第二节牛顿的微积分.docx

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第二节牛顿的微积分

第二节牛顿的微积分

一《流数简论》

　　《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．

　　牛顿把曲线f（x，y）＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f（x，y）＝0的切线斜率

所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是x和y对t的导数：

　　而它们的比就是y对x的导数

布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．

　　牛顿考虑的第一个问题是：

给定x和y的关系f（x，y）＝0，求

的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度（流数）之间的关系．若用子表示，则为

　　它是牛顿用来计算流数之比（即求导）的基本法则．实际上，这个式子

　　牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明

（1）式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f（x，y）＝0中的x和y，于是有

　　按二项式展开并略去o的二次以上（含二次）的项，得

　　除以o后便得到

（1）式．作为一个实例，可把y＝xn写成f（x，y）＝y－xn的形式，由

（1）式推出　

的代数式）．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：

　　其中A表示曲线y=f（x）下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：

　　设y表示曲线f（x）下的面积abc（图11．13），并把它看作垂

　　平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f（x）．因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是

　　这显然等价于

（2）式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f（x）的积分（不定积分）．

　　牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝

　　在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它

变量z＝1＋xn，其流数比为

　　这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为

　　类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．

　　《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=u（x）·v（x），则由计算流数之比的基本法则得到

至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．

　　由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．

二、《运用无穷多项方程的分析学》

（下简称《分析学》）

　　在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为

z＝axm，

　　其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示（图11．14），其中oy是面积的瞬，于是有

z+oy＝a（x＋o）m．

　　根据二项式定理

　　考虑到z＝axm，并用o去除等式两边，得

　　略去仍然含o的项，得x

y=maxm-1．

　　这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率

线为y=maxm-1；反之，若曲线是y＝maxm-1，则它下面的面积是z=axm．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式（用现代符号表出）

（axm）′＝maxm-1；

　　在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：

若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：

　　∫[f1（x）+f2（x）＋…+fn（x）]dx=∫f1（x）dx

　　＋∫f2（x）dx+…+∫fn（x）dx．

　　他对如下的积分性质也有明确认识：

∫af（x）dx＝a∫f（x）dx．

　　他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．

在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如

　　然后对这个无穷级数逐项积分，得

　　他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．

　　y＝1-x2＋x4－x6＋x8－…

（1）

　　y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋…

（2）

　　他说，当x很小时，应该用

（1）式，若x较大就必须用

（2）式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．

　　同《流数简论》相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛顿提出如下方法：

先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表述为：

若F（x）是f（x）在区间[a，b]

中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的．

　　《分析学》中还有其他一些出色的成果，例如，书中给出求高次方程近似根的方法（即牛顿法），导出正弦级数及余弦级数，等等．

　　到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一，他的无穷小增量o是不是0？

牛顿认为不是．既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？

牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．

三、《流数法和无穷级数》（下简称《流数法》）

　　这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论．

　　从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表

保留，并且仍用o表示．

　　他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说：

“流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：

数学量，特别是外延量，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：

“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以（至少在理论上说）使之连续减小，直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．

　　第一类：

已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y＝f（x）或

　　例如书中的问题1：

如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0，求它们的流数之比．

程中的x和y，得

　　展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o，得

　　至此牛顿说：

“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉，而剩下

　　从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致．所不同的是，

数．《简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义．

　　例如，假定y=xn，牛顿首先建立

　　然后用二项式定理展开右边，消去y＝xn，用o除两边，略去仍含o的项，结果得

　　当然，在对具体函数微分时，不必采用无穷小而可直接代入公式．

　　第二类：

已知一个含流数的方程，求流量，即积分．

（x），则

数简论》中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才明确总结出公式．从《简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路大致如下：

　　由

（2），（3）得

　　由微积分基本定理，得

　　牛顿在书中还推出分部积分公式，即

∫uv′dx=uv-∫vu′dx．

　其中u和v都是x的函数．若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx比较容易时，就可利用分部积分公式求积分．

　　牛顿总结了他的积分研究成果，列成两个积分表，一个是“与直线图形有关的曲线一览表”，另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”．这两个表为积分工作提供了许多方便．

　　至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时统称为流数法．他充分认识到这种方法的意义，说流数法（即微积分）是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”《流数法》一书便充分体现了微积分的用途，下面略举几例．

　　例1，在“问题3——极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了通过解方程f′（x）＝0来求f（x）极值的方法．他写道：

“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反．所以求出它的流数，并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其中之一是求方程x3－ax2＋axy－y3=0中x的最大值．他先求出x和y的流数之比，得

　　即3y2＝ax．

　　把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了．

　　例2，已知曲线方程为x3－ax2＋axyy3＝0，AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标，求作过D点的切线（图11．15）．牛顿先求得流数之间的关系

　　由此得出

　　因BD＝y，所以

　　牛顿说：

“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就给定，由此可确定切线TD．”

　　例3，在“问题12——曲线长度的确定”中，牛顿采用流数法计算弧长．设QR是给定曲线，RN⊥MN，牛顿分别记MN＝s．NR＝t，QR＝v（图11．16），它们的流数分别为s，t，v，然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr，由R向nr引垂线RS，则MN，NR和QR分别增加RS，Sr和Rr．”牛顿说：

“因为RS，Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的

　　若换成现在通用的坐标x，y和弧长s，则牛顿的结果为

　　只要对t积分，就可求出弧长s了．

　　综上所述，《流数法》不仅在基本思想上比《分析学》有了发展，而且提供了更加有效的计算方法．但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小，因而同《分析学》一样出现逻辑困难．他尝试建立没有无穷小的微积分，于是有《曲线求积术》（下简称《求积术》）之作．

四、牛顿的极限理论

　　牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》是最后写成（1693）但最早出版（1704）的一部．在书中，导数概念已被引出，而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数．牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了，他算出许多复杂图形的面积．阿达玛（J．Hadamard，1865—1963）称赞说，该书“论述的有理函数积分法，几乎不亚于目前的水平．”

　　值得注意的是，在《求积术》中，牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分．他在序言中明确指出：

“数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．直线不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的．”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，代之以最初比和最后比的新概念．为了求函数y=xn的导数，牛顿让x“由流动”而成为x＋o，于是xn变为

的最后比等于1比nxn-1．所以量x的流数与量xn的流数之比等于1比nxn-1．”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率．用现在的符号可写成y′=nxn-1．

　　牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：

如图11．17，假定bc移向BC，使得c和C重合，那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于△CET的各边之比，即把这些增量看作初生量的最初比．”他说，“只有点C与c完全重合了，直线CK才会与切线（CH）重合，而CE、Ec、Cc的最后比才能求出．”显然，他是把切线CH当作割线CK的极限位置．

　　实际上，早在《自然哲学的数学原理》（下简称《原理》）一书中，牛顿就表述了明确的极限思想．他说：

“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限．它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它．”在这部最早发表的包含微积分成果的书（当然不是最早写成的）中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念．例如，他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合．牛顿指出，当这些平行四边形（相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形）的最大宽度无限减小时，就成为“消失的平行四边形”，而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了．牛顿在《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理论基础．当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．