全国数学建模大赛.docx
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全国数学建模大赛
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问
题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
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2.
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日期：
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2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
基于数理分析的葡萄及葡萄酒评价体系
摘要
葡萄酒的质量是影响葡萄酒的一个重要因素，目前确定葡萄酒的质量主要是由一批有丰富经验的评酒员进行评定。
但不可否认，人都存在着主观的因素，故此方法存在着一定的误差。
所以业界一直在尝试用葡萄的理化指标或者葡萄酒的理化指标定量评价葡萄酒的质量。
本题要求我们在此背景下完成以下的问题
对于问题一，我们首先把表格的数据纵向对比，将红葡萄酒与白葡萄酒进行分类处理，用excel软件对两组评酒员的评分的各个指标的评分求其均值和方差，再利用MATLAB建立模型。
对于问题二，题目要求我们根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行分级。
在葡萄品质的评价过程中存在很多的理化指标，如果全部进行判断，既耽误时间精力数据又不准确。
通过主成分分析、相关分析和聚类分析对105个葡萄品种的l0个理化指标进行分析，可以初步将反映葡萄品质的10个理化指标简化为5个指标，通过分析这5个指标分别可以反映葡萄的甜度、酸度、酸甜度、果实硬度和涩味，所以可以采用这5个指标为可溶性固形物、固酸比、总酸、果胶和纤维素来判别。
对于问题三，初步分析可以得到两者之间的联系体现在酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒理化指标之间的关系。
根据对附件2的比较分析，55种葡萄和葡萄酒，28个葡萄指标7个葡萄酒指标之间存在着共同的部分，在此问中我们选取酿酒葡萄与葡萄酒皆含有的花色苷，单苷成分作为理化指标，然后利用matlab画出折线图，研究酿酒葡萄与葡萄酒两组样品的理化指标之间的相关性。
对于问题四，利用主成分分析法确定葡萄与葡萄酒一级指标的主成分，根据SRSS技术将葡萄与葡萄酒的各个理化指标进行分析，得到他们的成分矩阵，同时根据其成分系数得到葡萄与葡萄酒在主成分中的排名。
同时还要将每个评酒员在对葡萄酒的分类指标打分求和得到其总分进行排名，两组排名进行分析比较，最终得到线性回归方程，判断其因果关系。
最后，我们对模型的改进方向以及优缺点进行了讨论。
关键词：
方差主成分分析KMO
权重法线性回归
1
1问题重述
确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。
每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。
酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。
附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，并分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。
我们需要建立数学模型并且讨论下列问题：
1.分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，并确定哪一组的评价结果更可信。
2.根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。
3.分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。
2模型的假设与符号的约定
2.1模型的假设与说明
（1）评酒员的打分是按照加分制（不采用扣分制）；
（2）假设20名评酒员的评价尺度在同一区间（数据合理，不需要标准化）；
（3）每位评酒员的系统误差较小，在本问题中可以忽略不计；（4）假设附件中给出的葡萄和葡萄酒理化指标都准确可靠。
2.2符号的约定与说明
符号
符号的意义
i号评酒员对j个单指标评分的方差i=1……10，j=1……10
i号评酒员对n号酒样品的j项指标评分的平均分
y1
第一组评酒员对红葡萄酒的评价方差曲线
y2
第二组评酒员对红葡萄酒的评价方差曲线
g1
红葡萄理化指标
g2
红葡萄酒理化指标
G1
白葡萄的理化指标
G2
白葡萄酒的理化指标
W
红葡萄的各项理化指标
W*
白葡萄的各项理化指标
A2
第二组评酒人员对各类红葡萄酒的评分排名
a2
第二组评酒人员对各类红葡萄酒的评分排名
a21
第二组评酒人员对各类红葡萄酒的评分排名
a22
第二组评酒人员对各类白葡萄酒的评分排名
