理论力学静力学典型习题+答案.docx

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理论力学静力学典型习题+答案

1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图

1-4试画出两结构中构件ABCD勺受力图

1-5试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图

1-5a

1-5b

1-8在四连杆机构的ABCD勺铰链B和C上分别作用有力Fi和F2,机构在图示位置平衡。

试求二力F1和F2之间的关系。

解：

杆ABBCCD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。

解法1（解析法）

假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示:

由共点力系平衡方程，对B点有：

Fx0F2Fbccos45°0

对C点有：

Fx0FbcF1cos3000

解以上二个方程可得：

F126F1.63F2

解法2（几何法）

分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和

C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。

对B点由几何关系可知：

F2Fbccos450

对C点由几何关系可知：

FbcF1COS300

解以上两式可得：

F11.63F2

2-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M试求A和C点处的约束力。

解：

BC为二力杆（受力如图所示），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。

曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。

AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：

M0Fa10asin（450）M0FA0.354M

其中：

tan-。

对BC杆有：

FCFbFa0.354M

3a

A，C两点约束力的方向如图所示。

2-4

解：

机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。

由力偶系作用下刚体的平衡条件，点0,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。

对

13

1

3

-6a

F1

Fi

Fj

F2

Fi

F3-

Fi-

—Fj

22

2

2

Fr

Fi

3FjMA

■-3

FakFr

Ma

V3da

Fr

2Fi

2

4

d

3

a

Fx0Psin

FBx

0Fy

0FBy

PPcos

0

Fx0

4

FAx

FBx

0Fy0

FAy

FBy0

M

A0M

AFBy

l0

求解以上三式可得:

M13Nm，FabFo

Fc5N，方向如图所示

Psin

A

FBx

FAx

MyOpetanFBCcoscFBCsinetan0Fbc60.6N

2

Mx'

0P

1

aFbcFbcsin

2

a

0Fb

100N

Fy

0fz

0

FAy，Fa；

zM

x0Mde0f2

cos450

0f2

0

MAO

0

F6cos45°a

Fcos450cos450a

0

F6

2

f

MBH

0

2

F4cos450a

F6cos450a0

F4

2f

MAD

0

2

F1a

F6cos450aFsin450a0

£

12

f

MCD

0

2

F1a

F3a

Fsin45°a0

F3

1f

MBC

0

2

Fx

0

F3a

F5a

F4cos450a0F5

0

M

1500N

cm

Fy

0

Mo

0

FA,FNA,FB,FNB,

tan

3（fsi

fs2）F

NB

0tan6002a

Mc

0

fs2fsi

23

FBy2a0FBy

0

Mh0

FDyaF

a0FDyF

Mb

0

Fi

F2

Fdxa

F

2a0Fdx

2F

Fy0

FAy

FDy

FBy0

FAy

F

Ma

0

FDxaFBx2a

0

FBx

F

Mb

0

Fax2a

FDx

a

0

FAx

F

Mc0FDb

F

x

0Fd

-F

Ma

0Fbb

F

x

0

b

0

M

FD）b

FAC

Ay

d2m

F（bF2x）

FbFiFa

Aab

FaF3Fx

Ay

Fi

F3cos4500F1M

2qa

Fy

0

F2

a

F2

ZMr

（2qa）Fx0Fax

F3cos45（

00Fax

（M

a

a

FAy

F2F3sin450P4qa

0

FAy

P

4qa

Ma

F2aP2a4qa2a

F3sin450

'3a

M

0

Ma

2

4qa2PaMMA

0FBy2a

f

2a

0FBy

f

Ay2aF2a0Fa『

FFx

0FaxF

BxF

F3

2qa）

F

0

Fe

f

2

MC0FBxaFBya

v2（MFax2qxa）

a

Fesin450a0FBx

Me

Mb

FBy

f

Fnd

F3sin450

Fy

Ma

Mb

0Fbx

Ma

N13rP3rcos600

2

0Ni6.93（N）

Fx

FAx

N1sin60°

Fax6（N）

Fy0

FAy

N1cos600

P0FAy

12.5'（N）F

N1cos300

Tcos300

6.93（N）

Ma

Fn2Lsin

2P-cos

2

Mb

FnLsin

PLcosFsLcos

2

FsPFs

Fntan

100Frc

FrdFrc,FrdFrc,Frd

22

Ma0Fnda

I0Fnd

Ma0FncaFl0Fnc-FFnd

a

Mo0FscRFsdR0

FNC

Fx0

sin

F—ff

SDNCND

1cos1cos

sin

1cos

tan—,fSDtanFrc,F

22

2

1cos

Frc

SDFnd

Fsd0

tan—

2

If

a

Fl

acos—

2

P

Frc

sin[180°

（18002

sin]

f

tan

Flsin

ISD

（Pa

Fl）（1

cos）

Fy

0

Fnd

PFscsin

Fnd

P

Fl（（cosa

sin

tan—）

2

fSD

tan

Flsin

（Pa

Fl）（1

cos）

Fbf

ACF

BFac

tan

1F

3

（Fnd

P）

RM

D0

Fb\

Me

（P

Fne）1

Rtan

0Fnd

Md

Me

!

