高考导数压轴题处理集锦.doc
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导数压轴题题型
1.高考命题回顾
例1已知函数f（x）＝ex－ln（x＋m）．（2013全国新课标Ⅱ卷）
（1）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（2）当m≤2时，证明f（x）>0.
（1）解 f（x）＝ex－ln（x＋m）⇒f′（x）＝ex－⇒f′（0）＝e0－＝0⇒m＝1，
定义域为{x|x>－1}，f′（x）＝ex－＝，
显然f（x）在（－1,0]上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增．
（2）证明 g（x）＝ex－ln（x＋2），则g′（x）＝ex－（x>－2）．
h（x）＝g′（x）＝ex－（x>－2）⇒h′（x）＝ex＋>0，
所以h（x）是增函数，h（x）＝0至多只有一个实数根，
又g′（－）＝－<0，g′（0）＝1－>0，
所以h（x）＝g′（x）＝0的唯一实根在区间内，
设g′（x）＝0的根为t，则有g′（t）＝et－＝0，
所以，et＝⇒t＋2＝e－t，
当x∈（－2，t）时，g′（x）当x∈（t，＋∞）时，g′（x）>g′（t）＝0，g（x）单调递增；
所以g（x）min＝g（t）＝et－ln（t＋2）＝＋t＝>0，
当m≤2时，有ln（x＋m）≤ln（x＋2），
所以f（x）＝ex－ln（x＋m）≥ex－ln（x＋2）＝g（x）≥g（x）min>0.
例2已知函数满足（2012全国新课标）
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值。
（1）
令得：
得：
在上单调递增
得：
的解析式为
且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：
当时，
令；则
当时，
当时，的最大值为
例3已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（2011全国新课标）
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
解（Ⅰ）由于直线的斜率为，
且过点，故即 解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则。
（i）设，由知，当时，，h（x）递减。
而故当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00,故（x）>0,而h
（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时，（x）>0,而h
（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
例4已知函数f（x）＝（x3+3x2+ax+b）e－x.（2009宁夏、海南）
（1）若a＝b＝－3,求f（x）的单调区间;
（2）若f（x）在（－∞,α）,（2,β）单调增加,在（α,2）,（β,+∞）单调减少,证明β－α＞6.
解:
（1）当a＝b＝－3时,f（x）＝（x3+3x2－3x－3）e－x,故
f′（x）＝－（x3+3x2－3x－3）e－x+（3x2+6x－3）e－x
＝－e－x（x3－9x）＝－x（x－3）（x+3）e－x.
当x＜－3或0＜x＜3时,f′（x）＞0;当－3＜x＜0或x＞3时,f′（x）＜0.
从而f（x）在（－∞,－3）,（0,3）单调增加,在（－3,0）,（3,+∞）单调减少.
（2）f′（x）＝－（x3+3x2+ax+b）e－x+（3x2+6x+a）e－x＝－e－x［x3+（a－6）x+b－a］.
由条件得f′
（2）＝0,即23+2（a－6）+b－a＝0,故b＝4－a.
从而f′（x）＝－e－x［x3+（a－6）x+4－2a］.因为f′（α）＝f′（β）＝0,
所以x3+（a－6）x+4－2a＝（x－2）（x－α）（x－β）＝（x－2）［x2－（α+β）x+αβ］.
将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a－2.
故.又（β－2）（α－2）＜0，
即αβ－2（α+β）+4＜0.由此可得a＜－6.于是β－α＞6.
2.在解题中常用的有关结论※
（1）曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为
。
（2）若可导函数在处取得极值，则。
反之，不成立。
（3）对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增（减）区间。
（4）函数在区间I上递增（减）的充要条件是：
恒成立（不恒为0）.
（5）函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。
（若为二次函数且I=R，则有）。
（6）在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立
（7）若，恒成立，则;若，恒成立，则
（8）若，使得，则；若，使得，则.
（9）设与的定义域的交集为D，若D恒成立，则有
.
