校本教材系列数学思维训练三年级.docx

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校本教材系列数学思维训练三年级

校本教材系列-----数学思维训练（三年级）

第1讲  等差数列

　　1、下面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少？

　　解答：

2、5、8、11、14、……。

从规律看出：

这是一个等差数列，且首项是2，公差是3，这样第1995项=2＋3×（1995－1）=5984

　　2、在从1开始的自然数中，第100个不能被3除尽的数是多少？

　　解答：

我们发现：

1、2、3、4、5、6、7、……中，从1开始每三个数一组，每组前2个不能被3除尽，2个一组，100个就有100÷2=50组，每组3个数，共有50×3=150，那么第100个不能被3除尽的数就是150－1=149.

　　3、把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？

　　解答：

28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，每组和为：

 1988÷14=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，即相差2×27=54，这样转化为和差问题，最大数为（142＋54）÷2=98。

　　4、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？

　　解答：

因为34×28＋28=35×28=980＜1000，所以只有以下几个数：

         34×29＋29=35×29 

         34×30＋30=35×30 

         34×31＋31=35×31 

         34×32＋32=35×32 

         34×33＋33=35×33 

          以上数的和为35×（29＋30＋31＋32＋33）=5425

　　5、盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。

　　解答：

因为每次若干个数，进行了若干次，所以比较难把握，不妨从整体考虑，之前先退到简单的情况分析：

假设有2个数20和30，它们的和除以17得到黄卡片数为16，如果分开算分别为3和13，再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16，也就是说不管几个数相加，总和除以17的余数不变，回到题目1＋2＋3＋……＋134＋135=136×135÷2=9180，9180÷17=540， 135个数的和除以17的余数为0，而19+97=116，116÷17=6……14，所以黄卡片的数是17-14=3。

　　6、下面的各算式是按规律排列的：

1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第多少个算式的结果是1992？

　　解答：

先找出规律：

每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是从1开始的连续奇数。

因为1992是偶数，2个加数中第二个一定是奇数，所以第一个必为奇数，所以是1或3，如果是1：

那么第二个数为1992－1=1991，1991是第（1991+1）÷2=996项，而数字1始终是奇数项，两者不符，所以这个算式是3+1989=1992，是（1989＋1）÷2=995个算式。

　　7、如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差（大数减小数）最小是多少？

　　解答：

从左向右算它们的差分别为：

999、992、985、……、12、5。

从右向左算它们的差分别为：

1332、1325、1318、……、9、2，所以最小差为2。

　　8、有19个算式：

那么第19个等式左、右两边的结果是多少？

　　解答：

因为左、右两边是相等，不妨只考虑左边的情况，解决2个问题：

前18个式子用去了多少个数？

各式用数分别为5、7、9、……、第18个用了5＋2×17=39个， 5＋7＋9＋……＋39=396，所以第19个式子从397开始计算；第19个式子有几个数相加？

各式左边用数分别为3、4、5、……、第19个应该是3＋1×18=21个，所以第19个式子结果是397＋398＋399＋……＋417=8547。

　　9、已知两列数：

 2、5、8、11、……、2＋（200－1）×3； 5、9、13、17、……、5＋（200－1）×4。

它们都是200项，问这两列数中相同的项数共有多少对？

　　解答：

易知第一个这样的数为5，注意在第一个数列中，公差为3，第二个数列中公差为4，也就是说，第二对数减5即是3的倍数又是4的倍数，这样所求转换为求以5为首项，公差为12的等差数的项数，5、17、29、……，由于第一个数列最大为2＋（200－1）×3=599；第二数列最大为5＋（200－1）×4=801。

新数列最大不能超过599，又因为5＋12×49=593，5＋12×50=605，所以共有50对。

　　10、如图，有一个边长为1米的下三角形，在每条边上从顶点开始，每隔2厘米取一个点，然后以这些点为端点，作平行线将大正三角形分割成许多边长为2厘米的小正三角形。

求⑴边长为2厘米的小正三角形的个数，⑵所作平行线段的总长度。

　　解答：

⑴ 从上数到下，共有100÷2=50行，第一行1个，第二行3个，第三行5个，……，最后一行99个，所以共有（1+99）×50÷2=2500个； ⑵所作平行线段有3个方向，而且相同，水平方向共作了49条，第一条2厘米，第二条4厘米，第三条6厘米，……，最后一条98厘米，所以共长（2+98）×49÷2×3=7350厘米。

　　11、某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人。

如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人？

　　解答：

11月份有30天。

由题意可知，总厂人数每天在减少，最后为240人，且每天人数构成等差数列，由等差数列的性质可知，第一天和最后一天人数的总和相当于8070÷15=538 也就是说第一天有工人538-240=298人，每天派出（298-240）÷（30-1）=2人，所以全月共派出2*30=60人。

　　12、小明读一本英语书，第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读了35页便读完了；第二次读时，第一天读45页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页就可以读完，问这本书有多少页？

　　解答：

第一方案：

35、40、45、50、55、……35 第二方案：

45、50、55、60、65、……40 二次方案调整如下：

第一方案：

40、45、50、55、……35+35（第一天放到最后惶熘腥ィ?