3问题一的分析与求解
3.1问题一的分析
题目要求我们根据两组评酒员对27种红葡萄酒和28种白葡萄酒的10个项目指标进行打分分析情况，并确定两组评酒员对葡萄酒的评价结果是否有显著性差异，从而判断那一组的评酒员的评价结果更加可信。
根据初步的分析：
评酒员对不同的项目指标的衡量尺度不同，因此两组评酒员评价结果是否具有显著性差异应该与项目指标的衡量尺度有关系，所以不同的评价指标的显著性差异可能不同。
因为红葡萄酒与白葡萄酒的外观、口味等项目指标差异性较大，处理时需要将白葡萄酒和红葡萄酒的评价结果的显著性差异分开讨论。
3.2求出葡萄酒的均值
问题一中27组两个完全相同的红葡萄酒样品和28组白葡萄酒样品在两组不同评酒元的检测下得到的两组数据，其中求出两组中各个指标的数据为各组10个评酒员对该指标打分的均值。
该问题中的10个指标分别为：
外观澄清度、外观色调、香气纯正度、香气浓度、香气质量、口感纯正度、口感浓度、口感持久性、口感质量、平衡/总体评价。
首先求出红葡萄酒的均值，如表1
表1红葡萄酒样品数据表（均值表）
澄清度（第1组均值）
澄清度（第2组均值）
……
平衡/整体评价（第1组均值）
平衡/整体评价（第2组均值）
红葡萄样品1
2.3
3.1
……
7.7
8.4
红葡萄样品2
2.9
3.1
……
9.6
9.1
……
……
……
……
……
……
红葡萄样品26
3.6
3.7
……
8.9
8.8
红葡萄样品27
3.7
3.7
……
9
8.8
其次求出白葡萄酒的均值，如表2
表2白葡萄酒配对样品数据表（均值表）
澄清度（第1组均值）
澄清度（第2组均值）
……
平衡/整体评价（第1组均值）
平衡/整体评价（第2组均值）
白葡萄样品1
4.3
3.5
……
9.7
9.4
白葡萄样品2
3.3
3.5
……
9.1
9.2
……
……
……
……
……
……
白葡萄样品27
2.3
3.5
……
8.3
9.3
白葡萄样品28
4.3
3.6
……
9.4
9.5
根据均值我们能初步的判断两组评酒员的评价结果存在显著性差异，虽然第二组评酒员打出的各个项目指标分值比第一组的平均分要高很多，但作为判断可信度还是不足以支撑，为此我们将进一步深入研究。
3.3计算、检验方差
由于对同一种酒样品的评价数据只有两种，我们不妨从两组数据中出发，通过评价结果的稳定性来判定结果的可靠性，而每组结果的可靠性又最终决定于每个评酒员的稳定性，因此将问题转化为对评酒员稳定性的评价。
由3.2可知第二组评酒员打出的各个项目指标分值比第一组的平均分要高很多，但作为稳定性的判断还是不足以支撑，为此我们将进一步深入研究其方差，在样本容量相同或极为接近的时候，比较方差才可以判断其稳定性。
我们仍然选择两组红葡萄酒的评分求解方差。
评酒员评价数
据中包含10个评价指标，分别为外观澄清度、外观色调平衡………整体评价等。
我们给它们分别标号为从1-10。
其中符号的含义为：
i号评酒员对j个单指标评分的方差
i=1，2……10，j=1，2……10
表示第1组中i号评酒员对n号样品酒j号单指标的评分，其中
i=1，2……10，j=1，2……10,n=1,2……27
表示第2组中i号评酒员对n号样品酒j号单指标的评分，其中
i=1，2……10，j=1，2……10,n=1,2……27
在第1组中，10位评酒员对n号酒样品的j项指标评分的平均分为：
（1）
第i号评酒员对酒样品的j项指标评分与平均值的方差为：
（2）
同理可得第二组的方差
（3）
根据
（1）
（2）（3）分别可得表3表4
由matlab可得图1图2（具体程序见附录1.1,1.2）
表3红葡萄酒配对样品数据表（方差表）
澄清度（第1组方差）
澄清度（第2组方差）
……
平衡/整体评价（第1组方差）
平衡/整体评价（第2组方差）
红葡萄样品1
0.9
0.83066239
……
0.45825757
0.8
红葡萄样品2
0.7
0.53851648
……
0.48989795
0.53851648
……
……
……
……
……
……
红葡萄样品26
0.48989795
0.45825757
……
0.53851648
0.6
红葡萄样品27
0.78102497
0.64031242
……
0.89442719
0.6
图1红葡萄酒的评价曲线
表4白葡萄酒配对样品数据表（方差表）
澄清度（第1组方差）
澄清度（第2组方差）
……
平衡/整体评价（第1组方差）
平衡/整体评价（第2组方差）
白葡萄样品1
0.74833148
0.67082039
……
0.9
0.489897949
白葡萄样品2
1.1
0.5
……
1.04403065
0.6
……
……
……
……
……
……
白葡萄样品27
0.64031242
0.80622577
……
1.00498756
0.640312424
白葡萄样品28
0.45825757
0.48989795
……
0.91651514
0.670820393
图2白葡萄酒的评价曲线
3.4对问题一的结果分析
在本问中，我们由方差的结果及曲线的分析可知，不论是红葡萄酒还是白葡萄酒都是第二组的评酒员的评价结果更加稳定，因为我们通过将评价结果的稳定性来判定结果的可靠性，所以得出的结论是第二租的评价结果更可靠。
4问题二模型的建立与求解
4.1问题二的分析
