奥数第六讲:分数百分数应用题Word文档下载推荐.doc
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我国人口约占世界人口的几分之几?
——世界人口是总数,我国人口是部分数,世界人口就是单位“1”。
解答题关键:
只要找准总数和部分数,确定单位“1”就很容易了。
(二)、两种数量比较
分数应用题中,两种数量相比的关键句非常多。
有的是“比”字句,有的则没有“比”字,而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。
在含有“比”字的关键句中,比后面的那个数量通常就作为标准量,也就是单位“1”。
六
(2)班男生比女生多——就是以女生人数为标准(单位“1”),
解题关键:
在另外一种没有比字的两种量相比的时候,我们通常找到分率,看“占”谁的,“相当于”谁的,“是”谁的几分之几。
这个“占”,“相当于”,“是”后面的数量——谁就是单位“!
”。
(三)、原数量与现数量
有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语,也不是部分数和总数的关系。
这类分数应用题的单位“1”比较难找。
需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字,然后在分析。
水结成冰后体积增加了,冰融化成水后,体积减少了。
完善后:
水结成冰后体积增加了→“水结成冰后体积比原来增加了”→原来的水是单位“1”
冰融化成水后,体积减少了→“冰融化成水后,体积比原来减少了”→原来的冰是单位“1”
要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析
例题精讲
【例1】(小数报数学竞赛初赛)甲、乙两人星期天一起上街买东西,两人身上所带的钱共计是元.在人民市场,甲买一双运动鞋花去了所带钱的,乙买一件衬衫花去了人民币元.这样两人身上所剩的钱正好一样多.问甲、乙两人原先各带了多少钱?
【解析】方法一:
把甲所带的钱视为单位“”,由题意,乙花去元后所剩的钱与甲所带钱的一样多,那么元钱正好是甲所带钱的,那么甲原来带了(元),乙原来带了(元).
设甲所带的钱数为份,则甲和乙都还剩份,所以每份是(元),则甲原来带了(元),乙原来带了(元).
【巩固】一实验五年级共有学生152人,选出男同学的和5名女同学参加科技小组,剩下的男、女人数正好相等。
五年级男、女同学各有多少人?
【解析】根据题意画出线段图,找出量率对应:
题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系,但从中可以看出,如果女工去掉5人就和男工人数的(1-)相对应,因此总人数也应去掉5人,相应的与男工人数的(1-+1)相对应。
因此男工有:
(152-5)÷
(1-+1)=77(名)女工有:
152-77=75(名)答:
男共有77名,女工有75名。
【巩固】五年级有学生人,选出男生的和名女生参加团体操,这时剩下的男生和女生人数一样多,问:
五年级女生有多少人?
【解析】男生人数为(人),女生有:
(人).
【例2】甲、乙两个书架共有本书,从甲书架借出,从乙书架借出以后,甲书架是乙书架的倍还多本,问乙书架原有多少本书?
【解析】甲
甲
甲
乙
共本
150本
还剩下~
甲的比乙的多本
甲的比乙多本
同时扩大两倍
这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化,变化之后的关系是两倍还多本,也就是说:
甲的比乙的的两倍还多本,如果能够正确地理解和转化这个条件,这道题也就迎刃而解了,从上图中不难看出,“甲的比乙的的两倍还多本”其实也就是“甲的比乙的多本”,如果同时扩大两倍,他们之间的关系就变成了“甲的比乙多本”,结合“甲乙的和为本”这个条件,这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。
,,(本),,
(本)…………甲的书本数目
(本)………………………………乙的书本数目
设甲原有x本书,,解得,则乙为500本。
【例3】五年级上学期男、女生共有人,这一学期男生增加,女生增加,共增加了人.这一学年六年级男、女生各有多少人?
此题我们用假设法来解答.假设这一学期五年级男、女生人数都增加,那么增加的人数应为(人),这与实际增加的人相差(人).相差人的原因是把女生增加的看成计算了,即少算了原女生人数的,也就是说这人正好相当于上学期女生人数的,可求出上学期女生的人数:
(人),男生人数为:
(人),这学年女生的人数:
(人),这学年男生的人数:
本题可以看成男生1份+女生1份=13(人),那么男生20份+女生20份=13×
20=260(人),对比分析可以看出:
300—260=40(人)对应男生的25—20=5(份),所以男生有40÷
5×
(25+1)=208(人),女生有300+13—208=105(人)。
【巩固】把金放在水里称,其重量减轻,把银放在水里称,其重量减轻.现有一块金银合金重克,放在水里称共减轻了克,问这块合金含金、银各多少克?
