HPM视角下的对数概念教学.doc

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【编者按】本刊自2014年第5期开始，陆续刊发了华东师范大学汪晓勤教授及其团队开发的3则针对中学的HPM教学案例，深受教师们的欢迎。

本期，我们来分享金惠萍、王芳老师的研究成果。

金惠萍，王芳（浙江省义乌中学,322000）

摘要：

对数的发展史大体上可分为简化运算思想的形成、对数表的发明、指数与对数关系的发现3个阶段。

随着计算工具的不断变革与普及，教材的编写略去了对数发展史的前2个阶段，导致学生缺乏对对数产生背景的了解，难以领悟其中的“算理”。

沿着对数的发展脉络，把前2个阶段也纳入到课堂教学之中，进行了一次历史的“重构”，通过“感受运算之繁”、“发现数表之妙”、“享受用表之乐”、“体验查表之缺”等环节，促进了学生对对数概念的理解，对对数表的应用，获得了良好的教学效果以及来自学生的认可。

关键词：

HPM对数概念教学教学设计反馈

在人教版高中数学必修1中，对数概念是通过人口增长模型y=13×1.01x，在已知底数和幂值的条件下求指数的问题引入的。

这种引入方式结合实际问题，简明扼要地指出了对数研究的必要性，揭示了对数与指数之间的内在关系，有利于保持《基本初等函数（Ⅰ）》这一章的系统性。

尽管如此，对学生而言，对数毕竟是一种新的运算，它的表示及运算规则都是之前所不熟悉的。

在对数概念学习中，学生普遍存在着两种现象：

一是对对数价值、作用的认识比较模糊，不知道为什么要引入对数；二是盲目套用对数运算法则，出现如loga（MN）=logaM·logaN、loga（M+N）=logaM·logaN之类的错误。

导致上述现象的原因，是学生缺乏对对数产生背景的了解——未能领悟其中的“算理”，接受起来自然比较困难。

英国数学史家福弗尔（J.Fauvel，1947～2001）认为，这种透过指数的定义方式太过于抽象和形式化，非但“无法带给学生任何的启蒙”，而且还会造成学生在对数概念学习上的“内在洞察力的丧失”。

为了弥补这一缺憾，教材在课后的“阅读与思考”栏目中，特别介绍了“对数的发明”，供学生了解对数的发展史。

但从教学实施的情况来看，大部分学生并未对此给予应有的关注，而很多教师则常常因为课时的限制而未能将之纳入到课堂内，他们都辜负了教材编写者的良苦用心。

能否寻求一种既不挤占教学时间又能清楚地诠释对数的“算理”，既不至于让本节课异化为“数学史课”又能够还学生一个“有血有肉”的对数概念的教学方式？

一、数学史对教学设计的启迪

由于人们常用的等比数列，其公比都是大于1的正整数，随着项数的增大，相邻两项的间隔越来越大，因而在实际计算中用处不大。

鉴于此，苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier,1550～1617）采用了十分接近于1的公比，将递减的等比数列与首项为0、公差为1的等差数列相对应，保证在一定范围内相邻两项的间隔非常小，在该范围内小于107的任何整数均可在同一个等比数列中找到。

这样，就可以利用对应关系来简化乘除运算了。

此外，纳皮尔还将离散的数列模型转化为连续的运动模型。

1614年，纳皮尔出版《奇妙的对数定律说明书》，成为了对数的发明者。

为了这一具有划时代意义的发明，纳皮尔整整花费了20年时间！

不久，布里格斯（H.Briggs,1561～1630）改造了纳皮尔的对数，发明了常用对数。

虽然对数的发现早于指数，但直到1728年，瑞士的大数学家欧拉（L.Euler,1707～1783）理顺了指数与对数的关系，提出了“对数源于指数”之后，对数才被世人广泛接受。

由上可知，对数的发展史大体上可分为简化运算思想的形成、对数表的发明、指数与对数关系的发现3个阶段。

随着计算工具的不断变革与普及，对数表逐渐淡出了人们的视野，新版教材也应时而变，略去了对数发展史的前2个阶段。

但这段横跨200多年跌宕起伏、动人心魄的发展史，仍然耐人寻味，而其间每个阶段所凝聚的思想、智慧与精神，至今闪烁着动人的光芒。

为此，我们沿着对数的发展脉络，把前2个阶段也纳入到课堂教学之中，进行了一次历史的“重构”。

对于“第1阶段”，依据当时的历史事实，设计了一个“天文数字计算”的情境，以繁杂的计算为映衬，凸显出简化运算的迫切性。

对于“第2阶段”，则进行适当的教育加工，设计了一场从“指数表”演化为“对数表”的探究活动。

考虑到高一学生的认知水平，用“以2为底”代替“以10为底”，以提高规律的识别度，突出数表的强大作用，使学生的思维专注于“算理”的探究与运用上，进而深层次地理解对数概念的数学本质。

对于“第3阶段”的“指对关系”，并不单独呈现，而是将之作为一种思想方法，渗透至上述各个环节之中。

整合后的教学流程如图1所示。

二、课堂实录

下面给出本节课中几个主要环节的课堂实录。

（一）感受运算之繁

师（出示算式：

299792.468+31536000=?

