2015-2019年北京市中考数学分类对比分析与分类汇编-近8年中档题.doc

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解答题1

1.实数的运算

知识点（次数）

年份（题号）

19（17题）

18（18题）

17（17题）

16（17题）

15（17题）

14（14题）

13（14题）

12（13题）

特殊角的三角函数（8次）

0次幂（8次）

绝对值（正有理数、负无理数、有理数与无理数的差）（7次）

二次根式（4次）

负指数幂（5次）

必考知识和方法：

特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂、二次根式化简、负指数幂

【2019年17题】计算：

.

【2018年18题】计算:

4sin45°+（π-2）0-+.

【2017年17题】计算：

【2016年17题】计算：

.

【2015年17题】计算：

。

【2014年14题】计算：

【2013年14题】计算：

【2012年13题】计算：

èø

2.不等式（组）的求解

必考知识和方法：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、将解集表示在数轴上，写出不等式（组）的解集、写出特殊解-°

【2019年18题】解不等式组：

【2018年19题】解不等式组:

【2017年18题】解不等式组：

【2016年18题】解不等式组：

【2015年19题】解不等式组，并写出它的所有非负整数解。

【2014年15题】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.

【2013年15题】解不等式组：

【2012年14题】解不等式组：

ç÷-

3.一元二次方程根的判别式及一元二次方程的求解

知识点

年份（题号）

19（19题）

18（20题）

17（21题）

16（20题）

14（17题）

13（18题）

给方程，判断方程根的情况

（1）给参数的关系判断方程根的情况

（1）证明有两实根

（1）证明有两实根

已知方程根的情况求参数的取值

有实根且参数为正整数，求参数的值，并解方程

（2）有两相等的实数根，写参数的值，求方程组的解

（2）一根＜1，求参数

（1）求参数的取值范围

（2）任写参数的值，求方程组的解

（2）两实数根都是整数，求参数

（1）求参数的取值范围；

（2）参数为正整数，根是整数求参数

必考考点和方法：

根据判别式的值判断方程根的情况，根据方程根的情况列方程或不等式求参数的取值范围，确定参数的值再解方程-°-ç÷

【2013年18题】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值。

【2016年20题】关于x的一元二次方程+（2m有两个不相等的实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根。

【2019年19题】关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【2014年17题】已知关于的方程.

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值.

【2017年21题】关于x的一元二次方程.

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围.

【2018年20题】关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况;

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根.

4.四边形中的证明与计算

知识点及出现次数

年份

19（20题）

18（21题）

17（22题）

16（23题）

15（22题）

14（19题）

13（19题）

12（19题）

题目背景

菱形背景下的证明和求线段的长度

四边形背景下菱形的判定和求线段的长度

四边形背景下菱形的判定和求线段的长度；

四边形中的线段关系和计算（和三角形计算有关）

平行四边形背景下矩形的判定和角平分线的证明

平行四边形背景下菱形的判定和求线段的长度

平行四边形背景下平行四边形的判定和求线段的长度；

四边形中的求线段长度和求四边形面积（和三角形相关）

平行线的性质（6次）

√

√

√

√

√

√

平行四边形的判定（5次）

√

√

√

√

√

角平分线（5次）

√

√

√

√

√

勾股定理（5次）

√

√

√

√

√

解直角三角形（5次）

√

√

√

√

√

菱形的性质（4次）

√

√

√

√

平行四边形的性质（3次）

√

√

√

菱形的判定（3次）

√

√

√

直角三角形斜边中线定理（3次）

√

√

√

等腰三角形的判定（3次）

√

√

√

等腰三角形的性质（2次）

√

√

三角形内角和（2次）

√

√

等边三角形的判定和性质（2次）

√

√

线段中点（2次）

√

√

平行线的判定（1次）

√

三角形中位线定理（1次）

√

矩形的判定（1次）

√

矩形的性质（1次）

√

求三角形面积（1次）

√

必考考点和方法：

平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形、四边形问题转化为三角形问题。

【2019年20题】如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．

（1）求证：

AC⊥EF；

（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，

若BD=4，tanG=，求AO的长．

知识点：

菱形的性质；等量减等量差相等；等腰三角形三线合一；平行线的判定和性质；解直角三角形

方法：

（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC⊥BD，OB=OD，得出AB：

BE=AD：

DF，证

出EF∥BD即可得出结论；

（2）由平行线的性质得出∠G=∠ADO，由三角函数得出tanG=tan∠ADO，得出OA=OD，由BD=4，得出OD=2，得出OA=1．

【2018年21题】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若AB=，BD=2，求OE的长．

知识点：

角平分线的定义；平行线的性质；等量代换；等角对等边；平行四边形的判定；菱形判定；菱形性质；勾股定理；直角三角形斜边中线定理

方法：

（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；

（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．

【2017年22题】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：

四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．

知识点：

线段中点定义；等量代换；平行四边形判定；直角三角形斜边中线定理；菱形判定；角平分线定义；平行线的性质；等角对等边；解直角三角形；菱形性质；勾股定理；三角形内角和

方法：

（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；

（2）在Rt△ADC中只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题

【2016年23题】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：

BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

知识点：

直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理；等量代换；角平分线定义；三角形内角和；等边三角形判定和性质；平行线的性质；勾股定理