设合金含金克,则银有克.依题意,列方程得:
,
解得,所以这块合金中金有克,银有克.
本题可以看成金1份+银1份=50(克),那么金10份+银10份=50×
10=500(克),对比分析可以看出:
770—500=270(克)对应金的19—10=9(份),所以金有270÷
9×
19=570(人),银有770—570=200(人)。
【例4】光明小学有学生人,其中女生的与男生的参加了课外活动小组,剩下的人没有参加.这所小学有男、女生各多少人?
【解析】(用假设法)假设男生、女生都有的人参加了课外活动小组,那么共有(人),比现在多出了(人),这多出的人即为女生的,所以女生人数为
(人),男生人数为(人).
【巩固】二年级两个班共有学生人,其中少先队员有人,又知一班少先队员占全班人数的,二班少先队员占全班人数的,求两个班各有多少人?
【解析】本题与鸡兔同笼问题相似,根据鸡兔同笼问题的假设法,可求得一班人数为(人),那么二班人数为(人).
【例5】盒子里有红,黄两种玻璃球,红球为黄球个数的,如果每次取出个红球,个黄球,若干次后,盒子里还剩个红球,个黄球,那么盒子里原有________个玻璃球.
【解析】由于红球与黄球个数比为,所以若每次取个红球,个黄球,则最后剩下的红球与黄球的个数比仍为,即最后剩下个红球,个黄球,而实际上是每次取个红球,个黄球,最后剩个红球,个黄球,每次少取了3个黄球,最后多剩下45个黄球,所以一共取了次,所以球的总数为个.
【巩固】甲乙两班的同学人数相等,各有一些同学参加课外天文小组,已知甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的三分之一,乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一,问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?
【解析】分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数,则:
甲参+甲未=乙参+乙未,
【例6】(年第七届“希望杯”五年级一试)工厂生产一批产品,原计划15天完成。
实际生产时改进了生产工艺,每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件,结果提前4天完成了生产任务。
则这批产品有件。
【解析】设原计划每天生产份,则实际每天生产份加件,而根据题意这批产品共有份,所以实际每天生产份,所以份与份加件的和相同,所以每份就是件,所以这批产品共有件.或用方程来解.
【例7】有若干堆围棋子,每堆棋子数一样多,且每堆中白子都占28%.小明从某一堆中拿走一半棋子,而且拿走的都是黑子,现在,在所有的棋子中,白子将占32%.那么,共有棋子多少堆?
【解析】设每堆棋子为100个有x堆棋子,那么每堆中白子为28个,黑子为72个,那走一半棋子且为黑子时,还剩白子为28x个,黑子为(72x—50)个,所以列方程为:
解得,所以有4堆。
【例8】我从飞机的舷窗向外看去,看见了部分海岛、部分白云以及不大的一块海域,假定白云占窗口画面的一半,它遮住了岛的,因此岛在窗口画面上只占,问被白云遮住的那部分海洋占画面的多少?
【解析】5/12.
【例9】养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭,鸡的只数是鸭的只数的倍.鸭比鸡少几分之几?
把鸭看成单位“”,那么鸡就是,鸭比鸡少:
(此时的单位“1”是鸡的只数).
设鸭有份,则鸡有份,所以鸭比鸡少.
【巩固】某校男生比女生多,女生比男生少几分之几?
男生比女生多,则男生有,女生比男生少.
设女生有份,则男生有份,所以女生比男生少.
【例10】学校阅览室里有36名学生在看书,其中女生占,后来又有几名女生来看书,这时女生人数占所有看书人数的.问后来又有几名女生来看书?
【解析】把总人数视为“1”,紧抓住男生人数不变进行解答.男生人数是人,后来阅览室的总人数是(名),后来有(名)女生进来.
【巩固】(2009年五中小升初入学测试题)工厂原有职工128人,男工人数占总数的,后来又调入男职工若干人,调入后男工人数占总人数的,这时工厂共有职工人.
【解析】在调入的前后,女职工人数保持不变.在调入前,女职工人数为人,调入后女职工占总人数的,所以现在工厂共有职工人.
【巩固】有甲、乙两桶油,甲桶油的质量是乙桶的倍,从甲桶中倒出5千克油给乙桶后,甲桶油的质量是乙桶的倍,乙桶中原有油千克.
