巧妙求和一.docx

巧妙求和一.docx

《巧妙求和一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《巧妙求和一.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

巧妙求和一

巧妙求和

一、知识要点

在这一章要用到两个非常重要的公式：

“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：

第n项=首项+（项数－1）×公差

项数公式：

项数=（末项－首项）÷公差＋1

【例题1】：

求1+2+3+4+……+99+100的和

1、计算①1+2+3+4+5+……+199+200②1+3+5+7+9+……+97+99

2、1000-1-2-3-4-……-403、7000-2-4-6-……-100

【例题2】有一个数列：

4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？

练习2：

1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.2.有一个等差数列：

2.5，8，11.…，101.

这个等差数列共有多少项？

这个等差数列共有多少项？

3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？

【例题3】有一等差数列：

3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？

练习3：

1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？

2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题4】有这样一个数列：

1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习4：

计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50

（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60

【例题5】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习5：

计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22

（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270

【例题6】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

练习6：

用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）

（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）

【例题7】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？

练习7：

1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？

2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？

2.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

【例题8】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？

练习8：

1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？

3.有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？

【例题9】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？

练习9：

1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？

3.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？

4.

3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？

【例题10】：

100以内除以4而没有余数的数一共有几个？

它们的和是多少？

练习10：

1、300以内除以6没有余数的数共有（）个，它们的和是（）。

2、200以内除以5余2的所有数的和是（）。

【例题11】：

求除以7而没有余数的所有三位数的和是多少？

练习11：

1、除以6而没有余数的所有三位数的和是（）。

2、大于1500而小于2000的所有除以5没有余数的数的和是（）。

【例题12】求1～99这99个连续自然数的所有数字之和。

练习12：

1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。

2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。

3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。

.

【例题13】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。

练习13：

1.求1～308连续自然数的全部数字之和。

2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。

3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。

随课练习

1）1+2+3+4+……+502+4+6+8+……+1201500-1-2-3-……-40

2）1+5+9+13+……+4418000-2-7-12-17-……-117

3）等差数列1、5、9、13……的第15项是（）。

4）等差数列1、5、9、13、17……的第50项是（），第100项是（）。

5）小芳做游戏，她在地上第一行摆小棒3根，第二行摆小棒8根，第三行摆小棒13根……依次类推，那么第20行要摆小棒（）根，第30行她要摆小棒（）根。

6）等差数列中，如ａ1=4，ａ2=6，ａ3=8，ａ4=10，……则ａ20=（），ａ100=（）。

7）等差数列1、3、5、7……207、209各项的和是（）。

8）所有三位数的和是（）。

9）500以内所有除以7余2的数的和是（）。

10）1至120以内除以4没有余数的所有数之和是（）。

11）等差数列5、8、11……，62在第（）项，前60项的和是（）。

12）某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。

则这个剧院共有座位（）个。

13）小文从1月1日开始写大字，第一天写4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，1月30日他写大字91个。

则小文每天比前一天多写（）个大字。

14）已知数到5、9、13、17、21……①这个数列中第50项是（）；②397是这个数列的第（）项；③这个数列的前100个数的和是（）。

15）等差数列1、4、7、10、13……，共有80项，其中所有奇数项的数的和是（）。

16）1000+999-998+997+996-995+……+106+105-104+103+102-101

17）（1994+1992+1990+……+4+2）-（1+3+5+7+……+1991+1993）

18）从300中第一次减去1，第二次减去2，第三次减去3……，这样连续减去（）次以后还剩下129。

19）一个七层的书架上放了777本书，已知上边一层比下边一层少放7本书。

则最上面一层放了（）本书。

20）1至100这个自然数中，所有不能被9整除的数的和是（）。

21）在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，则这7个数的和是（）。

22）7、100个连续自然数的和是8250，去掉这100个数中的第奇数个数（第1个，第2个第3个……第99个），剩下的50个数相加的和是（）。

23）前37个自然数的和加上1998，所得的结果等于另外37个连续自然数的和，这37个自然数中最小的是（）

24）一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的数量互不相同，那么100个桃子最多够这只猴子吃（）天

25）李先生到某公司应聘，该公司前3个月是试用期，试用期间每月工资600元，试用期结束后的第一个月工资800元，以后每月工资比上一个月多50元，李先生第一年的收入是（）元。

26）从1开始的29个自然数的和加上2001，所得的结果等于另外29个连续自然数的和，这29个自然数中，最小的是（）。

27）用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果多个接头处都重叠1厘米，那么每张纸条长（）厘米。