方法：

（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．

（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．

【2015年22题】 在中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．

（1）求证:

四边形BFDE是矩形;

（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证:

AF平分∠DAB.

知识点：

平行四边形的判定和性质；矩形的判定；矩形的性质；勾股定理；等量代换；等边对等角；角平分线定义

方法：

（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；

（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．

【2014年19题】如图，在中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：

四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

知识点：

平行四边形的判定和性质；平行线的性质；角平分线定义；等量代换；等角对等边；菱形判定；菱形性质；解直角三角形；锐角三角函数

方法：

（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；

（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．

【2013年19题】如图，在中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．

（1）求证：

四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．

知识点：

平行四边形的判定和性质；线段中点定义；解直角三角形；勾股定理

方法:

（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；

（2）如图，如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．

【2012年19题】如图，在四边形中，对角线交于点，．求的长和四边形的面积．

知识点：

解等腰直角三角形、解含30°角的直角三角形；对顶角相等；求三角形面积；求四边形面积

方法：

作DH⊥CE交AC于点H，解等腰Rt△DEH，得DH长，再解含30°的Rt△DCH得CD长。

再有对顶角相等及题设条件解等腰Rt△ABE，得到AE的长，将四边形面积转化为△ACD和△ABC的面积和即可。

5.圆的有关证明和计算

知识点及使用次数

年份

19（22题）

18（22题）

17（24题）

16（25题）

15（24题）

14（21题）

13（20题）

12（20题）

直接用圆的定义

√

√

√

切线的性质（7次）

√

√

√

√

√

√

√

垂径定理（5次）

√

√

√

√

√

解直角三角形（含三角函数）（5次）

√

√

√

√

√

勾股定理（4次）

√

√

√

√

相似（4次）

√

√

√

√

等腰三角形的性质（3次）

√

√

√

圆周角定理及推论（2次）

√

√

平行线的判定（2次）

√

√

弧弦圆心角关系定理（2次）

√

√

切线的判定（2次）

√

√

切线长定理（2次）

√

√

全等三角形的判定（2次）

√

√

平行线分线段成比例（2次）

√

√

等腰三角形的判定（1次）

√

平行线的性质（1次）

√

平行四边形的判定（1次）

√

等边三角形的判定（1次）

√

等边三角形的性质（1次）

√

角平分线（1次）

√

必考知识及方法：

圆的定义、垂径定理、切线的性质和判定、圆周角定理、弧，弦，圆心角的关系、常用辅助线的添加、锐角三角函数、勾股定理、特殊三角形（等腰、等边、直角）的性质和判定、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定

【2019年22题】在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．

（1）求证：

AD=CD；

（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．

知识点：

圆的定义、三角形外接圆、圆周角定理、垂径定理、切线的判定

方法：

1.根据题中语句能准确画出图形G即△ABC的外接圆，再用圆周角、弧、弦的关系得出结论；

2.能根据题中条件猜测并用垂径定理证明BC是直径，再判定DE是圆的切线。

【2018年22题】如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．

（1）求证：

OP⊥CD；

（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．

知识点：

切线长定理、切线的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形

方法：

1.方法一：

直接用切线长定理和垂径定理得出结论；方法二：

用全等三角形的判定和性质、垂径定理得出；

2.能用圆内等腰三角形的性质得出等边三角形OCD，再解直角三角形即可。

【2017年24题】如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．

（1）求证：

DB=DE；

（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．

知识点：

垂径定理、切线的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理

方法：

1.能用切线的性质和等量代换得到角相等，再用等腰三角形的判定得出边相等；

2.关键在于会常用辅助线的添加，并用锐角三角函数和勾股定理求出半径。

也可用相似三角形得出对应的比例式求解。

【2016年25题】如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.

（1）求证:

AC∥DE;

（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路.

知识点：

垂径定理、切线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质和判定

方法：

1.能用垂径定理和切线的性质分析出两直线平行；

2.能猜测出四边形ACDE是平行四边形并证明，会常用辅助线的添加方法，会利用特殊三角形解决问题。

【2015年24题】如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．

（1）求证:

△ACD是等边三角形;

（2）连接OE，若DE=2，求OE的长.