【解析】原来甲桶油的质量是两桶油总质量的,甲桶中倒出5千克后剩下的油的质量是两桶油总质量的,由于总质量不变,所以两桶油的总质量为千克,乙桶中原有油千克.
【例11】
(1)某工厂二月份比元月份增产10%,三月份比二月份减产10%.问三月份比元月份增产了还是减产了?
(2)一件商品先涨价15%,然后再降价15%,问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变?
【解析】
(1)设二月份产量是1,所以元月份产量为:
,三月份产量为:
,因为>0.9,所以三月份比元月份减产了
(2)设商品的原价是1,涨价后为,降价15%为:
,现价和原价比较为:
0.9775<1,所以价格比较后是价降低了。
【例12】某校三年级有学生240人,比四年级多,比五年级少.四年级、五年级各多少人?
【分析】比四年级,可以设四年级为4份,(一般情况下可设“比”、“是”、等词后面的实际量的份数为分数的分母),则三年级为5份恰有240人,所以一每份就是,所以四年级就有484192人,同理可设五年级有5份,则三年级有4份恰是240人,所以五年级就有300人.
【巩固】把个人分成四队,一队人数是二队人数的倍,一队人数是三队人数的倍,那么四队有多少个人?
设一队的人数是“”,那么二队人数是:
,三队的人数是:
,,因此,一、二、三队之和是:
一队人数,因为人数是整数,一队人数一定是的整数倍,而三个队的人数之和是(某一整数),因为这是以内的数,这个整数只能是.所以三个队共有人,其中一、二、三队各有,,人.而四队有:
设二队有份,则一队有份;
设三队有份,则一队有份.为统一一队所以设一队有份,则二队有份,三队有份,所以三个队之和为份,而四个队的份数之和必须是的因数,因此四个队份数之和是100份,恰是一份一人,所以四队有人(人).
【例13】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班,音乐班人数相当于另外两个班人数的,美术班人数相当于另外两个班人数的,体育班有人,音乐班和美术班各有多少人?
【解析】条件可以化为:
音乐班的人数是所有班人数的,美术班的学生人数是所有班人数的,所以体育班的人数是所有班人数的,所以所有班的人数为人,其中音乐班有人,美术班有人.
【巩固】甲、乙、丙三人共同加工一批零件,甲比乙多加工20个,丙加工零件数是乙加工零件数的,甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的,则甲、丙加工的零件数分别为个、个.
【解析】把乙加工的零件数看作1,则丙加工的零件数为,甲加工的零件数为,由于甲比乙多加工20个,所以乙加工了个,甲、丙加工的零件数分别为个、个.
【例14】王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄,王先生的年龄是另外三人年龄和的,李先生的年龄是另外三人年龄和的,赵先生的年龄是其他三人年龄和的,杨先生26岁,你知道王先生多少岁吗?
要求王先生的年龄,必须先要求出其他三人的年龄各是多少.而题目中出现了三个“另外三人”所包含的对象并不同,即三个单位“”是不同的,这就是所说的单位“”不统一,因此,解答此题的关键便是抓不变量,统一单位“”.题中四个人的年龄总和是不变的,如果以四个人的年龄总和为单位“”,则单位“”就统一了.那么王先生的年龄就是四人年龄和的,李先生的年龄就是四人年龄和的,赵先生的年龄就是四人年龄和的(这些过程就是所谓的转化单位“”).则杨先生的年龄就是四人年龄和的.由此便可求出四人的年龄和:
(岁),王先生的年龄为:
(岁).
设王先生年龄是1份,则其他三人年龄和为2份,则四人年龄和为3份,同理设李先生年龄为1份,则四人年龄和为4份,设赵先生年龄为1份,则四人年龄和为5份,不管怎样四人年龄和应是相同的,但是现在四人年龄和分别是3份、4份、5份,它们的最小公倍数是60份,所以最后可以设四人年龄和为60份,则王先生的年龄就变为20份,李先生的年龄就变为15份,赵先生的年龄就变为12份,则杨先生的年龄为13份,恰好是26岁,所以1份是2岁,王先生年龄是20份所以就是40岁.
【巩固】甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路,甲队筑的路是其他三个队的,乙队筑的路是其他三个队的,丙队筑的路是其他三个队的,丁队筑了多少米?