（10）若对、，恒成立，则.
若对，，使得,则.
若对，，使得，则.
（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，
若对,，使得=成立，则。
（12）若三次函数f（x）有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.
（13）证题中常用的不等式:
①②
1
x
x
+
≤
③④
⑤⑥
3.题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）
例1（切线）设函数.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：
.
例2（最值问题，两边分求）已知函数.
⑴当时，讨论的单调性；
⑵设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
②交点与根的分布
例3（切线交点）已知函数在点处的切线方程为．
⑴求函数的解析式；
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；
⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
例4（综合应用）已知函数
⑴求f（x）在[0,1]上的极值；
⑵若对任意成立，求实数a的取值范围；
⑶若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.
③不等式证明
例5（变形构造法）已知函数，a为正常数．
⑴若，且a，求函数的单调增区间；
⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：
．
⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围．
例6（高次处理证明不等式、取对数技巧）已知函数.
（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，设函数，若，求证
例7（绝对值处理）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．
（I）求实数的取值范围；
（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；
（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：
．
例8（等价变形）已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，
求实数的取值范围；
（Ⅲ）当且时，试比较的大小．
例9（前后问联系法证明不等式）已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。
（I）求直线的方程及m的值；
（II）若，求函数的最大值。
（III）当时，求证：
例10（整体把握，贯穿全题）已知函数．
（1）试判断函数的单调性；
（2）设，求在上的最大值；
（3）试证明：
对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．
（Ⅲ）证明：
．
例11（数学归纳法）已知函数，当时，函数取得极大值.
（１）求实数的值；
（２）已知结论：
若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：
若，函数，则对任意，都有；
（３）已知正数，满足，求证：
当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.
④恒成立、存在性问题求参数范围
例12（分离变量）已知函数（a为实常数）.
（1）若，求证：
函数在（1,+∞）上是增函数；
（2）求函数在[1,e]上的最小值及相应的值；
（3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
例13（先猜后证技巧）已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域
（Ⅱ）确定函数f（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论.
（Ⅲ）若x>0时恒成立，求正整数k的最大值.
例14（创新题型）设函数f（x）=ex+sinx,g（x）=ax,F（x）=f（x）－g（x）.
（Ⅰ）若x=0是F（x）的极值点,求a的值；
（Ⅱ）当a=1时,设P（x1,f（x1））,Q（x2,g（x2））（x1>0,x2>0）,且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；
（Ⅲ）若x≥0时,函数y=F（x）的图象恒在y=F（－x）的图象上方,求实数a的取值范围．
例15（图像分析，综合应用）已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的范围；
（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数的范围．
⑤导数与数列
例16（创新型问题）设函数，，是的一个极大值点．
⑴若，求的取值范围；
⑵当是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列（其中=）依次成等差数列?
若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
⑥导数与曲线新题型
例17（形数转换）已知函数,.
（1）若,函数在其定义域是增函数,求b的取值范围;
（2）在
（1）的结论下,设函数的最小值;
（3）设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行?
若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
例18（全综合应用）已知函数.
（1）是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
（2）定义,其中,求;
（3）在
（2）的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.
⑦导数与三角函数综合
例19（换元替代，消除三角）设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当，时，若不等式对任意的恒成立,求的值。
⑧创新问题积累
例20已知函数.
I、求的极值.
II、求证的图象是中心对称图形.
III、设的定义域为,是否存在.当时，的取值范围是?
若存在,求实数、的值；若不存在，说明理由
导数压轴题题型归纳参考答案
例1解：
（1）时，，由，解得.
的变化情况如下表：
0
1
-
0
+
0
↘
极小值
↗
0
所以当时，有最小值.
（2）证明：
曲线在点处的切线斜率
曲线在点P处的切线方程为.
令，得，∴
∵，∴，即.
又∵，∴
所以.
例2⑴，
令
①当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增.
②当时，由，即，解得.
当时，恒成立，此时，函数单调递减；
当时，,时，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减.