28）从101到309包括这两个数的所有三位数，且只有十位上是0的数的和是（）。

29）小华将50多个同样的玻璃球放入一排同样的盒子里，其中只有一个没有装，然后他就去玩了。

小刚从每个有玻璃球的盒子里，各拿了一个放在空盒子里，又把盒子重新排好。

小华回家仔细一看，没有发现有人动过这个盒子和玻璃球。

则共有（）个盒子，（）个玻璃球。

30）从1开始的几个连续自然数，如果去掉其中的一个，其余各数相加，然后再减去去掉的那个数，恰好等于100。

这个去掉的数是（），最大的一个数是（）。

31）公路上每隔2千米有一个仓库，每个仓库存有10吨货物，现要把所有货物全部运送到距第10个仓库20千米的码头上，已知每吨货运1千米的运费是1元，则10个仓库的总运费是（）元。

32）从20起往后数30个连续的偶数，则最后一个偶数是（），这20个偶数的和是（）。

33）有一串数1、7、13、19、25……这列数的第1998个数是（）

34）按1、4、7、10、13、……排列的一列数中，第51个数是（）。

35）王雪读一本故事书，第一天读了8页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了32页正好读完。

她一共读了（）天。

36）1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+……-2-1=（）

37）1996-5-12-19-26-……-145-152=（）

38）由小到大排列的8个整数，后一个数都比前一个数多5，这8个数相加的和正好是1996。

排到最后的那个数是（）。

39）在等差数列6、13、20、27……中，从左向右数第（）个数是1994。

40）1992-1989+1986-1983+……+12-9+8-3=（）

41）计算：

15-5+25-10+35-15+45-20+55-25+65-30+75-35+85-40+95-45+105-50+115-55+125-60=（）

42）1994+1993-1992-1991+1990+1989-1988-1987+…10+9-8-7+6+5-4-3+2+1=（）

43）“重阳节”那天，延龄茶座来了25位老人品茶。

他们的年龄恰好是25个连续的自然数。

两年以后这25位老人的年龄和正好是2000岁。

则其中年龄最大的老人今年（）岁。

44）一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位？

45）

（1）11+12+13……+998+999+1000

（2）2+6+3+12+4+18+5+24+6+30

46）求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几？

47）求等差数列46，52，58……172共有多少项？

48）求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项？

49）求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几？

在这个数列中，2000是第几项？

50）从35开始往后面数18个奇数（单数），最后一个奇数是多少？

51）已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这个等差数列的第10项是多少？

52）100+200+300+……2100

53）81+79+……+17+15+13

54）有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次？

55）请用被4除余数是1的所有两位数组成一个等差数列。

并求出这个等差数列的和。

56）在13和29之间插三个数，使这个五个数构成一个等差数列，那么插入的三个数分别是多少？

57）如果要在30和70之间插入若干个数，使他们组成一个公差是5的等差数列，那么一共要插入多少个数？

58）学校举行乒乓球赛，每个参赛选手要和其他选手进行一场比赛，一共进行了78场，计算出一共有多少个参赛选手？

59）一把钥匙和一把锁配着，现在有10把钥匙和10把锁混着了，最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好？

60）40个连续奇数的和是1920，其中最大的一个是多少？

61）小明读一本600页的书，他每天比前一天多读1页。

16天读完，那么他最后一天读了多少页？

四年级奥数试卷

1.如果数A减去数B的3倍，差是51；数A加上数B的2倍，和是111，那么数A=________，数B=________。

2.有40个连续的自然数，其中最大的数是最小数的4倍，那么最大的数与最小的数之和是________。

3.牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后清查还剩6只。

这群羊在过河前共有________只。

4.一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。

但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到________个桃子。

5.三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。

黑猫钓上______条鱼。

6.从1，3，5，7中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的有______个。

二、解答题：

（每小题10分，共40分。

）要求：

写出推算过程。

7.16、如图7所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。

请问这样的填法存在吗？

如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。

8.甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往B地、A地。

甲每小时行32千米。

乙每小时行48千米。

甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。

问：

（1）两人出发后多久可以开始用对讲机联络？

（2）他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇？

（3）他们可用对讲机联络多长时间？

9.星期天早晨，小明发现闹钟因电池能量耗尽停走了。

他换上新电池，估计了一下时间，将闹钟的指针拔到8:

00。

然后，小明离家前往天文馆。

小明到达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时间是9：

15。

一个半小时后，小明从天文馆以同样的速度返回家中。

看到闹钟显示的时间是11：

20，请问，这时小明应该把闹钟调到什么时候才是准确的？

10.19．2005年，小张有一次出差的几天有日期数加起来恰好是60。

问：

小张出差了几天？

是哪几天？

（注：

日期数指a月b日中的b，如4月16日的日期数是16） 

  数列求和级计算答案

一、知识点：

1、数列：

按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

2、等差数列与公差：

一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

3、常用公式 

等差数列的总和=（首项+末项）*项数2

项数=（末项-首项）/公差+1

末项=首项+公差*（项数-1）

公差*（首项=末项-项数-1）

公差=（末项-首项）/（项数-1）

等差数列（奇数个数）的总和=中间项*项数

　盈亏问题公式

（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：

　　（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

　　例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。

问：

有多少个小朋友和多少个桃子？

”