）今天老师想考验大家的速算水平，请计算此式。

生31835792.468。

师那把“＋”变成“×”的话呢?

（学生众说不一，抱怨数据太大。

）

师看来乘法比加法要难算。

这个数据确实太大，但来自现实：

299792.468（km/s）是光在真空中的速度，31536000是一年的总秒数，因此两数的乘积就是天文学中一光年的大小。

光年是天文学单位，天文学中计算的数据就是以这个数据为基础的。

生这么大，难怪叫天文数字。

师在16～17世纪，天文学开始迅速发展，并带动了很多领域的发展。

天文学家为了计算一个行星的位置，时常需要耗费几个月甚至几年的时间，问题主要就集图1中在复杂的数据运算上。

因此，改进运算方法成为了天文学家们的当务之急。

（二）发现数表之妙

师（出示表1）当时的数学家们也在试图改进运算方法，并在研究中发现了一些规律。

请大家填写此表，并找出它的规律。

师那你能继续算一下x=10时，y所对应的数是多少吗？

生1024。

师那15对应的数呢？

（稍作停顿）大家能算吗？

动手试试。

生15个2相乘可得。

（教师和其他学生都笑了。

）

生

（新颖的想法激起了很多学生的兴趣。

）

生我觉得它可以有很多种拆法，只要拆出来的2个数对应的指数之和等于15，就可以了。

师很好！

那还能算213、214以及其他的式子吗？

生可以，只要像上面一样拆，就可以了。

师通过这种方法，我们可以制作出一张表格。

（三）享受用表之乐

师（出示算式：

16×128=?

）同学们来看第2个算式。

生2048。

师算得很快。

（出示算式：

128×256=?

）能不能再算一个？

生32768。

师怎么可以算得这么快？

我们请这位同学说说他的方法。

生

师是吗？

居然不用计算，查查表就可以了！

（出示算式：

0.125×1024=?

）你们愿意再挑战一下吗？

生

师（出示算式：

4096×16384=?

