九年级数学上44解直角三角形的应用教案新版湘教版.docx
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九年级数学上44解直角三角形的应用教案新版湘教版
2018年九年级数学上4.4解直角三角形的应用教案新版湘教版
．4 解直角三角形的应用
第1课时 俯角和仰角问题
教学目标
【知识与技能】
比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．
【过程与方法】
通过学习进一步掌握解直角三角形的方法．
【情感态度】
培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
【教学重点】
应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．
【教学难点】
选用恰当的直角三角形，分析解题思路．
教学过程
一、情景导入，初步认知
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
你是如何想的？
与同伴进行交流．
【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用．
二、思考探究，获取新知
1．某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离．你能帮他想出一个可行的办法吗？
分析：
如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.
【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．
2．如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度．（结果精确到1m）
解：
在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000m，因此tan25°＝BCAC＝BC1000
∴BC＝1000×tan25°≈466.3（m），
∴上海东方明珠塔的高度（约）为466.3＋1.7＝468米．
【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣．教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题．
三、运用新知，深化理解
1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离．（精确到1米）
分析：
利用正弦可求．
解：
在Rt△ABC中sinB＝ACAB
∴AB＝ACsinB＝12000.2843≈4221（米）
答：
飞机A到控制点B的距离约为4221米．
2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）?
分析：
在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC.
解：
如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.
∵tanα＝BDAD，tanβ＝CDAD，
∴BD＝ADtanα＝120×tan30°＝120×33＝403，CD＝ADtanβ＝120×tan60°＝120×3＝1203.
∴BD＝BD＋CD＝403＋1203＝1603≈22答：
这栋高楼约高2．如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC.（计算结果可保留根号）
分析：
本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．
解：
过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，∴DE＝AC＝12米．CE＝AD＝1.5米．在直角△BED中，∠BDE＝30°，
tan30°＝BEDE，
∴BE＝DE·tan30°＝43米．
∴BC＝BE＋CE＝（43＋32）米．
4．广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？
（结果保留到0.1米）
分析：
由于气球的高度为PA＋AB＋FD，而AB＝1米，FD＝0.5米，故可设PA＝h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．
解：
设AP＝h米，∵∠PFB＝45°，
∴BF＝PB＝（h＋1）米，
∴EA＝BF＋CD＝h＋1＋5＝（h＋6）米，
在Rt△PEA中，PA＝AE·tan30°，
∴h＝（h＋6）tan30°，
∴气球的高度约为PA＋AB＋FD＝8.2＋1＋0.5＝9.7米．
【教学说明】巩固所学知识．要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：
教材“习题4.4”中第2、4、5题．
教学反思
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决．
第2课时 坡度和方位角问题
教学目标
【知识与技能】
1．了解测量中坡度、坡角的概念；
2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．
【过程与方法】
通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题．
【情感态度】
进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
【教学重点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题．
【教学难点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．
教学过程
一、情景导入，初步认知
如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大？
显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.
从图形可以看出，B1C1A1C1＞BCAC，即tanA1＞tanA.
【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣．
二、思考探究，获取新知
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．
如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度（或坡比），记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
2．如图，一山坡的坡度为i＝1∶2，小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？
小刚上升了多少米？
（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）
3．如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题．学生独立完成．
三、运用新知，深化理解
1．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．
分析：
引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．
解：
已知：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5，∠A＝24°，求AB.
在Rt△ABC中，cosA＝ACAB，
∴AB＝ACcosA＝5.50.9135≈6.0（米）．
答：
斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
2．同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：
如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．
解：
作BE⊥AD，CF⊥AD，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
BEAE＝13，CFFD＝12.5
∴AE＝3BE＝3×23＝69（m）．
FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5（m）．
∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5（m）．
因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝13≈0.3333，
所以α≈18°26′.
∵BEAB＝sinα，
∴AB＝BEsinα＝230.3162≈72.7（m）．
答：
斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
3．庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i＝1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？
（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）
解：
过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ADC中，由i＝1∶3得tanC＝13＝33，
∴∠C＝30°.∴AD＝12AC＝12×240＝120（米）．
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∴AB＝2AD＝1202（米）．
1202÷（240÷24）＝1202÷10＝122（米/分钟）
答：
李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.
4．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝23，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米．求：
（1）∠D的度数；
（2）线段AE的长．
解：
（1）∵四边形BCEF是矩形，
∴∠BFE＝∠CEF＝90°，CE＝BF，BC＝FE，
∴∠BFA＝∠CED＝90°，
∵CE＝BF，BF＝3米，
∴CE＝3米，∵CD＝6米，∠CED＝90°，
∴∠D＝30°.
