点）的面

积为．试问：

是否存在直线，使得？

说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知集合

．

对于，，定义

；

与之间的距离为．

（Ⅰ）当时，设，，求；

（Ⅱ）证明：

若，且，使，则

（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．

北京市西城区xx高三一模试卷

高三数学（文科）参考答案及评分标准

xx.4

本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B；

2．A；

3．D；

4．B；

5．C；

6．C；

7．A；

8．B．

本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．；

10．；

11．，；

12．；

13．；

14．，．

注：

11、14题第一问2分，第二问3分.

本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

依题意，得，………………1分

即

，………………3分

解得．………………5分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）得．………………6分

………………8分

．………………10分

由

得，．………………12分

所以的单调递增区间为，．………………13分

（Ⅰ）证明：

在△中，

因为，，，

所以．………………2分

又因为，

所以平面．………………4分

因为平面，所以．

因为，所以平面．………………6分

在等腰梯形中可得，所以．

所以△的面积为．………………7分

所以四面体的体积为：

．………………9分

（Ⅲ）解：

线段上存在点，且为中点时，有//平面，证明如下：

………………10分

连结，与交于点，连接．

因为为正方形，所以为中点．………………11分

所以//．………………12分

因为平面，平面，………………13分

所以//平面．

所以线段上存在点，使得//平面成立．………………14分

设“甲临时停车付费恰为元”为事件，………………1分

则．

所以甲临时停车付费恰为元的概率是．………………4分

设甲停车付费元，乙停车付费元，其中．………………6分

则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：

，共种情形．………………10分

其中，

这种情形符合题意．………………12分

故“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为．………………13分

18.（本小题满分13分）

的定义域为，且．………………2分

①当时，，故在上单调递增．

从而没有极大值，也没有极小值．………………4分

②当时，令，得．

和的情况如下：

↘

↗

故的单调减区间为；

单调增区间为．

从而的极小值为

没有极大值．………………6分

的定义域为，且．………………8分

③当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．

………………9分

④当时，，在上单调递减．

当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．………………11分

当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．

综上，的取值范围是．………………13分

依题意，直线的斜率存在，设其方程为．………………1分

将其代入，整理得

．………………3分

设，，所以．………………4分

故点的横坐标为．

依题意，得，………………6分

解得．………………7分

假设存在直线，使得，显然直线不能与轴垂直．

由（Ⅰ）可得．………………8分

因为，

所以

，

解得，即．………………10分

因为△∽△，

所以．………………11分

，………………12分

整理得．………………13分

因为此方程无解，

所以不存在直线，使得．………………14分

当时，由，

得

所以．………………3分

设，，．

因为，使，

所以，使得

所以，使得，其中．

所以与同为非负数或同为负数．………………6分

．………………8分

（Ⅲ）解法一：

．

设中有项为非负数，项为负数．不妨设时；

时，．

所以，整理得．

．……………10分

因为

又

．

即．……………12分

对于，，有，，且，．

综上，的最大值为．……………13分

解法二：

首先证明如下引理：

设，则有．

证明：

因为，，

即．

．……………11分

上式等号成立的条件为，或，所以．……………12分

对于，，有，，且，．