高考导数压轴题处理集锦.docx
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高考导数压轴题处理集锦
1.高考命题回顾
导数压轴题题型
例1已知函数f（x）＝－（x＋m）．（2013全国新课标Ⅱ卷）
（1）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（2）当m≤2时，证明f（x）>0.
（1）解f（x）＝－（x＋m）?
f′x（）＝－?
f′（0＝）e0－＝0?
m＝1，定义域为{>－1}，f′x（）＝－＝，
显然f（x）在（－1,0]上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增．
（2）证明g（x）＝－（x＋2），则g′x（）＝－（x>－2）．
h（x）＝g′x（）＝－（x>－2）?
h′x）（＝＋>0，
所以h（x）是增函数，h（x）＝0至多只有一个实数根，
又g′－（）＝－<0，g′（0＝）1－>0，
所以h（x）＝g′x（）＝0的唯一实根在区间内，
设g′x（）＝0的根为t，则有g′t）（＝－＝0，所以，＝?
t＋2＝e－t，
当x∈（－2，t）时，g′x（）g′t）（＝0，g（x）单调递增；所以g（x）＝g（t）＝－（t＋2）＝＋t＝>0，
当m≤2时，有（x＋m）≤（x＋2），
所以f（x）＝－（x＋m）≥－（x＋2）＝g（x）≥g（x）>0.
例2已知函数
f（x）满足
f（x）
x1
f'
（1）e
f（0）x
1x（2012全国新课标）
2
2
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若
f（x）
1x2
2
axb，求（a
1）b的最大值。
（1）
f（x）
f
（1）ex1
f（0）x
1x2
2
f（x）
f
（1）ex1
f（0）x
令x1得：
f（0）1
f（x）
f（1x）e1
x
12xf（0）
x
2
12
f（11e）1f
x
（1）e
得：
f
（x）
e
xxg（x）2
f
（x）e1x
g（x）
ex10
yg（在x）xR上单调递增
f（x）0
f（0）x
0f,
x（）0f
（0）x
得：
f
（x）的解析式为
f（x）
exx
1x2
2
且单调递增区间为（0,），单调递减区间为（,0）
（2）
f（x）
12
xaxbh（x）
2
x
e（a
1）xb
0得h（x）
x
e（a1）
①当a
10时，h
（x）
0
yh（x）
在xR上单调递增
x时，h（x）与h（x）0矛盾
②当a
10时，h
（x）
0
xln（a
1）,h（x）0
xln（a1）
得：
当x
ln（a
1）
时，h（x）min
（a1）（a
1）ln（a1）b0
（a1）b
（a1）2
（a1）2ln（a
1）（a
10）
令F（x）
x2x2ln
x（x
0）；则F
（x）
x（12lnx）
F（x）00
xe,F
（x）0xe
当xe时，
F（x）
e
max
2
当ae
1,be时，（a
1）b的最大值为e
2
例3已知函数
f（x）
alnxb
，曲线
yf（x）
在点（1,f
（1））处的切线方程为
x1x
x2y30。
（2011全国新课标）
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x
1
，且x
2
时，
f（x）
lnxk
，求k的取值范围。
（x1
lnx）
x1x
解（Ⅰ）
f'（x）
x
（x1）2
b由于直线x2y
x2
30的斜率为1，
2
且过点（1,1），故
f
（1）1,b1,
1即a1
解得a
1，b1。
f'
（1）,b,
222
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
f（x）
lnx
1，所以
x
lnxk
1x
1（k1）（x21）
f（x）（）
x1x
1x2（2lnxx）。
考虑函数
h（x）2lnx
（k1）（x2
x
1）（x
0），则h'（x）
（k1）（x2
x2
1）
2x。
（i）设k
0，由h'（x）
k（x2
1）（xx2
1）2
知，当x
1时，
h'（x）0，h（x）递减。
而h
（1）0
故当x
（0,1）时，
h（x）0，可得
1
1h（x）0；
x2
当x（1，+）时，h（x）<0，可得1
1x2
h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（
lnx+
k）>0，即f（x）>
lnx
+k.
x1xx1x
（）设01）（x2
1）2x=（k
1）x2
2xk
1的图像开口向下，
且44（k
1）2
0，对称轴11当x（1，
1k.