【解析】甲队筑的路是其他三个队的,所以甲队筑的路占总公路长的;
乙队筑的路是其他三个队的,所以乙队筑的路占总公路长的;
丙队筑的路是其他三个队的,所以丙队筑的路占总公路长的,
所以丁筑路为:
(米)
【例15】(迎春杯决赛)小刚给王奶奶运蜂窝煤,第一次运了全部的,第二次运了块,这时已运来的恰好是没运来的.问还有多少块蜂窝煤没有运来?
【解析】方法一:
运完第一次后,还剩下没运,再运来块后,已运来的恰好是没运来的,也就是说没运来的占全部的,所以,第二次运来的块占全部的:
,全部蜂窝煤有:
(块),没运来的有:
(块).
根据题意可以设全部为份,因为已运来的恰好是没运来的,所以可以设全部为份,为了统一全部的蜂窝煤,所以设全部的蜂窝煤共有份,则已运来应是份,没运来的份,第一次运来份,所以第二次运来是份恰好是块,因此没运来的蜂窝煤有(块).
【巩固】五
(一)班原计划抽的人参加大扫除,临时又有个同学主动参加,实际参加扫除的人数是其余人数的.原计划抽多少个同学参加大扫除?
【解析】又有个同学参加扫除后,实际参加扫除的人数与其余人数的比是,实际参加人数比原计划多.即全班共有(人).原计划抽(人)参加大扫除.
【巩固】某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的,后来又有20名同学参加大扫除,实际参加的人数是未参加人数的,这个学校有多少人?
【解析】(人).
【例16】小莉和小刚分别有一些玻璃球,如果小莉给小刚24个,则小莉的玻璃球比小刚少;
如果小刚给小莉24个,则小刚的玻璃球比小莉少,小莉和小刚原来共有玻璃球多少个?
【解析】小莉给小刚24个时,小莉是小刚的(=1一),即两人球数和的;
小刚给小莉24个时,小莉是两人球数和的(=),因此24+24是两人球数和的-=.从而,和是(24+24)÷
=132(个).
【巩固】某班一次集会,请假人数是出席人数的,中途又有一人请假离开,这样一来,请假人数是出席人数的,那么,这个班共有多少人?
【解析】因为总人数未变,以总人数作为”1”.原来请假人数占总人数的,现在请假人数占总人数的,这个班共有:
l÷
(-)=50(人).
【例17】小明是从昨天开始看这本书的,昨天读完以后,小明已经读完的页数是还没读的页数,他今天比昨天多读了页,这时已经读完的页数是还没读的页数的,问题是,这本书共有多少页?
”
【解析】首先,可以直接运算得出,第一天小明读了全书的,而前二天小明一共读了全书的,所以第二天比第一天多读的页对应全书的。
所以整本书一共有(页)。
此外,如果对分数的掌握还不是很熟练的话,那么这道题可以采用设份数的方法:
把这本书看作份,那么昨天他看了份,而今天他看了份还多页,两天一共看了份还多页,或者可以表示成(份)。
那么每份是(页),这本书共(页)。
两种方法都可以得到相同的结果。
【例18】某校有学生人,其中女生的比男生的少人,那么男生比女生少多少人?
女生的比男生的少人,,,所以女生比男生的少人.男生人数是(人),女生人数是(人),男生比女生少(人)。
通过画图比较女生的份加人恰好等于男生的两份,因此给每份女生加后,男女生总份数就变为份,因此每份有人,男生有女生人数是(人),男生比女生少(人).
【例19】某校四年级原有两个班,现在要重新编为三个班,将原一班的与原二班的组成新一班,将原一班的与原二班的组成新二班,余下的人组成新三班.如果新一班的人数比新二班的人数多,那么原一班有多少人?
【解析】新三班人数占原来两班人数之和的,所以,原来两班总人数为:
(人),新一班与新二班人数之和为:
(人),新二班人数是:
(人),新一班人数为:
(人),新一班与新二班人数之差为,而新一班与新二班人数之差为(原一班人数原二班人数),故:
原一班人数原二班人数(人),原一班人数(人).
【巩固】某工厂对一、二两个车间的职工进行重组,将原来的一车间人数的和二车间人数的分到一车间,将原来的一车间人数的和二车间人数的分到二车间,两个车间剩余的140人组成劳动服务公司,现在二车间人数比一车间人数多,现在一车间有人,二车间有人.
