数值分析试题集.doc
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数值分析试题集
（试卷一）
一（10分）已知，都是由四舍五入产生的近似值，判断及有几位有效数字。
二（10分）由下表求插值多项式
0
1
2
2
3
4
1
－1
三（15分）设，H（x）是满足下列条件的三次多项式
求，并证明之。
四（15分）计算，。
五（15分）在[0，2]上取，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。
七（10分）对模型，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（15分）求方程在-1.2附近的近似值，。
（试卷二）
一填空（4*2分）
1是区间[0，1]上的权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则 ， 。
2，则 ， 。
3设，当满足条件 时，A可作LU分解。
4设非线性方程，其根，，则求的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 。
二（8分）方程组AX=b，其中，
1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的的取值范围，取何值时雅可比迭代收敛最快？
2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的的取值范围。
三（9分）常微分方程初值问题的单步法公式为，求该公式的精度。
四（14分）设为对称正定方程组
1求使迭代过程收敛的数的变化范围；
2用此法解方程组
（取初值，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表）。
（试卷三）
一设，求的谱半径，范数为1的条件数。
二设，分别计算该函数的二、三阶差商
，。
三设向量
1若定义，问它是不是一种向量范数？
请说明理由。
2若定义，问它又是不是一种向量范数？
请说明理由。
四设，将矩阵分解为，其中是对角线元素的下三角阵。
五设有解方程的迭代法
1证明：
对任意，均有（为方程的根）；
2取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；
3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六对于求积公式
1求该求积公式的代数精度；
2证明它为插值型的求积公式。
（试卷四）
一填空题（每空5分，共25分）
1设精确值为，若取近似值，该近似值具有 位有效数字。
2设，，则三阶差商 。
3，则 。
4设，当满足条件 时，必有分解式A=LLT，其中L是对角线元素为正的下三角阵。
5求积公式的代数精度为 。
二（10分）设，试求一个次数不超过2的多项式，使得
三（20分）1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
且其余项为
2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式
这里：
四（15分）试确定系数，使微分方程的数值计算公式
具有尽可能高的局部截断误差。
（符号说明：
）
五（15分）方程在附近有根，对于给定的迭代关系式，试问：
1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。
2、估计该迭代式的收敛速度。
六（15分）方程组，其中，
试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的取值，并用2至3个的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。
（说明：
数值实验的数据请以列表形式写出。
）
（试卷五）
一填空题（每空5分，共25分）
1已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位 。
2设，，则二阶差商 。
3，则 。
4设，当满足条件 时，A可作LU分解。
5设是互异节点，对于， 。
二（10分）由下表求插值多项式
0
1
2
2
3
4
1
－1
三（25分）1设在上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式
2利用这个公式推导以下复化求积公式
这里：
3对于给定精度，利用上述求积公式，选取合适的求积步长，计算的近似值。
四（10分）常微分方程初值问题的数值公式为，求该公式的精度。
五（15分）设有解方程的迭代法
1证明：
对任意，均有（为方程的根）；
2取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；
3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六（15分）设方程组
1给出雅可比迭代算式；
2说明其收敛性；
3取初始向量，给出其前6步迭代所求出的近似值。
（说明：
数据请以列表形式写出。
）
（试卷六）
一填空题（每空5分，共25分）
1已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位 。
2设，，则二阶差商 。
3，则 。
4设，当满足条件 时，A可作LU分解。
5设是互异节点，对于， 。
二（10分）由下表求插值多项式
0
1
2
2
3
4
1
－1
三（25分）1设在上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式
2利用这个公式推导以下复化求积公式
这里：
3对于给定精度，利用上述求积公式，选取合适的求积步长，计算的近似值。
四（10分）常微分方程初值问题的数值公式为，求该公式的精度。
五（15分）设有解方程的迭代法
1证明：
对任意，均有（为方程的根）；
2取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；
3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六（15分）设方程组