1）时，
（1）（x2
1k
+1）+2x>0,故h'
（x）>0,而h
（1）=0，故当x（1，1
1k
）时，h（x）>0，
可得1
1x2
h（x）<0,与题设矛盾。
（）设k1.此时
x212x，（k
1）（x2
1）2x0
h'（x）>0,而h
（1）
=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得1
1x2
矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
例4已知函数f（x）＝（x3+3x2）e－x.（2009宁夏、海南）
（1）若a＝b＝－3,求f（x）的单调区间;
h（x）<0,与题设
（2）若f（x）在（－∞,α）,（2,单调β增）加,在（α,2）,（
解:
（1）当a＝b＝－3时（x）＝（x3+3x2－3x－3）e－x,故
f′（＝x）－（x3+3x2－3x－3）e－x+（3x2+6x－3）e－x
＝－e－x（x3－9x）＝－x（x－3）（3）e－x.
单β调∞减）少,证明β－α＞6.
当x＜－3或0＜x＜3时′（＞x）0;当－3＜x＜0或x＞3时′（＜x）0.
从而f（x）在（－∞,－3）,（0,3）单调增加,在（－3,0）,（3单∞调）减少.
（2）f′＝（x－）
（x3+3x2）e－x+（3x2+6）e－x＝－e－x［x3+（a－6）－a］.
由条件得f′＝
（2）0,即23+2（a－6）－a＝0,故b＝4－a.
从而f′（x）－e－x［x3+（a－6）4－2a］.因为f′（＝αf）′（＝β0）,
所以x3+（a－6）4－2a＝（x－2）（x－α）（x－β＝）（x－2）［x2－（α+β］）α.β将右边展开,与左边比较系数,得α+＝β－2,α＝βa－2.
故（）24124a.又（β－2）（α－2）＜0，
即αβ－2（α+β）+＜40.由此可得a＜－6.于是β－α＞6.
2.在解题中常用的有关结论※
（1）曲线
yf（x）在
xx0处的切线的斜率等于
f（x0），且切线方程为
yf（x0）（xx0）f（x0）。
（2）若可导函数
yf（x）在
xx0
处取得极值，则f
（x0）0。
反之，不成立。
（3）对于可导函数
f（x）
不等式
f（x）
0（0）的解集决定函数
f（x）
的递增
（减）区间。
（4）函数
f（x）
在区间I上递增（减）的充要条件是：
xI
f（x）
0（0）恒成
立（f
（x）
不恒为0）.
（5）函数
f（x）（非常量函数）在区间I上不单调等价于
f（x）在区间I上有极值，
则可等价转化为方程
f（x）0在区间I上有实根且为非二重根。
（若
f（x）
为二次函数且，则有0）。
（6）
f（x）
在区间I上无极值等价于
f（x）
在区间在上是单调函数，进而得到
f（x）
0或f
（x）
0在I上恒成立
（7）若xI，
f（x）
0恒成立，则
f（x）min
0;若xI，
f（x）
0恒成立，
则f（x）max0
（8）若x0
I，使得
f（x0）
0，则
f（x）max
0；若x0
I，使得
f（x0）0，
则f（x）min0.
（9）设
f（x）
与g（x）
的定义域的交集为D，若xD
f（x）
g（x）
恒成立，
则有
f（x）
（10）若对
g（x）
x1
min0.
I1、x2I2
，f（x1）
g（x2）恒成立，则
f（x）min
g（x）max.
若对x1
I1，
x2I2，使得
f（x1）
g（x2）,则
f（x）min
g（x）min.
若对x1
I1，
x2I2，使得
f（x1）
g（x2），则
f（x）max
g（x）max.
（11）已知
f（x）
在区间
I1上的值域为A,，g（x）
在区间
I2上值域为B，
若对x1
I1,x2
I2，使得
f（x1）=g（x2）成立，则AB。
（12）若三次函数f（x）有三个零点，则方程极大值大于0，极小值小于0.
（13）证题中常用的不等式:
f（x）0有两个不等实根
x
x1、x2，且
①lnxx
1（x0）
②x1
≤ln（x+1）
x（x1）
x
③e1
x④ex1x
⑤lnxx1（x1）
⑥lnx
11（x0）
x12
x222x2
3.题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）
例1（切线）设函数
f（x）x2a.
（1））当a
1时，求函数
g（x）
xf（x）在区间[0,1]上的最小值；
（2）当a
0时，曲线y
f（x）在点
P（x1,
f（x1））（x1
a）
处的切线为l，l与x轴
交于点
A（x2,0）求证：
x1x2a.