）那这个算式呢？

生16384是2的几次方？

师请同学们拿出老师课前发给大家的表格A（见表2），看看有没有？

生

生若要算67108864×512呢？

表格A中没有啊！

生这个表最大只能查到230，要算235就不行了。

有没有更大的表？

师请查看课前发给大家的表格B（见表3）。

生表格B也只能算到260，虽然数据已经很大，但还是不一定够用啊！

生我认为这个问题可以解决，只要我们按照上面的方法把表格造出来，就可以了。

但我觉得还有一个更大的问题：

这样的表只能查2的整数指数幂，而对于其他数值，比如3×5，就不行了。

师看来还有很大问题。

那怎么办？

生能不能把表做得更细一点，把3是2的几次方、5是2的几次方都做进去？

师可以。

在16世纪，数学家们已经可以借助微积分计算出分数、小数指数幂的近似值。

（出示《中学数学用表》）这个是《中学数学用表》，里面有张表格可以用来查询你所需要的数据，但要说明一下，它是以10为底的，不过原理是一样的。

其实，这个表初中时也给大家发过，只是很少应用。

生哇，好厉害！

师虽然表很好用，但造表的难度却相当大，不过一旦做好了，就能一劳永逸。

500年前苏格兰数学家约翰·纳皮尔，用了人生中宝贵的20年时间，研究运算规律，并制作了一张可查的表格。

数学家拉普拉斯说：

“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍。

”伽利略更是发出了豪言壮语：

“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。

”对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用。

（稍作停顿）想象一下，整整20年的时间里，约翰·纳皮尔每天都在不停地计算、计算……而我们有时候可能计算个5分钟的时间，就已经没有耐心了。

如果我们也能花这样的精力去做一件事情的话，每个人或许都能成为伟人了。

（学生被历史故事深深吸引，有的点头表示认同，有的陷入沉思之中。

）

师约翰·纳皮尔把表中上行的数称为“logarithm”。

这个数表在康熙年间传入中国，《数理精蕴》中把表中下行的数称为“真数”，把“真数”上面那个“借来用一下”的数称为“借数”。

“真数”一直沿用至今，而“借数”——“真数”上面那个“所对应”的数，后来被称为“对数”。

生（顿悟）原来“对数”不是指“对”（“错”的反义词）的数，而是指“对应”的数啊！

（四）体验查表之缺

师请大家思考之前的问题：

299792.458×31536000，如何解决？

生如果有表格，则只需要找到299792.458所对应的x和31536000所对应的y，并求得x+y的值，再查表即得299792.458×31536000的结果。

师我们利用Excel操作模拟查表。

请同学们观察这个计算存在什么问题。

生查表所得到的乘积跟手算所得到的值不相等，查表所得只是近似值。

生那能不能精确表示呢？

（师生共同讨论，发现数表解决不了这个问题。

学生感觉比较失望。

）

（五）引入符号之需

师大家一起回顾一下初中学习无理数时的场景，

生它是一个符号，表示x2=2的正解。

师是估计值吗？

生是精确值。

生（小声嘀咕，不太敢说）对了，我们是不是也可以找一个记号来表示它们？

师嗯，你的意思是通过“定义”一个记号来表示新产生的对数。

如何表示呢？

（稍作停顿）历史上曾采用“logarithm”的缩写“log”来表示对数。

例如，2x=3中的x就表示为log3。

那么，2x=5呢？

生x=log5。

生老师，这样好像有问题。

如果我要表示3y=3中的y，那不也是log3了吗？

重复使用了。

师是有这个问题，怎么解决呢？

生我觉得是不是可以把底数也表示进去？

师嗯，数学家们也这么认为，他们把底数也写入到记号中。

例如，2x=3中的x=log23，而3y=3中的y=log33。

生哦。

师把这些记号一般化，就有了对数的定义：

若ax=N，则数x就叫作以a为底N的对数，记作x=logaN，其中的a称为底数，N称为真数。

三、课后调查

本节课的授课对象是一所普通高中的一个高一普通班，课后的问卷调查结果显示：

（1）在概念的理解上，86.4%的学生认同符号“log”，95.5%的学生能够准确判断“log”与“a”、“N”的关系，87.7%的学生看到对数式“x=logab”时的第一反应是“ax=b”，4道“指对互化”小题的答题正确率达98%——这说明本节课的教学并未影响学生对指对关系的认识。

虽然本节课未讲授对数运算法则，但有75%的学生认为log2（a+b）=log2a·log2b（a>0,b>0）是“错误的”——这一数据明显高于该年级的其他班，表明学生已充分认识了对数中蕴含的简化运算思想，基本理解了对数“化乘法为加法”的“算理”。

（2）在数表的应用上，89.5%的学生认为“数表是在课前发的，且上课时仅仅用到了其中的若干数据，并无繁杂之感”；92%的学生认为“这些貌似冰冷的数字居然蕴含了如此丰厚的数学思想”，觉得大开眼界；54%的学生“突然明白了初中时发下来的那本‘数表’居然这么有用”，还有3位同学提出“把那本陈旧的‘数表’翻出来再研究一番”——这一结果令人惊喜，也打消了笔者课前存有的顾虑：

对数表中的数据多，会不会让学生感觉到繁杂？

教材中已经略去了对数表，现在虽经改良，但在短暂的时间内能不能起到应有的作用？

（3）在教学形式的认可上，95.5%的学生表示能够适应这节课的形式，93.2%的学生认为这节课的内容比教材中介绍的丰富多了，93.2%的学生对这节课所涉及的数学史知识，包括纳皮尔的故事、简易对数表格的制作、常用对数表的查表等，很感兴趣。

在进一步的访谈中，不少学生认为，现在的数学课比较单调，像这样有生动背景的课正是他们所喜欢和想要的；很多学生认为，这种授课方式可以拓宽他们的知识面，增进他们对数学的理解；所有的学生都认为，纳皮尔的执着与坚持给了自己很大的触动，要学习科学家们潜心研究、创新的精神。

四、结语

对数的出现，源于航海、天文等方面计算的需求。

看似深奥的对数理论，其起源却是朴素的，因而更能贴近学生的思维，打动学生的心灵。

早在2010年，章建跃先生就曾提出，“理解数学、理解学生、理解教学”是高中数学课程改革的基石。

而要真正践行这“三个理解”，数学史是不可或缺的重要载体。

以史为鉴，即是把“现成的知识”还原为“现实的问题”，在问题解决中经历数学知识的发生、发展过程，并通过追寻大师的足迹、仰望大师的风采，汲取人类文明中的无穷智慧。

这，正是开展高品质教育的“人间正道”。

*本文系课程与教材研究所“十二五”规划课题《数学史融入高中数学教材研究》的HPM案例之一，由浙江省义乌市王芳数学教育工作室设计和实施。