偏微分方程数值解期末试题及答案.doc

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偏微分方程数值解试题（06B）

参考答案与评分标准

信息与计算科学专业

一（10分）、设矩阵对称，定义，.若,则称称是的驻点（或稳定点）.矩阵对称（不必正定），求证是的驻点的充要条件是：

是方程组的解

解:

设是的驻点,对于任意的,令

（3分）

即对于任意的,,特别取,则有,得到.（3分）

反之,若满足,则对于任意的,,因此是的最小值点.（4分）

评分标准:

的展开式3分,每问3分,推理逻辑性1分

二（10分）、对于两点边值问题：

其中

建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：

求泛函极小的形式和形式的变分方程。

解:

设为求解函数空间,检验函数空间.取,乘方程两端,积分应用分部积分得到（3分）

即变分问题的形式.（3分）

令,则变分问题的形式为求,使（4分）

评分标准:

空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,

三（20分）、对于边值问题

（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

（2）取，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）

（3）就和的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。

解:

（1）区域离散,差分格式为

（5分）

应用展开得到,截断误差为,其阶为（3分）

（2）未知量为,矩阵形式为,其中

（4分）

求解得到解为（3分）

A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]

L=

2.0000-0.5000-0.50000

01.9365-0.1291-0.5164

001.9322-0.5521

0001.8516

u=0.66670.33330.66670.3333

（3）矩阵为,（5分）

评分标准:

第1问8分,格式4分,截断误差4.

（2）7分,方程4分,解3分.（3）5分,形式3分,B的形式2分

四（20分）、对于初边值问题

（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;

（2）写出差分格式的矩阵形式（即的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性

（3）建立六点对称格式（格式）并写出计算形式，应用方法（分离变量法）分析格式的稳定性。

解:

（1）区域离散,格式为,（5分）

应用展开得到,误差主项为,阶为（3分）

（2）,（4分）

稳定条件为（3分）

（3）格式为

（3分）

低阶项归入中,格式是无条件稳定的.（2分）

五（10分）、逼近的三层差分格式

分析格式的稳定性

解:

计算形式为（2分）

此为三层格式,化为两层格式.令,则有 

                    （4分）

令,代入格式,消去公因子,得到

（2分）

放大矩阵为,特征方程为

的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即.考虑到的变化,稳定条件为（2分）

六（10分）、建立波动方程的初值问题的显格式，推导截断误差,推导格式稳定的必要条件.

解:

差分格式为,（3分）

截断误差为,阶为（3分）

分析稳定性必要条件（4分）

七（10分）、对于二维抛物型方程建立差分格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。

解:

差分格式为（4分）

误差阶为（3分）

放大因子为,恒稳定.（3分）

八.用方法求边值问题

的第次近似,基函数

解:

（1）边界条件齐次化:

令,,则满足齐次边界条件,且

（3分）

第次近似取为,其中满足的方程为

（3分）

又

由三角函数的正交性,得到

而

于是得到

最后得到

（4分）