导数结合洛必达法则巧解高考压轴题1.doc

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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。

洛必达法则简介：

法则1若函数f（x）和g（x）满足下列条件：

（1）及；

（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g'（x）≠0；

　　（3），

那么=。

法则2若函数f（x）和g（x）满足下列条件：

（1）及；

（2），f（x）和g（x）在与上可导，且g'（x）≠0；

　　（3），

那么=。

法则3若函数f（x）和g（x）满足下列条件：

（1）及；

（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g'（x）≠0；

　　（3），

那么=。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。

洛必达法则可处理，，，，，，型。

在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

二．高考题处理

1.（2010年全国新课标理）设函数。

（1）若，求的单调区间；

（2）若当时，求的取值范围

原解：

（1）时，，.

当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加

（II）

由（I）知，当且仅当时等号成立.故

，

从而当，即时，，而，

于是当时，.

由可得.从而当时，

，

故当时，，而，于是当时，.

综合得的取值范围为

原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解:

（II）当时，，对任意实数a,均在；

当时，等价于

令（x>0）,则，令，则，，

知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g（x）在上为增函数。

由洛必达法则知，，

故

综上，知a的取值范围为。

2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

原解：

（Ⅰ）

由于直线的斜率为，且过点，故即

解得，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

。

考虑函数，则。

（i）设，由知，当时，，h（x）递减。

而故当时，，可得；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）设00,故（x）>0,而h

（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

（iii）设k1.此时，（x）>0,而h

（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0]

原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解：

（II）由题设可得，当时，k<恒成立。

令g（x）=（）,则，

再令（），则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；

在上为减函数，在上为增函数；故>=0

在上为增函数

=0

当时，，当x（1，+）时，

当时，，当x（1，+）时，

在上为减函数，在上为增函数

由洛必达法则知

，即k的取值范围为（-，0]

规律总结：

对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。