题目要求我们根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行分级。
在葡萄品质的评价过程中存在很多的理化指标，如果全部进行判断，既耽误时间精力数据又不准确。
通过主成分分析、相关分析和聚类分析对105个葡萄品种的l0个理化指标进行分析，可以初步将反映葡萄品质的10个理化指标简化为5个指标，通过分析这5个指标分别可以反映葡萄的甜度、酸度、酸甜度、果实硬度和涩味，所以可以采用这5个指标为可溶性固形物、固酸比、总酸、果胶和纤维素来判别。
同样的我们从中选取氨基酸总量、蛋白质、VC含量、花色苷作为主导因素，把原来较多的评价指标用较少的几个指标来代替。
同时我们也利用权重法为氨基酸总量、蛋白质、VC含量、花色苷等主导因素求出权重系数与附件1中的评分进行对比，根据权重法的葡萄酒的评分确立一个等级划分表，以这个等级划分表为依据划分酿酒葡萄的等级。
在此问中我们将以白葡萄酒为例子具体阐述问题二的解题步骤。
4.2问题二的分析步骤
Step1
将主导因素氨基酸总量、蛋白质、VC含量、花色苷及其总和计算出来
氨基酸总量mg/100gfw
蛋白质mg/100g
VC含量（mg/L）
花色苷mg/100g鲜重
白葡萄样品1
1279.30
581.9134519
0.1845
0.811531553
白葡萄样品2
1870.93
482.8554644
0.04995
3.684751583
白葡萄样品3
5022.14
538.4507507
0.05745
0.404145424
白葡萄样品4
2085.76
557.4414496
0.03155
0.406982154
白葡萄样品5
2658.04
496.2013877
0.576
2.031791108
白葡萄样品6
1847.12
524.8572767
0.165
0.403578915
白葡萄样品7
1721.58
464.81913
0.265
4.102920088
白葡萄样品8
1273.22
402.1561063
0.5515
1.650535942
白葡萄样品9
1927.42
493.7389147
0.0313
2.864162337
白葡萄样品10
2095.61
457.6487379
0.1245
0.408935589
白葡萄样品11
1566.97
585.359113
0.684
0.818913996
白葡萄样品12
1724.16
416.8756975
0.904
2.088770515
白葡萄样品13
664.96
450.4581269
0.1165
2.056614212
白葡萄样品14
1542.17
546.4459369
0.0422
1.629477435
白葡萄样品15
2669.22
467.2032322
0.1095
0.387764666
白葡萄样品16
991.92
496.8354507
0.191
1.656799758
白葡萄样品17
1167.29
516.8620219
0.11
0.670056688
白葡萄样品18
1289.93
629.8007277
0.152
0.371995651
白葡萄样品19
817.81
642.372826
0.2195
0.420203441
白葡萄样品20
2045.24
459.3971608
0.55
2.508595607
白葡萄样品21
1554.02
479.9338867
0.08515
0.829304964
白葡萄样品22
1457.67
505.3390397
0.066
1.243803021
白葡萄样品23
1522.52
455.6750904
0.0342
2.072079012
白葡萄样品24
3068.34
467.2388286
0.171
2.790122767
白葡萄样品25
2350.79
560.3425086
0.214
2.477211802
白葡萄样品26
2073.33
515.7555767
0.08755
0.844081419
白葡萄样品27
2475.21
499.0800962
0.2545
0.834401877
白葡萄样品28
3785.57
496.456683
0.787
0.819054579
总和
54548.22222
14191.51467
6.81485
41.2885861
Step2计算主导因素氨基酸总量、蛋白质、VC含量、花色苷的权重比例及其权重之和
氨基酸权重
蛋白质权重
vc权重
花色苷权重
权重总和
白葡萄样品1
0.023452577
0.041004323
0.02707323
0.019655106
0.111185237
白葡萄样品2
0.034298672
0.034024237
0.007329582
0.089243831
0.164896322
白葡萄样品3
0.092067867
0.037941739
0.00843012
0.009788309
0.148228034
白葡萄样品4
0.038237063
0.039279912
0.004629596
0.009857014
0.092003584
白葡萄样品5
0.04872817
0.034964653
0.084521303
0.04920951
0.217423636
白葡萄样品6
0.033862138