/P>第二方案：

40、45、50、55、……（最后一天放到第一天）这样第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，共385页。

　　13、7个小队共种树100棵，各小队种的查数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队最少种了多少棵？

　　解答：

由已知得，其它6个小队共种了100-18=82棵，为了使钌俚男《又值氖髟缴僭胶茫敲戳?

个应该越多越好，有：

 17+16+15+14+13=75棵，所以最少的小队最少要种82-75=7棵。

　　14、将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知它们的总和是170，如果去掉最大数和最小数，那么剩下的总和是150，在原来排成的次序中，第二个数是多少？

　　解答：

最大与最小数的和为170－150=20，所以最大数最大为20－1=19，当最大为19时，有19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋1=170，当最大为18时，有18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋2=158，所以最大数为19时，有第2个数为7。

第2讲  计算问题  乘法与除法

　　1.算式333×625×125×25×5×16×8×4×2的结果中末尾有多少个零？

　　解答：

找出算式中含有5的是：

625×125×25×5=（5×5×5×5）×（5×5×5）×（5×5）×5，共10个5；找出算式中含有2的是：

16×8×4×2=（2×2×2×2）×（2×2×2）×（2×2）×2，共10个2。

每一组5×2=10，产生1个0，所以共有10个0。

　　答：

结果中末尾有10个零。

　　2.如果n=2×3×5×7×11×13×17×125。

那么n的各位数字的和是多少？

　　解答：

2×3×5×7×11×13×17×125 

　　　　=（7×11×13）×（3×17）×（2×5×125） 

　　　　=1001×51×1250 

　　　　=1001×（50×1250+1×1250） 

       =1001×（12500÷2+1250） 

       =1001×（62500+1250） 

       =（1000+1）×63750 

       =63750000+63750 

       =63813750 

       6+3+8+1+3+7+5+0=33

　　答：

n的各位数字的和是33.

　　3.

（1）计算：

5÷（7÷11）÷（11÷15）÷（15÷21），   

（2）计算：

（11×10×9…×3×2×1）÷（22×24×25×27）.

　　解答：

（1）5÷（7÷11）÷（11÷15）÷（15÷21）

　　　　　=5×11÷7×15÷11×21÷15 

　　　　　=5×11÷11×15÷15×21÷7 

　　　　　=5×21÷7 

　　　　　=5×3×7÷7 

　　　　　=5×3 

         =15

（2）（11×10×9…×3×2×1）÷（22×24×25×27） 

　　　　=（11×10×9…×3×2×1）÷22÷24÷25÷27） 

　　　　=（11×2÷22）×（10×5÷25）×（9×6÷27）×（8×3÷24）×7×4 

　　　　=1×2×2×1×7×4 

　　　　=4×28

　　　　=112

　　4.在算式（□□-7×□）÷16=2的各个方框内填入相同的数字后可使等式成立，求这个数字.

　　解答：

□□-7×□=11×□-7×□=□×（11-7）=□×4，因为□×4÷16=2，所以□×4=32，□=8

　　答：

□=8.

　　5. 计算：

9×17+91÷17-5×17+45÷17.

　　解答：

9×17+91÷17-5×17+45÷17 

　　　　　=9×17-5×17+91÷17+45÷17 

　　　　　=（9-5）×17+（91+45）÷17

　　　　　=4×17+136÷17 

　　　　　=68+8 

　　　　　=76

　　6. 计算：

567×142+426×811-8520×50.

　　解答：

567×142+426×811-8520×50 

　　　　　=567×142+3×142×811-8520×100÷2 

　　　　　=142×（567+3×811）-852000÷2 

         =142×3000-426000 

         =426000-426000 

         =0

　　7. 计算：

28×5+2×4×35+21×20+14×40+8×62.

　　解答：

28×5+2×4×35+21×20+14×40+8×62 

　　　　　=2×2×7×5+2×4×5×7+3×7×4×5+2×7×5×2×4+8×62

　　　　　=2×2×7×5×（1+2+3+4）+496 

　　　　　=10×14×10+496 

　　　　　=1400+496 

　　　　　=1896 

　　8. 计算：

55×66+66×77+77×88+88×99.