例2（最值问题，两边分求）已知函数
f（x）ln
xax
1a1（aR）.
x
⑴当a≤
1
2时，讨论
f（x）的单调性；
⑵设g（x）
x22bx
4.
当a
1
4时，若对任意x1
（0,2），存在x2
1,2，
使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围.
②交点与根的分布
例3（切线交点）已知函数
3
fxax
bx3xa,bR在点1,f1
处的切线
2
方程为y20．
⑴求函数fx的解析式；
⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值求实数c的最小值；
x1,x2都有
fx1
fx2c，
⑶若过点M
范围．
2,mm
2可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值
例4（综合应用）已知函数
f（x）
ln（2
3x）
3x2.
2
⑴求f（x）在[0,1]上的极值；
x
⑵若对任意
取值范围；
[1,
6
1],不等式|a
3
lnx|
ln[f
（x）
3x]
0
成立，求实数a的
⑶若关于x的方程
b的取值范围.
③不等式证明
f（x）
2xb在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数
例5（变形构造法）已知函数
（x）
a
x1，a为正常数．
9
⑴若f
（x）
lnx
（x），且a2
，求函数
f（x）的单调增区间；
⑵在⑴中当a
0时，函数y
f（x）的图象上任意不同的两点
Ax1,y1，
Bx2,y2
，线段AB的中点为
C（x0,y0），记直线AB的斜率为k，试证明：
kf（x0）．
⑶若g（x）
lnx
（x）
，且对任意的
x1,x2
0,2
，x1x2
，都有
g（x2）
x2
g（x1）x1
1
，求a的取值范围．
例6（高次处理证明不等式、取对数技巧）已知函数
f（x）
x2ln（ax）（a0）
.
（1）若
f'（x）
2
x
对任意的x
0恒成立，求实数a的取值范围；
g（x）
f（x）
x,x1x1
（2）当a
1时，设函数x
12（,1）,x12
，若e
，求证
x1x2
（x1
x）4
2
例7（绝对值处理）已知函数
f（x）
x3ax2bx
c的图象经过坐标原点，且在
x1处取得极大值．
（I）求实数a的取值范围；
（）若方程
f（x）
（2a
9
3）2
恰好有两个不同的根，求
f（x）
的解析式；
（）对于（）中的函数
f（x）
，对任意、
R，求证：
|f（2sin）
f（2sin
）|81．
例8（等价变形）已知函数
f（x）
ax1
lnx
（aR）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数成立，
f（x）在x
1处取得极值，对x
（0,
）,f
（x）
bx2恒
求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当0
xye2且x
e时，试比较
y与1lny
的大小．
x1lnx
f（x）lnx,g（x）
1x2mx7（m0）
例9（前后问联系法证明不等式）已知
22，
直线l与函数坐标为1。
f（x）,g（x）的图像都相切，且与函数
f（x）的图像的切点的横
（I）求直线l的方程及m的值；
（）若h（x）
最大值。
f（x1）
g'（x）（其中g'（x）是g（x）的导函数）
，求函数
h（x）的
（）当0ba时，求证：
f（ab）
f（2a）
ba.2a
例10（整体把握，贯穿全题）已知函数
f（x）
lnx1．x
（1）试判断函数f（x）的单调性；
（2）设m
0，求
f（x）在[m,2m]上的最大值；
（3）试证明：
对任意
底数）．
nN*，不等式
ln（1n）e
n
1n都成立（其中e是自然对数的
n
（Ⅲ）证明：
111n．
2
a1a2ann1
例11（数学归纳法）已知函数极大值.
（１）求实数m的值；
f（x）ln（x1）
mx，当x
0时，函数
f（x）取得
（２）已知结论：
若函数
f（x）ln（x
1）
mx在区间（a,b）内导数都存在，
且a1，则存在x0
（a,b），使得
f
f（x0）
（b）
f（a）.试用这个结
论证明：
若
1xx，函数
g（x）
f（x1）
ba
f（x2）（xx）
f（x
），则
对任意x
12
（x1,x2），都有
f（x）
11
x1x2
g（x）；
（３）已知正数1,
2,L
n，满足12L
n1，求证：
当n
2，nN
时，对任意大于1，且互不相等的实数
x1,x2,L
xn
，都有
f（1x1
x22L
nxn）
1f（x1）
2f（x
2）L
nfx（n.）
2
④恒成立、存在性问题求参数范围
例12（分离变量）已知函数
f（x）
xalnx（a为实常数）.