【解析】由“将一车间人数的和二车间人数的分到一车间,将一车间人数的和二车间人数的分到二车间”可知,现在一、二两车间的人数之和为总人数的,所以劳动服务公司的140人占总人数的,那么总人数为:
人,现在一、二两车间的人数之和为人.由于现在二车间人数比一车间人数多,所以现在一车间人数为人,现在二车间人数为人.提示:
可以继续求出原来一车间和二车间的人数.由于现在二车间比一车间多20人,所以原来二车间人数的比一车间人数的多20人,那么原来二车间人数比乙车间人数多人,原来一车间有人,原来二车间有人.
【例20】年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(小学组)决赛林林倒满一杯纯牛奶,第一次喝了,然后加入豆浆,将杯子斟满并搅拌均匀,第二次林林又喝了,继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀,重复上述过程,那么第四次后,林林共喝了一杯纯牛奶总量的(用分数表示)。
【解析】大家要先分析清楚的是不论是否加入豆浆,每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的,要是能想清楚这一点那么这道题就变了一道找规律的问题了。
喝掉的牛奶
剩下的牛奶
第一次
第二次
(喝掉剩下的)
(剩下是第一次剩下的)
第三次
第四次
所以最后喝掉的牛奶为
【例21】参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000多人.其中光明区占,中心区占,朝阳区占,剩余的全是远郊区的学生.比赛结果,光明区有去的学生得奖,中心区有的学生得奖,朝阳区有的学生得奖,全部获奖者的号远郊区的学生.那么参赛学生有多少名?
获奖学生有多少名?
【解析】如下表所示,我们将题中所给的条件列在表格内:
有远郊区参赛的占参赛总数的1-而光明区、中心区、朝阳区获奖学生数占参赛总数的,,.所以有参赛学生数是3、7、5、72、56、90的倍数,即为2520的倍数,而参赛学生总数只有2000多人,所以只能是2520.光明区、中心区、朝阳区获奖学生共35+45+28=108人,占获奖总数的,所以获奖学生总数为108÷
=126.即参赛学生有2520名,获奖学生有126名.
【例22】一炉铁水凝成铁块,其体积缩小了,那么这个铁块又熔化成铁水(不计损耗),其中体积增加了几分之几?
设铁水的体积为,则铁块为.现在变回来,那么铁块的体积就要变为单位1,则铁水的体积就为,故体积增加了:
.
体积缩小是铁块比铁水缩小,所以可以设铁水为34份,则铁块为33份,铁块又熔化成铁水,体积增加是比铁块增加,所以用差的1份除以铁块的33份就是答案.
【巩固】水结成冰后体积增大它的.问:
冰化成水后体积减少它的几分之几?
【解析】设水的体积是份,则结成冰后体积为份,冰化成水后比冰减少.
【例23】(2008年清华附中考题)在下降的电梯中称重,显示的重量比实际体重减少;
在上升的电梯中称重,显示的重量比实际体重增加.小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同,小明和小刚实际体重的比是.
【解析】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的,小刚在上升的电梯中称得的体重为其实际体重的,而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同,所以小明和小刚实际体重的比是:
.
【例24】某工厂二月份比元月份增产,三月份比二月份减产.问三月份比元月份增产了还是减产了?
【解析】工厂二月份比元月份增产,将元月份产量看作1,则二月份产量为:
,三月比二月减产,则三月份产量为:
,所以三月份比元月份减产了.
【巩固】一件商品先涨价,然后再降价,问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变?
【解析】,所以现在的价格比原价降低了.
【例25】如图⑴,线段将长方形纸分成面积相等的两部分.沿将这张长方形纸对折后得到图⑵,将图⑵沿对称轴对折,得到图⑶,已知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的,阴影部分面积为平方厘米.长方形的面积是多少?
【解析】如图⑶所示,阴影部分是层,空白部分是层,如果将阴影部分缩小一半,即变为平方厘米,那么阴影部分也变成层,此时覆盖面的面积占长方形纸片面积的,即缩小的平方厘米相当于长方形纸片面积的,所以长方形纸片面积为(平方厘米).
课后练习
练习1.某小学六年级有三个班,一班和二班人数相等,三班的人数是全年级总人数的,并且比一班多人,六年级共有多少人?
【解析】根据条件“三班的人数占全年级的,并且比二班多3人”可知一班、二班都比全年级的少3人,假设一班、二班都占全年级的,那么将比实际人数多出3×
2=6人,比单位“1”多出(++-