上海市南模中学学年高二下学期开学考数学试题.docx
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上海市南模中学学年高二下学期开学考数学试题
上海市南模中学2021-2022学年高二下学期开学考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
评卷人
得分
一、单选题
1．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：
，则（ ）
A．四点O，A，B，C必共面
B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面
D．五点O，P，A，B，C必共面
3．若数列
满足
（p为常数，
），则称
为“等方比数列”，则“数列
是等方比数列”是“数列
是等比数列”的（ ）条件
A．非充分非必要B．充要C．充分非必要D．必要非充分
4．设数列
前n项和为
，已知
，
，则
（ ）
A．410B．408C．
D．
评卷人
得分
二、填空题
5．不共面的四点最多可以确定平面的个数为_________.
6．若直线l的倾斜角为
，则直线l的斜率为________.
7．若
，则
________.
8．设直线
过定点
，则点
的坐标为________.
9．若一圆柱的侧面积为
，则经过圆柱的轴的截面积为______
10．已知数列
中，
，
，若
为等差数列，则
________.
11．已知A、B是随机事件，则下列结论中正确的有________（填写序号）
①若A、B是互斥事件，则
；
②若事件A、B相互独立，则
；
③若A、B是对立事件，则A、B是互斥事件；
④事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率．
12．已知直线l经过直线
：
和
：
的交点，且垂直于直线
：
，则直线l的方程是________.
13．已知直线
，
.若
时，则直线
与
之间的距离________．
14．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若
，
，则当Tn取最大值时，n的值为_____.
15．已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、
，则
的取值范围为________.
评卷人
得分
三、概念填空
16．若直线l的方向向量
，平面
的法向量
，则直线l与平面
的位置关系是__________________．
评卷人
得分
四、解答题
17．某学校
名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
，
，
，
，
．
（1）求图中
的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这
名学生语文成绩的平均分、中位数（保留两位小数）．
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（
）与数学成绩相应分数段的人数（
）之比如下表所示，求数学成绩在
之外的人数．
分数段
18．已知空间中三点
、
、
，设
，
．
（1）若
，且
，求向量
；
（2）求以
、
为一组邻边的平行四边形的面积S．
19．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月
日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若
，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？
并求这一天的新感染者人数.
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=
，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：
PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
？
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
21．若数列
满足:
对任意
，都有
则称
为“紧密”数列.
（1）设某个数列为“紧密”数列，其前
项依次为
，求
的取值范围；
（2）若数列
的前项和
，判断
是否为“紧密”数列，并说明理由；
（3）设
是公比为
的等比数列，前
项和为
，且
与
均为“紧密”数列，求实数
的取值范围.
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据点与线、点与面、线与面关系的集合表示方法，结合排除法，可得正确选项.
【详解】
由点线、点面关系用
表示，线面关系用
表示，排除A、C、D；
故选：
B
2．B
【解析】
根据空间向量的共面定理求解.
【详解】
因为
所以
，
所以
，
即
，
所以四点
、
、
、
共面．
故选：
B
【点睛】
本题主要考查空间向量共面定理，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质以及正负进行判断即可.
【详解】
若
为等比数列，则
成等比数列，即
是等方比数列，故必要性满足；
若
是等方比数列，即
成等比数列，则
不一定为等比数列，例如
，充分性不满足.
故选：
D
4．A
【解析】
【分析】
求出
推出周期为4，即可求得前820项的和.
【详解】
由已知得：
所以数列
是周期为
的数列，
.
故选：
A
5．4个
【解析】
【分析】
不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况,由于不共线的三个点确定一个平面,从而可以得出结果.
【详解】
解：
不共线的三个点确定一个平面,
不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况.
从
个点中任取
个点都可以确定一个平面,共有
种结果.
故答案为
个
【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论,考查不共线的三点可以确定一个平面,考查组合数的应用,本题是一个基础题.
6．
【解析】
【分析】
利用直线的斜率结合倾斜角即可求出结果.
【详解】
因为直线l的倾斜角为
，则
.
故答案为：
.
7．
【解析】
【分析】
根据题意，得到
，即可求解.
【详解】
由
，可得
.
故答案为：
.
8．
【解析】
【分析】
化简直线方程为
，联立方程组
，即可求解.
【详解】
由直线方程
，可化简为
，
又由
，解得
，
即直线恒经过定点
.
故答案为：
.
9．6
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式得关系式，再根据圆柱的轴的截面积求结果.
【详解】
设圆柱的底面面积半径为
，高为
，则
，即
，
因此圆柱的轴的截面积为
故答案为：
6
【点睛】
本题考查圆柱的侧面积与轴截面积，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．0
【解析】
【分析】
求出等差数列的公差，由等差数列的通项公式即可求出.
【详解】
因为
为等差数列，
所以
，
所以
，
解得
.