0.03698388
0.024211832
0.009774588
0.104832437
白葡萄样品7
0.031560755
0.032753314
0.038885669
0.099371775
0.202571513
白葡萄样品8
0.02334119
0.028337786
0.080926213
0.039975599
0.172580787
白葡萄样品9
0.035334319
0.034791136
0.004592911
0.069369349
0.144087714
白葡萄样品10
0.03841752
0.032248054
0.018268927
0.009904325
0.098838827
白葡萄样品11
0.028726333
0.04124712
0.100369047
0.019833907
0.190176408
白葡萄样品12
0.031607947
0.029374997
0.132651489
0.050589538
0.244223971
白葡萄样品13
0.012190228
0.031741371
0.01709502
0.04981072
0.11083734
白葡萄样品14
0.028271618
0.038505117
0.006192359
0.039465566
0.112434661
白葡萄样品15
0.048933222
0.032921308
0.016067852
0.00939157
0.107313953
白葡萄样品16
0.018184234
0.035009332
0.028027029
0.040127307
0.121347902
白葡萄样品17
0.021399227
0.036420497
0.016141221
0.016228618
0.090189563
白葡萄样品18
0.023647456
0.044378683
0.022304233
0.009009649
0.09934002
白葡萄样品19
0.014992367
0.045264571
0.032209073
0.01017723
0.102643241
白葡萄样品20
0.037494192
0.032371256
0.080706105
0.060757605
0.211329158
白葡萄样品21
0.028488954
0.033818369
0.012494772
0.020085574
0.09488767
白葡萄样品22
0.026722535
0.035608534
0.009684733
0.030124621
0.102140424
白葡萄样品23
0.027911397
0.032108982
0.005018452
0.050185274
0.115224106
白葡萄样品24
0.056249975
0.032923817
0.025092262
0.067576128
0.181842181
白葡萄样品25
0.043095637
0.039484334
0.031402012
0.059997497
0.173979479
白葡萄样品26
0.038009179
0.036342532
0.012846945
0.020443457
0.107642112
白葡萄样品27
0.045376627
0.0351675
0.037344916
0.02020902
0.138098063
白葡萄样品28
0.069398601
0.034982642
0.115483099
0.019837312
0.239701655
Step3
确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批又资质的评酒员进行品评。
每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。
我们发现在附件1中存在着许多的项目指标，同理利用主成分分析法将众多的项目指标转化为综合率最高的，贡献率最多的项目指标，既保留了原来的绝大部分信息，又把复杂的问题简单化。
根据SRSS技术得出平衡/整体评价的评分比较合理，我们以所有评酒员的总评分和各项理化指标的权重之和为依据确立划分等级的标准。
评酒人员总评分
白葡萄样品1
77.9
白葡萄样品2
75.8
白葡萄样品3
75.6
白葡萄样品4
76.9
白葡萄样品5
81.5
白葡萄样品6
75.5
白葡萄样品7
74.2
白葡萄样品8
72.3
白葡萄样品9
80.4
白葡萄样品10
79.8
白葡萄样品11
71.4
白葡萄样品12
72.4
白葡萄样品13
73.9
白葡萄样品14
77.1
白葡萄样品15
78.4
白葡萄样品16
67.3
白葡萄样品17
80.3
白葡萄样品18
76.7
白葡萄样品19
76.4
白葡萄样品20
76.6
白葡萄样品21
79.2
白葡萄样品22
79.4
白葡萄样品23
77.4
白葡萄样品24
76.1
白葡萄样品25
79.5
白葡萄样品26
74.3
白葡萄样品27
77
白葡萄样品28
79.6
权重之和*评酒人员总评分=等级划分值
权重总和
评酒人员总评分
等级划分值
白葡萄样品28
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