（2）∵sin∠BAF＝23，
∴BFAB＝23，∵BF＝3米，∴AB＝92米，
∴AF＝（92）2－32＝352米，
∴AE＝35＋22米．
5．日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离．
（参考数据：
sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125）
分析：
过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC＝x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．
解：
过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．
在Rt△APC中，∵tanA＝PCAC，
∴AC＝PCtan67.5°＝5x12
在Rt△PCB中，∵tanB＝PCBC，
∴BC＝xtan36.9°＝4x3
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时，
∴AC＋BC＝AB＝21×5，
∴5x12＋4x3＝21×5，
解得x＝60.
∵sin∠B＝PCPB，
∴PB＝PCsinB＝60sin36.9°＝60×53＝100（海里）
∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．
【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：
教材“习题4.1”中第1、6、7题．
教学反思
通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决．
复习与提升
教学目标
【知识与技能】
1．了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值．
2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数．
3．会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．
【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想．
【情感态度】
通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用．
【教学重点】
会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．
【教学难点】
会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．
教学过程
一、知识结构
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系．
二、释疑解惑，加深理解
1．正弦的概念：
在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦．记作sinα，即：
α＝角α的对边斜边.
2．余弦的概念：
在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦．记作cosα.即α＝角α的邻边斜边.
3．正切的概念：
在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切．记作tanα，即：
tanα＝角α的对边角α的邻边
4．特殊角的三角函数值：
三角函数
α sinαcosαtanα
30°12
32°22
220°32
12三角函数的概念：
我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数．
6．解直角三角形的概念：
在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形．
7．仰角、俯角的概念：
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．
8．坡度的概念：
坡面的铅垂线高度与水平前进的距离的比叫作坡度（或坡比）；记作i，坡度通常用l∶m的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点．加深学生的印象．
三、运用新知，深化理解
1．已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD＝90°，tanB＝23，求sin∠DAC.
解：
过D作DE∥AB交AC于E，
则∠ADE＝∠BAD＝90°，
由tanB＝23，得ADAB＝23，
设AD＝2k，AB＝3k，
∵D是△ABC中BC边的中点，∴DE＝32k
∴在Rt△ADE中，AE＝52k，
∴sin∠DAC＝DEAE＝32k52k＝2．计算：
tan230°＋cos230°－sin245°tan45°
解：
原式＝（33）2＋（32）2－（22）2×1
＝13＋34－12
＝712
3．如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝35，则下列结论正确的个数为（ ）
①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝210A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：
由菱形的周长为20cm知菱形边长是在Rt△ADE中，∵AD＝5cm，sinA＝35，
∴DE＝AD·sinA＝5×35＝3（cm）．
∴AE＝AD2－DE2＝4（cm）．
∴BE＝AB－AE＝5－4＝1（cm）．
菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15（cm2）．
在Rt△DEB中，BD＝DE2＋BE2＝32＋12＝10（cm）．
综上所述①②③正确．
【答案】C
4．如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（结果保留根号）．
分析：
由题意知，在△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C.
解：
过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，
在Rt△APC中，cos∠APC＝PCPA.
∴PC＝PA·cos∠APC＝403，
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝PCPB，
∴PB＝PCcos∠BPC＝403cos45°＝406
∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是406海里．
【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展．
四、复习训练，巩固提高
1．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为（ ）
A．2 B．23 C．33 D．3
分析：
∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线上一点，∴∠EBP＝∠QBF＝30°，∵BF＝2，FQ⊥BP，∴BQ＝BF·cos30°＝2×32＝3.
∵FQ是BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ＝23.
在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，
∴PE＝12BP＝3.
【答案】C
2．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：
3≈1.73）
解：
过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
设AB＝x，在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，
CD＝100，∴DE＝20，CE＝503.
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝x.
则AF＝AB－BF＝AB－DE＝x－50，
DF＝BE＝BC＋CE＝x＋503.
在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，
tan30°＝AFFD，∴x－50x＋503＝∴x＝50（3＋3）≈2答：
山AB的高度约为236.6米．
3．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，3≈1.732）．
解：
根据题意得：
四边形DCEF、DCBG是矩形，
∴GB＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝8米．
设AG＝x米，GF＝y米，
在Rt△AFG中，
tan∠AFG＝tan60°＝AGFG＝xy＝3，
在Rt△ADG中，
tan∠ADG＝tan30°＝AGDG＝xy＋8＝33，
二者联立，解得x＝43，y＝4.
∴AG＝43米，FG＝4米．
∴AB＝AG＋GB＝43＋1.5≈8.4（米）．
∴这棵树AB的高度约为8.4米．
五、师生互动，课堂小结
师生共同总结，对于本章的知识．你掌握了多少？
还存在哪些疑惑？
同学之间可以相互交流．
课后作业
布置作业：
教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题．
教学反思
根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解．力争更多的学生学好本章内容．
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