当时，当,函数单调递减；
当，函数单调递增.
综上所述：
当时，函数在单调递减，单调递增；
当时,恒成立,此时，函数在单调递减；
当时,函数在递减,递增,递减.
⑵当时，在（0,1）上是减函数，在（1,2）上是增函数，所以对任意，
有，
又已知存在，使，所以，，（※）
又
当时，与（※）矛盾；
当时，也与（※）矛盾；
当时，.
综上，实数的取值范围是.
例3解：
⑴．
根据题意，得即解得所以．
⑵令，即．得．
1
2
+
+
增
极大值
减
极小值
增
2
因为，，所以当时，，．
则对于区间上任意两个自变量的值，都有
，所以．所以的最小值为4．
⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．
则．因为，所以切线的斜率为．
则=，即．
因为过点可作曲线的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
所以函数有三个不同的零点．
则．令，则或．
0
2
+
+
增
极大值
减
极小值
增
则，即，解得．
例4解：
⑴，
令（舍去）
单调递增；当递减.
上的极大值.
⑵由得
设，，
依题意知上恒成立，
，
，
上单增，要使不等式①成立，
当且仅当
⑶由
令，
当上递增；
上递减，
而，
恰有两个不同实根等价于
例5解：
⑴
∵a，令得或,∴函数的单调增区间为.
⑵证明：
当时
∴,∴,又
不妨设，要比较与的大小，即比较与的大小，
又∵，∴即比较与的大小．
令,则,
∴在上位增函数．
又，∴，∴，即
⑶∵，∴
由题意得在区间上是减函数．
当，∴
由在恒成立．
设，，则
∴在上为增函数，∴.
当，∴
由在恒成立
设，为增函数,∴
综上：
a的取值范围为.
例6解：
（1）,，
即在上恒成立
设,，时，单调减，单调增，
所以时，有最大值.，所以.
（2）当时，,
所以在上是增函数，上是减函数.
因为，所以
即,同理.
所以
又因为当且仅当“”时，取等号.
又，,
所以,所以，
所以：
.
例7（I）
由，因为当时取得极大值，
所以，所以；
（II）由下表：
+
0
-
0
-
递增
极大值
递减
极小值
递增
依题意得：
，解得：
所以函数的解析式是：
（III）对任意的实数都有
在区间[-2，2]有：
函数上的最大值与最小值的差等于81，
所以．
例8解：
（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．
（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，∴，
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即．
（Ⅲ）证明：
，
令，则只要证明在上单调递增，
又∵，
显然函数在上单调递增．
∴，即，
∴在上单调递增，即，
∴当时，有．
例9解：
（I）的斜率为1，
且与函数的图像的切点坐标为（1，0），的方程为
又与函数的图象相切，有一解。
由上述方程消去y，并整理得①
依题意，方程②有两个相等的实数根，解之，
得m=4或m=-2，
（II）由（I）可知
，
单调，当时，单减。
，取最大值，其最大值为2。
（III）
证明，当时，
例10解：
（1）函数的定义域是．由已知．令，得．
因为当时，；当时，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）由
（1）可知当，即时，在上单调递增，所以．
当时，在上单调递减，所以．当，即时，．综上所述，
（3）由
（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为，，所以，即．因此对任意，不等式．
例11解：
（１）当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减.
函数在处取得极大值，故.
（２）令，
则.函数在上可导，存在，使得.
，
当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，；
故对任意，都有.
（３）用数学归纳法证明.
①当时，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
当时，结论成立.
②假设当时结论成立，即当时，.当时，设正数满足，令，，则，且.
当时，结论也成立.
综上由①②，对任意，，结论恒成立.
