巧妙求和.docx

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巧妙求和

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专题简析：

1、若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：

“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：

第n项=首项+（项数－1）×公差

项数公式：

项数=（末项－首项）÷公差＋1

2、某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例1：

有一个数列：

4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？

分析与解答：

容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习一

1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？

2，有一个等差数列：

2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？

例2：

有一等差数列：

3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？

分析与解答：

这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399

练习二

1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？

2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

例3：

有这样一个数列：

1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：

如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

练习三

计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50

（2）6+7+8+…+74+75

例4：

求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

分析与解答：

这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：

项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25

首项=2，末项=50，项数=25

等差数列的和=（2+50）×25÷2=650

练习四

计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22

（2）5+10+15+20+…+195+200

例5：

计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

分析与解答：

容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。

进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。

因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）

=1+1+1+…+1

=50

练习五

用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）

（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）

例6：

刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？

分析与解答：

根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。

要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。

这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：

（30＋60）×11÷2=495（页）

想一想：

如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？

练习六

1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？

2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？

例7：

30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？

分析与解答：

开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习七

1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？

例8：

某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？

分析与解答：

假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。

依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：

50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）

练习八

1，学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？

2，在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？

例9：

求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。

分析与解答：

首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这99个数之和。

为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和）计算0~99这100个数的数字之和。

这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对，所以，1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。

练习九

1，求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。

2，求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。

例10：

求1~209这209个连续自然数的全部数字之和。

分析与解答：

不妨先求0~199的所有数字之和，再求200~209的所有数字之和，然后把它们合起来。

0~199的所有数字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200~209的所有数字之和为2×10+1+2+…+9=65。

所以，1~209这209个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。

练习十

1，求1~308连续自然数的全部数字之和。

2，求1~2009连续自然数的全部数字之和。

练习作业

1，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？

2，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

3，100+99+98+…+61+60

4，9+18+27+36+…+261+270

5，（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）

6，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

7，有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？

8，假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？

9，求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。

10，求连续自然数2000~5000的全部数字之和。