故答案为：
0
11．③④##④③
【解析】
【分析】
利用互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质分析判断
【详解】
对于①，若A、B是互斥事件，则
，所以①错误，
对于②，若事件A、B相互独立，则
，而当A、B是互斥事件时，
，所以②错误，
对于③，若A、B是对立事件，则A、B一定是互斥事件，所以③正确，
对于④，因为事件A、B至少有一个发生包含A、B恰好有一个发生和A、B同时发生两种情况，所以事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率，所以④正确，
故答案为：
③④
12．
【解析】
【分析】
先求直线
和
的交点，垂直于
的直线的斜率为
，最后根据点斜式写出
的直线方程．
【详解】
解方程组
得
∴
与
的交点为
.
由
的斜率为
得
的斜率为
，
∴所求直线
的方程为
，即
.
故答案为：
13．
【解析】
【分析】
根据两直线平行的等价条件求出
的值，再由两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
因为直线
，
，且
，
可得
，解得：
，
所以
，
，即
，
所以直线
与
之间的距离为
，
故答案为：
.
14．4
【解析】
【分析】
设等比数列{an}的公比为
，求得
，得到
，进而利用指数函数的性质，即可判定，得到答案.
【详解】
设等比数列{an}的公比为
，
因为
，
，可得
，解得
，
则
，
当Tn取最大值时，可得n为偶数，函数
在R上递减，
又由
，
，
，可得
，
当
，且n为偶数时，
，
故当
时，Tn取最大值.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式求得公比，进而利用等差数列的求和公式，得到
的表达式，结合指数函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
15．
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解即可.
【详解】
因为MN是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1、
所以
，如图，
设
，则
因为
当
时取等号，此时点P在ABCD平面内，
又
当
时取等号，此时点P在ABCD平面内.
即所求的范围是
.
故答案为：
16．
【解析】
略
17．
（1）
；
（2）平均分为
；中位数为
；（3）
人.
【解析】
【分析】
（1）由频率和为
可构造方程求得结果；
（2）根据频率分布直方图估计平均数和中位数的方法直接计算可得结果；
（3）根据比例关系分别计算出数学成绩在
，
，
，
的人数，由此可计算得到结果.
【详解】
（1）由频率分布直方图得：
，解得：
；
（2）平均分为
；
设中位数为
，则
，解得：
；
（3）数学成绩在
的人数为：
人；
数学成绩在
的人数为：
人；
数学成绩在
的人数为：
人；
数学成绩在
的人数为：
人；
数学成绩在
之外的人数为：
人.
18．
（1）
或
（2）3
【解析】
【分析】
（1）首先求出
的坐标，由
，可设
，利用
，求出参数的值，即可求出结果．
（2）求出
，
，
，
，再由同角三角函数的基本关系求出
，最后由面积公式求解.
（1）
因为
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，且
，设
，
，解得
，
或
．
（2）
因为
，
，
，
，
，
，
.
19．
（1）
人；
（2）11月13日新感染者人数最多为630人.
【解析】
【分析】
（1）根据题意数列
是等差数列，
，公差为
，又
，进而根据等差数列前
项和公式求解即可；
（2）11月
日新感染者人数最多，则当
时，
，当
时，
，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.
【详解】
解：
（1）记11月
日新感染者人数为
，
则数列
是等差数列，
，公差为
，
又
，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为：
人；
（2）记11月
日新感染者人数为
，
11月
日新感染者人数最多，当
时，
.
当
时，
，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以
，
得
，即
解得
或
（舍），
此时
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
【点睛】
本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当
时，
，当
时，
，进而求和解方程.
20．
（1）证明见解析；
（2）
；（3）存在，
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，即可得出结论．
（1）证明：
在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（2）解：
连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC．
由
（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=
，
在Rt△POA中，因为AP=
，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=
，所以cos∠PBO=
，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为
．
（3）解：
假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
．
设QD=x，则S△DQC=
x，由
（2）得CD=OB=
，
在Rt△POC中，PC=
，
所以PC=CD=DP，S△PCD=
=
，
由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x=
，所以存在点Q满足题意，此时
=
．
考点：
点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．
21．
（1）
；
（2）
是“紧密”数列，理由见详解；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得到
，且
，求解，即可得出结果；
（2）根据
，求出
，计算
的范围，即可得出结论；
（3）先讨论
，易得满足题意；再讨论
，得到
，
，根据
为“紧密”数列，得到
或
，分别根据这两种情况，计算
的范围，即可得出结果.
【详解】
（1）若数列
为“紧密”数列，则
，且
，解得：
；
即
的取值范围为
；
（2）数列
为“紧密”数列；理由如下：
数列
的前项和
，
当
时，
；
当
时，
，
又
，即
满足
，
因此
，
所以对任意
，
，
所以
，
因此数列
为“紧密”数列；
（3）因为数列
是公比为
的等比数列，前
项和为
，
当
时，有
，
，
所以
，
，满足题意；
当
时，
，
，因为
为“紧密”数列，
所以
，即
或
，
当
时，
，
，
所以
，满足
为“紧密”数列；
当
时，
，不满足
为“紧密”数列；
综上，实数
的取值范围是
.
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
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