例12解：
⑴当时，，当，，
故函数在上是增函数．
⑵，当，．
若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．
若，当时,；当时，，此时
是减函数；当时，，此时是增函数．
故．
若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数 在上是减函数，此时．
⑶不等式，可化为．
∵,∴且等号不能同时取，所以，即，
因而（）
令（），又，
当时，，，
从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，
故的最小值为，所以a的取值范围是．
例13解：
（1）定义域
（2）单调递减。
当，令，
故在（－1，0）上是减函数，即，
故此时在（－1，0）和（0，+）上都是减函数
（3）当x>0时，恒成立，令
又k为正整数，∴k的最大值不大于3
下面证明当k=3时，恒成立
当x>0时恒成立
令，则
，，当
∴当取得最小值
当x>0时，恒成立，因此正整数k的最大值为3
例14解：
（Ⅰ）F（x）=ex+sinx－ax,.
因为x=0是F（x）的极值点,所以.
又当a=2时,若x<0,;若x>0,.
∴x=0是F（x）的极小值点,∴a=2符合题意.
（Ⅱ）∵a=1,且PQ//x轴,由f（x1）=g（x2）得:
所以.
令当x>0时恒成立.
∴x∈[0,+∞时,h（x）的最小值为h（0）=1.∴|PQ|min=1.
（Ⅲ）令
则.
因为当x≥0时恒成立,
所以函数S（x）在上单调递增,
∴S（x）≥S（0）=0当x∈[0,+∞时恒成立;
因此函数在上单调递增,当x∈[0,+∞时恒成立.
当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即.
故a≤2时F（x）≥F（－x）恒成立.
例15解:
（Ⅰ）
（1）
当时，上为增函数
故
当上为减函数
故
即..
（Ⅱ）方程化为
，令，
∵∴记∴∴
（Ⅲ）方程化为
，
令，则方程化为（）
∵方程有三个不同的实数解，
∴由的图像知，有两个根、，
且或，记
则或∴
例16解：
（Ⅰ）时，，
，
令，，
设是的两个根，
（1）当或时，则不是极值点，不合题意；
（2）当且时，由于是的极大值点，故
，即，
（Ⅱ）解：
，
令，
，
于是，假设是的两个实根，且
由（Ⅰ）可知，必有，且是的三个极值点，
则，
假设存在及满足题意，
（1）当等差时，即时，则或，
于是，即
此时
或
（2）当时，则或
①若，则，
于是，
即两边平方得，
于是，此时，
此时=
②若，则，
于是，
即两边平方得，
于是，此时
此时
综上所述，存在b满足题意，
当b=－a－3时，，时，，
时，.
例17解:
（1）依题意:
在（0,+）上是增函数,
对x∈（0,+）恒成立,
（2）设
当t=1时,ymin=b+1;
当t=2时,ymin=4+2b
当的最小值为
（3）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则
设①
这与①矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行
例18
（1）假设存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上,则函数图像的对称中心为.
由,得,
即对恒成立,所以解得所以存在点,使得函数的图像上任意一点关于点M对称的点也在函数的图像上.
（2）由
（1）得.
令,则.
因为①,
所以②,
由①+②得,所以.
所以.
（3）由
（2）得,所以.
因为当且时,.
所以当且时,不等式恒成立.
设,则.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
因为,所以,
所以当且时,.
由,得,解得.
所以实数的取值范围是.
例19解：
当时，，得，且
，．所以，曲线在点处的
切线方程是，整理得．
（Ⅱ）解：
．令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
（Ⅲ）证明：
由，得，当时，，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要，即①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
例20（I）.注意到,得，解得或.当变化时，的变化情况如下表：
+
0
－
－
０
＋
增
极大值
减
减
极小值
增
所以是的一个极大值,是的一个极大值..
（II）点的中点是,所以的图象的对称中心只可能是.
设为的图象上一点,关于的对称点是..也在的图象上,因而的图象是中心对称图形.
（III）假设存在实数、.,或.
若,当时,,而.故此时的取值范围是不可能是.
若,当时,,而.故此时的取值范围是不可能是.
若,由的单调递增区间是,知是的两个解.而无解.故此时的取值范围是不可能是.
综上所述,假设错误,满足条件的实数、不存在.
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