　　解答：

55×66+66×77+77×88+88×99 

　　　　　=（11×5）×（11×6）+（11×6）×（11×7）+（11×7）×（11×8）+（11×8）×（11×9）

　　　　　=11×11×（5×6+6×7+7×8+8×9） 

　　　　　=11×（10+1）×（30+42+56+72） 

　　　　　=（110+11）×200 

　　　　　=121×200 

　　　　　=24200

　　9. 计算：

（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7.

　　解答：

（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7 

　　　　　=[（1×100000+2×10000+3×1000+4×100+5×10+6）+（2×100000+3×10000+4×1000+5×100+6×10+1）+（3×100000+4×10000+5×1000+6×100+1×10+2）+（4×100000+5×10000+6×1000+1×100+2×10+3）+（5×100000+6×10000+1×1000+2×100+3×10+4）+（6×100000+1×10000+2×1000+3×100+4×10+5）]÷7

　　　　　=[1+2+3+4+5+6]×100000+（2+3+4+5+6+1）×10000+（3+4+5+6+1+2）×1000+（4+5+6+1+2+3）×100+（5+6+1+2+3+4）×10+（6+1+2+3+4+5）×1]÷7 

　　　　　=（21×100000+21×10000+21×1000+21×100+21×10+21×1）÷7 

　　　　　=21×100000÷7+21×10000÷7+21×1000÷7+21×100÷7+21×10÷7+21×1÷7 

　　　　　=300000+30000+3000+300+30+3 

　　　　　=333333

　　10.（87+56+73+75+83+63+57+53+67+78+65+77+84+62）÷14.

　　解答：

（87+56+73+75+83+63+57+53+67+78+65+77+84+62）÷14

　　　　　=[（8+5+7+7+8+6+5+5+6+7+6+7+8+6）×10+（7+6+3+5+3+3+7+3+7+8+5+7+4+2）]÷14 

　　　　　=[（14×7-7）×10+（14×7-28）]÷14 

　　　　　=[（13×7）×10+（10×7）]÷14 

　　　　　=（130+10）×7÷14

　　　　　=140×7÷14 

　　　　　=10×7 

　　　　　=70

　　11.在算是12345679×□=888888888，12345679×○=555555555的方框和圆圈内分别填入恰当的数后可使两个等式都成立，求所填的两个数之和.

　　解答：

□×9个位是8，○×9个位是5，所以□的个位是2，○的个位是5。

　　　　　12000000×82>888888888，13000000×62<888888888，所以□=72

　　　　　12000000×55>555555555,13000000×35<555555555，所以○=45

　　　　　72+45=117

　　答：

所填的两个数之和是117.

12.计算：

（1）42×45，

（2）31×39，（3）45×45，（4）132×138.

　　解答：

（1）42×45=42×（50-5）=2100-210=1890

（2）31×39=31×（40-1）=1240-31=1209

   （3）45×45=45×（50-5）=2250-225=2025

   （4）132×138=（100+30+2）×138=13800+4140+276=18216

　　13.计算：

（1）13579×11，

（2）124×111，（3）1111×1111.

　　解答：

（1）13579×11=13579×（10+1）=135790+13579=149369

（2）124×111=124×（100+10+1）=12400+1240+124=13764

　　　　　（3）1111×1111=1111×（1000+100+10+1）=1111000++111100+11110+1111=1234321

　　14.

（1）给出首位是1的两位数的简便算法，据此计算10至19中任意两数的乘积，并排列成一个乘法表. 

（2）有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和是奇数，而且都是两个两位数的乘积，例如144=12×12.那么在此类自然数中，第三大的数是多少？

　　解答：

（1）1□×1△ 

　　　　　=（10+□）×（1△） 

　　　　　=10×1△+□×1△ 

　　　　　=100+△×10+□×10+□×△ 

　　　　　=100+（△+□）×10+□×△

　　　首位是1的两位数的乘积=100+两个数个位数字之和的10倍+两个数个位数字之积

　　　首位是1的两位数乘法表

10  100

11  110  121

12  120  132  144

13  130  143  156  169

14  140  154  168  182  196

15  150  165  180  195  210  225

16  160  176  192  208  224  240  256

17  170  187  204  221  238  255  272  289

18  180  198  216  234  252  270  288  306  324

19  190  209  228  247  266  285  304  323  342  361

      10    11    12    13    14    15    16    17    18    19

（2）最大的是195=13×15，其次是182=13×14，再次是180=12×15

　　　在此类自然数中，第三大的数是180.