（1）若a
2，求证：
函数
f（x）
在（1∞）上是增函数；
（2）求函数
f（x）在[1]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x
[1,e]，使得
f（x）
（a2）x成立，求实数a的取值范围.
例13（先猜后证技巧）已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域
f（x）
11n（x1）
x
（Ⅱ）确定函数f（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论.
（Ⅲ）若x>0时
f（x）
k恒成立，求正整数k的最大值.
x1
例14（创新题型）设函数f（x）（x）（x）（x）－g（x）.（Ⅰ）若0是F（x）的极值点,求a的值；
（Ⅱ）当1时,设P（x1（x1））,Q（x2,g（x2））（x1>02>0）,且轴,求P、Q两点间的最
短距离；
（Ⅲ）若x≥0时,函数（x）的图象恒在（－x）的图象上方,求实数a的取值范围．
例15（图像分析，综合应用）已知函数
g（x）
ax2
2ax
1b（a
0,b
1），在区
间2,3
上有最大值4，最小值1，设
f（x）g（x）
x．
（Ⅰ）求
a,b的值；
（Ⅱ）不等式
f（2x）
k2x
0在x
[1,1]上恒成立，求实数k的范围；
（Ⅲ）方程范围．
⑤导数与数列
f（|2x
1|）
2
k（|2x1|3）
0
有三个不同的实数解，求实数k的
例16（创新型问题）设函数一个极大值点．
f（x）（xa）2（xb）ex，a、bR，xa是
f（x）的
⑴若a0，求b的取值范围；
⑵当a是给定的实常数，设
x1，x2，x3是
f（x）的3个极值点，问是否存在实
数b，可找到x4
R，使得
x1，x2，x3，x4的某种排列
xi
xi
xi
xi
（其中
i1，i2，i3，i4
=1，2，3，4
1234
）依次成等差数列?
若存在，求所有的b及相应的
x4；
若不存在，说明理由．
⑥导数与曲线新题型
例17（形数转换）已知函数
f（x）lnx,
g（x）
1ax2
2
bx（a
0）.
（1）若a
围;
2
函数h（x）
f（x）
g（x）
在其定义域是增函数,求b的取值范
（2）在
（1）的结论下,设函数小值;
（x）=e
2x+bex,x∈[0,ln2],求函数（x）的最
（3）设函数
f（x）的图象C1与函数
g（x）
的图象C2交于点P、Q,过线段的中点
R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?
若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
例18（全综合应用）已知函数
f（x）1lnx（0
2x
x2）.
（1）是否存在点
M（a,b）
使得函数
yf（x）的图像上任意一点P关于点M对
称的点Q也在函数在,请说明理由;
yf（x）
的图像上?
若存在,求出点M的坐标;若不存
2n1i
122n1
（2）定义
Snf（）
f（）
f（）
f（）,其中nN*
求S2013;
i1nnnn
a
（3）在
（2）的条件下,令S12a,若不等式2n
（a）m1对nN*且n2恒
nn
成立,求实数m的取值范围.
⑦导数与三角函数综合
例19（换元替代，消除三角）设函数
f（x）
n
（），其中．
x（xa）2xRaR
（Ⅰ）当a
1时，求曲线
yf（x）
在点（2，f
（2））
处的切线方程；
（Ⅱ）当a
0时，求函数
f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a
3，k
1，0
时，若不等式
f（k
cosx）≥
f（k2
cos2
x）对任
意的xR恒成立,求k的值。
⑧创新问题积累
例20已知函数
f（x）lnx2x.
I、求f（x）
x44
的极值.
、求证
f（x）
的图象是中心对称图形.
、设f
（x）的定义域为D,是否存在
a,bD.当
xa,b时，f
（x）
的取值范
围是a,b?
若存在,求实数a、b的值；若不存在，说明理由
44
导数压轴题题型归纳参考答案
x
3
32
例1解：
（1）a
1时，
g（x）x
x，由
g（x）3x
10，解得3.
g（x）
的变化情况如下表：
x0（0,3）
3
3（3
33
1）1
g（x）
-0+
g（x）
极小
0↘
值↗0
x3g（3）23
2
所以当3时，g（x）有最小值39
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