1给出雅可比迭代算式；
2说明其收敛性；
3取初始向量，给出其前6步迭代所求出的近似值。
（说明：
数据请以列表形式写出。
）
（试卷六）
一填空题（每空5分，共25分）
1设精确值为，若取近似值，该近似值具有 位有效数字。
2设，，则三阶差商 。
3，则 。
4设，当满足条件 时，必有分解式A=LLT，其中L是对角线元素为正的下三角阵。
5求积公式的代数精度为 。
二（10分）设，试求一个次数不超过2的多项式，使得
三（20分）1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
且其余项为
2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式
这里：
四（15分）试确定系数，使微分方程的数值计算公式
具有尽可能高的局部截断误差。
（符号说明：
）
五（15分）方程在附近有根，对于给定的迭代关系式，试问：
1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。
2、估计该迭代式的收敛速度。
六（15分）方程组，其中，
试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的取值，并用2至3个的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。
（说明：
数值实验的数据请以列表形式写出。
）
（试卷七）
一填空题（每空4分，共24分）
1已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位 。
2设，当满足条件 时，A可作LU分解。
3设非线性方程，其根，，则求的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 。
4设，则 ， 。
5用积分计算，为使误差的绝对值不超过，问用复化梯形公式至少要取 个结点。
二（21分）设，插值条件如下表
0
1
2
2
3
4
1
－1
1给出满足上述插值条件的插值多项式；
2求其余项；
3给出，的近似值。
三（25分）设
1推导中矩公式；
2导出复化中矩公式；
3利用复化中矩公式，计算定积分（精度为，并将各次复化的计算结果排成一张数据表）。
四（15分）求常数、、、，使解微分方程初值问题
，
的下列数值计算公式
（1）
的局部截断误差尽可能地高（假设
（1）式右端所用信息均为准确的）。
五（15分）设为对称正定方程组
1求使迭代过程收敛的数的变化范围；
2用此法解方程组
（取初值，给出前6次迭代的数据表）。
第1问提示：
考虑使迭代矩阵的范数的取值。
（试卷八）
一（15分）已知精确值为，若取近似值，试问该近似值具有几位有效数字。
二（15分）方程在附近有根，对于给定的迭代关系式，试问：
1、该迭代是否收敛？
2、若收敛，估计收敛速度。
三（15分）已知函数表如下，求二次拉氏插值多项式。
x
3
1
4
y
4
2
5
四（20分）在[－1，1]上，取节点，构造插值型求积公式，并求它的代数精度。
五（15分）写出线性方程组
的雅可比迭代式。
六（20分）试确定系数，使微分方程的数值计算公式
具有尽可能高的局部截断误差。
（符号说明：
）
（试卷九）
一填空题（每空4分，共24分）
1已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位。
，，从而
故具有4位有效数字。
2设，当满足何条件时，A可作LU分解。
若，，即：
，则A可作LU分解。
3设非线性方程，其根，，则求的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。
，，其迭代式为
，
，故
因此，上述迭代为二阶局部收敛的
4设，求，。
，，
5用积分计算，为使误差的绝对值不超过，问用复化梯形公式至少要取多少个结点。
，取结点，作复化梯形求积公式，其误差为
，欲使，取，
，，结点个数即可。
二（21分）设，插值条件如下表
0
1
2
2
3
4
1
－1
1给出满足上述插值条件的插值多项式；
2求其余项；
3给出，的近似值。
设，利用插值条件可得线性方程组
，，，，
利用图形计算器，解此线性方程组可得，，，，
令，其中使为异于0，1，2的点
在0，1，2，四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，在[0，2]上有五个互异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点，使，亦即
，故
在函数库中建立插值多项式，可求得
，
三（25分）设
1推导中矩公式；
2导出复化中矩公式；
3利用复化中矩公式，计算定积分（精度为，并将各次复化的计算结果排成一张数据表）。
两边积分有
，取结点，作复化中矩公式
复化中矩公式为，其中，截断误差为
欲计算定积分，这里，，
，欲使，即，可取
于是，
，在HP38G上进行计算可得
四（15分）求常数、、、，使解微分方程初值问题
，
的下列数值计算公式
（1）
的局部截断误差尽可能地高（假设
（1）式右端所用信息均为准确的）。
由于假定了
（1）式右端所用信息均为准确的，从而
将之与的展开式
相比较，有
解得
所求的数值公式为
五（15分）设为对称正定方程组
1求使迭代过程收敛的数的变化范围；
2用此法解方程组
（取初值，给出前6次迭代的数据表）。
（第1问提示：
考虑使迭代矩阵谱半径时的取值。
）
因为阶对称正定矩阵，故可设，是的特征根，
对于迭代，其迭代矩阵的特征值为
从而
欲使，只需，即，
因此，只需即可。
对于矩阵，利用HP38G，可求得其特征值为，故
不妨取，于是有迭代式
将存入M1，将存入M2，将迭代初值存入M3，在HOME窗口输入迭代式M1*M3+M2►M3，作四次迭代，可出得如下数表
0
0．5
0．6
1
1
0．8
0．75
0．75
2
0．75
0．9
0．775
3
0．8375
0．875
0．7625
4
0．81875
0．91875
0．8
5
0．859375
0．909375
0．809375
6
0．859375
0．9296875
0．834375
（试卷十）
一填空题（每空4分，共24分）