知识点：

切线的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理

方法：

1.能用垂径定理及切线的性质分析出弦相等，从而证出等边三角形；

2.能做出辅助线，构造出直角三角形，用等边三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定理求解。

【2014年21题】如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：

AC=CD；

（2）若OB=2，求BH的长．

知识点：

切线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理。

方法：

1.能正确作出常用辅助线OC，并能根据等腰三角形三线合一得出OC⊥AB，能由切线的性质得出BD⊥AB，从而得到OC∥BD，再用平行线分线段成比例得出AC=CD；

2.能判定出其中的全等三角形，并能发现其中的双垂直模型，用相似三角形的性质得出比例式。

【2013年20题】如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。

（1）求证：

∠EPD=∠EDO

（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长。

知识点：

切线长定理、切线的性质、相似三角形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理

方法：

1.根据切线长定理和切线的性质可直接得出结论；

2.能根据题意做出常用辅助线OC，能由给出的正切值求出CD=4，由第一问的结论证出△OED∽△DEP，由相似的性质和勾股定理求出OE长。

【2012年20题】已知：

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．

（1）求证：

BE与⊙O相切；

（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．

知识点：

垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数

方法：

1.能根据要证明的结论做出辅助线，证明三角形全等，得对应角相等，从而证出相切。

2.能根据条件想到用三角形相似来求，由此想到辅助线的构造方法，再用三角函数求出相应的线段长，用相似三角形的性质得出比例式。

6.一次函数与反比例函数

知识点

年份（题号）

19（25题）

18（23题）

17（23题）

16（21题）

15（23题）

12（17题）

题目类型

整点类

整点类

数形结合不等式及取值范围类

一次函数与不等式

线段倍分关系类

面积类

函数类型

一次函数

一次函数与反比例函数

一次函数与反比例函数

一次函数

一次函数与反比例函数

一次函数与反比例函数

考察内容

画函数图象（2次）

√

√

找特殊点（与坐标轴交点、临界点）（5次）

√

√

√

√

√

求解析式（4次）

√

√

√

√

求点的坐标（3次）

√

√

√

整点问题（2次）

√

√

求参数的取值（2次）

√

√

一次函数中与图象的关系（1次）

√

求线段的长（1次）

√

比较函数值大小（1次）

√

三角形的面积（1次）

√

解法

数形结合（6次）

√

√

√

√

√

√

分类讨论（4次）

√

√

√

√

待定系数法（4次）

√

√

√

√

方程组（1次）

√

特殊与一般（1次）

√

解不等式（1次）

√

相似（1次）

√

拆分（1次）

√

必考知识点和方法：

待定系数法求解析式、由线段之间的关系求系数的取值、由面积得线段长，由线段长得点的坐标，利用交点坐标比较两个函数值的大小、正确画出函数图象、数形结合、分类讨论

【2019年25题】在平面直角坐标系中，直线l：

与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点．

（1）求直线与轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为．

①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；

②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．

方法：

一次函数与坐标轴的交点、能分析出一次函数解析式中与图象的关系、和直线上的点比较找整点、分类讨论

【2018年23题】在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：

y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．

（1）求k的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．

①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

方法：

待定系数法、反比例函数与一次函数及坐标轴的交点、通过比较分析整点、数形结合、分类讨论

【2017年23题】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x>0）的图象与直线y=x-2交于点

A（3，m）．

（1）求k，m的值；

（2）已知点P（n，n）（n>0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=（x>0）的图象于点N．

①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；

②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

方法：

待定系数法求解析式、用点的坐标求线段长、数形结合、分类讨论

【2016年21题】如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（－6，0）的直线与直线；y=2x相交于点B（m，4）。

（1）求直线的表达式；

（2）过动点P（n,0）且垂于x轴的直线与的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时，写出n的取值范围。

方法：

待定系数法求解析式、数形结合、由交点坐标比较两个函数值的大小

【2015年23题】 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B.

（1）求m的值;

（2）若PA=2AB，求k的值.

方法：

由点在曲线上求点的坐标、由线段之间的倍数关系求系数、数形结合、分类讨论

【2012年17题】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象的交点为.

（1）求一次函数的解析式；

（2）设一次函数的图象与轴交于点，若是轴上一点，且满足的面积是4，直接写出点的坐标．

方法：

待定系数法求解析式、由面积得线段长、由线段长得点的坐标、数形结合

7.其他考点

【2019年23题】小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第i组有首，i=1，2，3，4；

②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；

第1天

第2天

第3天

第4天