导数与微分一导数的概念Word下载.docx
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叫）七生=斫％
UhMO过iWC&
定义设函数y打⑴在点心的邻域内有定义，当自变量X从九变到皿+应时，则函数得相应的增量如叮仏也）叮的，如果极
存在，则称函数厂/w在点则可导，并称此极限为函数/⑴在
点九的导数。
记作f（心），或》仏）,/
变
如）
叫,
dx
即他匕誌屯/竺沁
如果记坷+Ax=x，贝y上式可写为
皿旣智严或1=做
则畑中心5）
如果上述极限不存在，则称函数在点h不可导。
例3设厂您在九处可导
耐/（知+防-/fa-力）「
（1）I为
輒严七r（讥L则f仇尸?
曲了（鬲+山）-了（鬲询
解
（1）3
=曲/（州7）-/（心）*/（%）-/（列-冏
*->
=曲/僦+方）-了（心）+曲/（心-必）-/（咼）
4>
0力4"
>
0—比
=2八心）
=伽乳心皿）-畑
iX->
-/U）=2
曲了备）-/（心-fcAx）
AZAz
=牲『（丁如）F讥好认）5—10血KF0—
.\k=-2
例5证明：
y二乐在1=0处不可导。
1百
-1O
二厂乐在"
0处不可导。
注意：
函数厂班在
（0,0）
处的切线存在，斜率
时，有时
也称了⑴在X0处
导数无穷大。
图4-2左、右导数左导数
右导数
畑）=睥七沁或ZU）=血+型沁
2立Z-Jq
显然有，佝在*0处可导的充要条件是：
/⑴在m的左、右
导数都存在且相等。
解/（0）=0
/（Oi）=Em临'
了®
=lim呱1十
J-0J
以0）=曲型卫=曲心=
5X-057
-'
■/W在"
0可导且/丫0）可
如果函数/W在区间1内每一点都可导（闭区间时，左端点须右可导，右端点须左可导），则称函数/W在区间/内可导，此时其导数值是随X而变的函数，称为/W的导函数，简称导数，记作
而fW是了⑴的导函数f⑴在厂九处的函数值。
用定义求函数/W的导数（函数），可分三步进行:
（1）求增量如叮3&
）-九）
Av_yCx+Ax）-/（x）
（2）求比值&
Ai
（3）求极限起。
忑
例7求y=F（片为正整数）解如珂x+Aiy-F（应用二项式定理）
宀乎％j””'
3
lim—-=1iji\ts-i
归血，所以（X）=nx
例8求/W=sniA的导数。
解忖二y（x+Ax）-/（X）=5in（X+&
）-血X4_sin（X+iz）-sinX
&
Av
曲绥=曲=fc,辿a+&
）■他X曲-*0&
皿-*0Ar加-*0
At
2sin—C0s（x+Axf2）
=lim2
血tOAx
.Av
sin——
=limcos（z+氏2）'
liin=cosa
血toAx/2
所以（sinX）'
=cosX
利用导数的定义和基本求导法则求出了常用初等函数的导数,
列于书中141页公式表中，请大家背下来。
如：
（c）'
=0,（/y=Gsf'
\（sinX）'
=co£
x（cosi）'
=-sinx
（tanx）'
=凭FX,（cotx）'
=-csc^.
（secx/=secxtanx,（escx）'
=-cscjTCOtx
0丁=『讥，（＜!
、『,
xha,X,
（arcsinz/=丿（arccosx）"
=-,
Vi-F71-『
例9设y*丘，求讥几1
77j
耳V=y=-x,
解'
/2
因为
X可导,
••A"
）
如叮a）&
+o（Ai）（增量公式）
即如+血）-/（"
叮⑺&
+o（Ax）
所以加TO时，如TO。
/⑴在X处连续。
注：
定理的逆不一定成立。
既函数y=/M在点I连续，却不
定可导。
兀JC>
0,
-心J；
<
0,
lim/W=lim7W=0=y（0\
・J；
（D）=1工（0）八在—0处不可导。
例11讨论函数
X"
在"
0处的连续性与可导性。
解•飞知啣叮ro）5）在E处连续。
2-1
「TV）-了（0）.E；
.1,
lim八,八'
=lim工=limisin-=0
3x-03X3X
・'
JW在"
0处可导，且f（O）=O。
心rz
例12设盖20.问当砒为何值时，佝在肋0
连续且可导。
解/W在"
0处连续，则了®
岂丿⑴岂”），
加）讥型卫二込土L
ftOa-0『tOX
加匚/弊為葺工占
/⑴在"
0处可导，则侧7（0），鳥討
第一节a
y叮W在则点的导数/h）是曲线y*（x）在点M（心旳处切线的斜率。
所以在（血Jo）处的切线方程为
2
例13求厂X在（-1，1）处的切线方程和法线方程。
解y=2x，y（-i）=-2
切线方程为厂1一2k-（T）],即2x+y+l=0
法线方程为厂1八吕l（T）L既x-2y+g
例14设曲线厂2x+lnx上的点M（心”）处的切线平行于直线y=4*，
求点M的坐标。
]/=2+—A
解/因为曲线在M点的切线平行于厂❻，
解出励=^片=2州+ln州=l+hi-=l—ln2
所以M点的坐标为中E2）
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