1已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位。
，，从而
故具有4位有效数字。
2设，当满足何条件时，A可作LU分解。
若，，即：
，则A可作LU分解。
3设非线性方程，其根，，则求的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。
，，其迭代式为
，
，故
因此，上述迭代为二阶局部收敛的
4设，求，。
，，
5用积分计算，为使误差的绝对值不超过，问用复化梯形公式至少要取多少个结点。
，取结点，作复化梯形求积公式，其误差为
，欲使，取，
，，结点个数即可。
二（21分）设，插值条件如下表
0
1
2
2
3
4
1
－1
1给出满足上述插值条件的插值多项式；
2求其余项；
3给出，的近似值。
设，利用插值条件可得线性方程组
，，，，
利用图形计算器，解此线性方程组可得，，，，
令，其中使为异于0，1，2的点
在0，1，2，四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，在[0，2]上有五个互异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点，使，亦即
，故
在函数库中建立插值多项式，可求得
，
三（25分）设
1推导中矩公式；
2导出复化中矩公式；
3利用复化中矩公式，计算定积分（精度为，并将各次复化的计算结果排成一张数据表）。
两边积分有
，取结点，作复化中矩公式
复化中矩公式为，其中，截断误差为
欲计算定积分，这里，，
，欲使，即，可取
于是，
，在HP38G上进行计算可得
四（15分）求常数、、、，使解微分方程初值问题
，
的下列数值计算公式
（1）
的局部截断误差尽可能地高（假设
（1）式右端所用信息均为准确的）。
由于假定了
（1）式右端所用信息均为准确的，从而
将之与的展开式
相比较，有
解得
所求的数值公式为
五（15分）设为对称正定方程组
1求使迭代过程收敛的数的变化范围；
2用此法解方程组
（取初值，给出前6次迭代的数据表）。
（第1问提示：
考虑使迭代矩阵谱半径时的取值。
）
因为阶对称正定矩阵，故可设，是的特征根，
对于迭代，其迭代矩阵的特征值为
从而
欲使，只需，即，
因此，只需即可。
对于矩阵，利用HP38G，可求得其特征值为，故
不妨取，于是有迭代式
将存入M1，将存入M2，将迭代初值存入M3，在HOME窗口输入迭代式M1*M3+M2►M3，作四次迭代，可出得如下数表
0
0．5
0．6
1
1
0．8
0．75
0．75
2
0．75
0．9
0．775
3
0．8375
0．875
0．7625
4
0．81875
0．91875
0．8
5
0．859375
0．909375
0．809375
6
0．859375
0．9296875
0．834375
（试卷十一）
一填空题（每空4分，共24分）
1已知，都是由四舍五入产生的近似值，的有效数字是几位。
，，从而
故具有4位有效数字。
2设，当满足何条件时，A可作LU分解。
若，，即：
，则A可作LU分解。
3设非线性方程，其根，，则求的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。
，，其迭代式为
，
，故
因此，上述迭代为二阶局部收敛的
4设，求，。
，，
5用积分计算，为使误差的绝对值不超过，问用复化梯形公式至少要取多少个结点。
，取结点，作复化梯形求积公式，其误差为
，欲使，取，
，，结点个数即可。
二（21分）设，插值条件如下表
0
1
2
2
3
4
1
－1
1给出满足上述插值条件的插值多项式；
2求其余项；
3给出，的近似值。
设，利用插值条件可得线性方程组
，，，，
利用图形计算器，解此线性方程组可得，，，，
令，其中使为异于0，1，2的点
在0，1，2，四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，在[0，2]上有五个互异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点，使，亦即
，故
在函数库中建立插值多项式，可求得
，
三（25分）设
1推导中矩公式；
2导出复化中矩公式；
3利用复化中矩公式，计算定积分（精度为，并将各次复化的计算结果排成一张数据表）。
两边积分有
，取结点，作复化中矩公式
复化中矩公式为，其中，截断误差为
欲计算定积分，这里，，
，欲使，即，可取
于是，
，在HP38G上进行计算可得
四（15分）求常数、、、，使解微分方程初值问题
，
的下列数值计算公式
（1）
的局部截断误差尽可能地高（假设
（1）式右端所用信息均为准确的）。
由于假定了
（1）式右端所用信息均为准确的，从而
将之与的展开式
相比较，有
解得
所求的数值公式为
五（15分）设为对称正定方程组
1求使迭代过程收敛的数的变化范围；
2用此法解方程组
（取初值，给出前6次迭代的数据表）。
（第1问提示：
考虑使迭代矩阵谱半径时的取值。
）
因为阶对称正定矩阵，故可设，是的特征根，
对于迭代，其迭代矩阵的特征值为
从而
欲使，只需，即，
因此，只需即可。
对于矩阵，利用HP38G，可求得其特征值为，故
不妨取，于是有迭代式
将存入M1，将存入M2，将迭代初值存入M3，在HOME窗口输入迭代式M1*M3+M2►M3，作四次迭代，可出得如下数表
0
0．5
0．6
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0．75
0．75
2
0．75
0．9
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3
0．8375
0．875
0．7625
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0．91875
0．8
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0．809375
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0．9296875
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