　　15.有16张纸，每张纸的正面用红色笔任意写1，2，3，4中的某个数字，在反面用蓝笔也写1，2，3，4中的某个数字，要求红色数相同的任何两张纸上，所写的蓝色数一定不同.现在把每张纸上的红、蓝两个数相乘，求这16个乘积的和.

　　解答：

红1可对应?

，2，3，4；红2可对应蓝1，2，3，4；红3可对应蓝1，2，3，4；红4可对应蓝1，2，3，4，共有16种不同的情况。

因为红色数相同的任何两张纸上，所写的蓝色数一定不同，所以这16张纸正好就是这16种情况。

　　（1×1+1×2+1×3+1×4）+（2×1+2×2+2×3+2×4）+（3×1+3×2+3×3+3×4）+（4×1+4×2+4×3+4×4） 

　　　　　=（1+2+3+4）×（1+2+3+4） 

　　　　　=10×10 

　　　　　=100

　　答：

这16个乘积的和是100.

第3讲智巧趣题

　　1、用数字1，1，2，2，3，3拼凑出一个六位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数字，两个3之间有3个数字。

　　解答：

312132          231213

　　2、把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？

　　解答：

对折一次:

2*2-1=3段　对折二次:

4*2-3=5段　对折三次:

8*2-7=9段.

　　3、有10张，卡片分别标有从2开始的10个连续偶数。

如果将它们分成5组，每组两张，计算同组中两个偶数和分别得到①34，②22，③16，④30，⑤8。

那么每组中的两张卡片上标的数各是多少？

　　解答：

10个连续偶数是:

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

8=2+6    16=4+12      22=14+8      30=20+10        34=16+18    4、售货员把29个乒乓球分装在5个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于30，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。

问这5个盒子里分别装着多少个乒乓球？

　　解答：

1+2+4+8+14=29

　　5、小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱数相等。

当任意从左边衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的钱总数要么比原来的钱数多2分，要么比原来的钱数少2分，那么两个衣袋中共有多少分钱？

　　解答：

2*6=5+7*1     共:

2*6*2=24分=2角4分.

　　6、如图10-1，这是用24根火柴摆成的两个正方形，请你只移动其中的4根火柴，使它变成两个完全相同的正方形。

　　解答：

　　7、请将16个棋子分放在边长30厘米、20厘米、10厘米的3个盒子里，使大盒子里的棋子数是中盒子里棋子数的2倍，中盒子里的棋子数是小盒子里棋子数的2倍。

问应当如何放置？

　　解答：

把小盒子放进中盒子里,大盒子另外放.小盒里放4个,中盒里放4个,大盒里放8个.

　　8、今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真币和重量不同。

现需弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。

那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？

　　解答：

分成50、50、1三堆：

第一次称两个50，如果平了，第二次从这100个任意拿1个（当然是真的）与第三堆的1个称，自然会出结果；第一次称两个50不平是正常的，第二次我们把其中的一堆（或重的或轻的都行）分成25、25、称第二次：

1、把轻的分成25、25，如果平了，说明那堆重的有假，当然假的是超重；如果不平，说明这50个轻的有假，假的是轻了；2、把重的分成25、25，道理同上。

所以两次可以发现轻重，但是找不出哪个是假的。

　　9、有大、中、小3个瓶子，最多分别可发装入水1000克、700克和300克。

现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动动使得中瓶和小瓶上标出装100克水的刻度线，问最少要倒几次水？

　　解答：

６

　　10、把123，124，125三个数分别写在图10-2所示的A，B，C三个小圆圈中，然后按下面的规则修改这三个数。

第一步，把B中的数改成A中的数与B中的数之和；第二步，把C中的数改成B中（已改过）的数与C中的数之和；第三步，把A中的数改成C中（已改过）的数与A中的数之和；再回到第一步，循环做下去。

如果在某一步做完之后，A，B，C中的数都变成了奇数，则停止运算。

为了尽可能多运算几步，那么124应填在哪个圆圈中？

　　11、若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了。

小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下。

小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子。

问共有多少个盒子？

　　解答：

原来有个空的，说明现在也有个空的；现在空的说明原来这盒有1个，当然现在也必须有个盒子有1个；现在盒中有1个，说明原来是2个，当然现在也必须有个盒子有2个；……考虑50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55　共11个盒子。

　　12、如图10-3，圆周上顺序排列着1，2，3，……，12这12个数。

我们规定：

把圆周上某相邻4个数的顺序颠倒过来，称为一次变换，例如1，2，3，4可变为4，3，2，1，而11，12，1，2可变为2，1，1