　　解（7+9）÷（10-8）=16÷2

　　=8（个）………………人数

　　10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子

　　或8×8+7=64+7=71（个）（答略）

（2）两次都有余（盈），可用公式：

　　（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。

　　例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。

问：

有士兵多少人？

有子弹多少发？

”

　　解（680-200）÷（50-45）=480÷5

　　=96（人）

　　45×96+680=5000（发）

　　或50×96+200=5000（发）（答略）

　　（3）两次都不够（亏），可用公式：

　　（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

　　例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。

有多少学生和多少本本子？

”

　　解（90-8）÷（10-8）=82÷2

　　=41（人）

　　10×41-90=320（本）（答略）

　　（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：

　　亏÷（两次每人分配数的差）=人数。

　　（例略）

　　（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：

　　盈÷（两次每人分配数的差）=人数。

11.

　小学生数学公式大全，第二部分：

定义定理（算术方面）

　　1、加法交换律：

两数相加交换加数的位置，和不变。

　　2、加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。

　　3、乘法交换律：

两数相乘，交换因数的位置，积不变。

　　4、乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。

　　5、乘法分配律：

两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

如：

（2+4）×5=2×5+4×5。

　　6、除法的性质：

在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。

0除以任何不是0的数都得0。

　　7、等式：

等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。

　　等式的基本性质：

等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。

　　8、方程式：

含有未知数的等式叫方程式。

　　9、一元一次方程式：

含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。

　　学会一元一次方程式的例法及计算。

即例出代有χ的算式并计算。

　　10、分数：

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。

　　11、分数的加减法则：

同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。

异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

　　12、分数大小的比较：

同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。

　　异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

　　13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

　　14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。

　　15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

　　16、真分数：

分子比分母小的分数叫做真分数。

　　17、假分数：

分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。

假分数大于或等于1。

　　18、带分数：

把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。

　　19、分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。

　　20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。

　　21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

　数量关系式：

　　1，每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数

　　2，1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数

　　3，速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度

　　4，单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价

　　5，工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率

　　6，加数+加数=和和-一个加数=另一个加数

　　7，被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数

　　8，因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数

　　9，被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数

　　******************************************************

　　和差问题的公式

　　（和+差）÷2=大数

　　（和-差）÷2=小数

　　和倍问题

　　和÷（倍数-1）=小数

　　小数×倍数=大数

　　（或者和-小数=大数）

　　差倍问题

　　差÷（倍数-1）=小数

　　小数×倍数=大数

　　（或小数+差=大数）

　　******************************************************

　　植树问题：

　　1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：

　　⑴如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：

　　株数=段数+1=全长÷株距-1

　　全长=株距×（株数-1）

　　株距=全长÷（株数-1）

　　⑵如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：

　　株数=段数=全长÷株距

　　全长=株距×株数

　　株距=全长÷株数

　　⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：

　　株数=段数-1=全长÷株距-1

　　全长=株距×（株数+1）

　　株距=全长÷（株数+1）

　　2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

　　株数=段数=全长÷株距

　　全长=株距×株数

　　株距=全长÷株数

　　******************************************************

　　盈亏问题

　　（盈+亏）÷两次分配量之差=参加分配的份数

　　（大盈-小盈）÷两次分配量之差=参加分配的份数

　　（大亏-小亏）÷两次分配量之差=参加分配的份数

　　******************************************************

　　相遇问题

　　相遇路程=速度和×相遇时间

　　相遇时间=相遇路程÷速度和

　　速度和=相遇路程÷相遇时间

　　******************************************************

　　追及问题

　　追及距离=速度差×追及时间

　　追及时间=追及距离÷速度差

　　速度差=追及距离÷追及时间

　　******************************************************

　　流水问题

　　顺流速度=静水速度+水流速度

　　逆流速度=静水速度-水流速度

　　静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2

　　水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2

　　******************************************************

　　浓度问题：

　　溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量

　　溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度

　　溶液的重量×浓度=溶质的重量

　　溶质的重量÷浓度=溶液的重量

　　******************************************************

　　利润与折扣问题：

　　利润=售出价-成本

　　利润率=利润÷成本×100%=（售出价÷成本-1）×100%

　　涨跌金额=本金×涨跌百分比

　　折扣=实际售价÷原售价×100%（折扣〈1）

　　利息=本金×利率×时间

　　税后利息=本金×利率×时间×（1-20%）

　　*****************************