fr

Md

Fnd

B

P

Lf

a

Ma

Me

Fy

Fx

4fsP4fsP}fs,13fs}

Fsc%

Fx0

Fnccos

tan

Flsin

（PaFl）（1cos）

Fncsin

Fsccos

FSD0

Fnd

FSD

Me

1FFne

FNE

FsDtan2

Fnd

Fmin{—P,」P,

RR31

FSD

FNE

Fse

f

0

2P

RMd

FseR

FSD

3FFsd

fsFND

Mf

Mg

Fse；F

FSEfsFNE

Fmax0.36

0.091（N）

0.91（Ncm）

Me

Ficos6

Fisin

FhS4Fg

C

3FhC0

3\

F3

31.3

Fi

Fy

F218.3

FCD0

14.58（kN）

Fx

F2

Ficos

FbcEOs450

FAy

Fbc

n45

FCD5FCGcos

0Fcgsin

tan

Fbc

Ma

B

环B2sF2aFFb

FaF23a0f27F

6

3a

Fb2.5F

Fx

Fy

0.586F

MC0

5F定由

6

OC,DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。

作用在系统上的

Fx

02FF1F20F1

杆OA

主动力为F,Fm。

2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角B完全确定，有一个自由度。

选参数B为广义坐标。

3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆

OA有一个微小的转角SB，相应

的各点的虚位移如下：

JOA

rB

OB

，re

rD6D

rB

re，

rDrE

代入可得：

rA30

rE

4.由虚位移原理W（Fi）

0有：

FrAFM

rE

（30F

Fm）

rE0

对任意rE0有：

Fm30F，物体所受的挤压力的方向竖直向下

4-4

解：

4a

1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。

设杆重为P,作用在杆上的主动力

为重力。

2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角B完全确定，有一个自由度。

选参数

B为广义坐标。

由几何关系可知:

杆的质心坐标可表示为：

tan

Zc

a

1

cos

2

tan

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度

SB,则质心C的虚位移：

a

~2

sin

4.由虚位移原理W（Fi）0有:

Zasin

1

cos

2

解：

4b

1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。

设杆重为P,作用在杆上的主动力

为重力。

2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角B完全确定，有一个自由度。

选参数

B为广义坐标。

由几何关系可知：

杆的质心坐标可表示为：

R

Zc

sin

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆

SB，则质心C的虚位移：

4.由虚位移原理W（FJ0有:

PZc

P

（iR2sin

-cos

”0

对任意

0有：

R

l.

.2

—cos

sin

0

sin

2

即平衡时

角满足：

2Rcos

3

lsin

00

4-5

解：

1.选整个系统为研究对象，

此系统包含弹簧。

设弹簧力

F1,F2，且F1F2，

将弹簧力视为主动力。

此时作用在系统上的主动力有F1,F2，以及重力P。

2•该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。

由几何关系可知：

zAzBasin

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移SB,则质心的虚位移为：

ZcZaZbaCOS

弹簧的长度|2asin—，在微小虚位移sb下：

2

lacos—

2

4.由虚位移原理W（Fi）0有:

PzCF2l（PacosF2acos3）0

其中F2k（2asin—a），代入上式整理可得：

22

a

[2Pcoska（2sincos）]0

22

由于a0,对任意0可得平衡时弹簧刚度系数为：

2Pcos

a（2sincos）2

4-6

解：

解除A端的约束，代之以Fax,FAy,MA，并将其视为主动力,

受到主动力F1,F2,F3,M的作用。

系统有三个自由度，选定

xa,yA和梁AC的转角为广义坐标。

1•在不破坏约束的前提下给定一组虚位移Xa0,yA0,

图所示。

由虚位移原理W（FJ0有：

FaxXa0

对任意xa0可得：

FAx0

2•在不破坏约束的前提下给定一组虚位移xa0,yA0,

下图所示。

由虚位移原理W（Fi）0有：

FAyyAF!

yF2y2F3y3M0

此外系统还

A点的位移

0，如

0，如

（1）

由几何关系可得各点的虚位移如下:

1

y23yc

3

1

1

—

yc

yA

3

3

代入

（1）式：

（FAy

F1

+F3

*）

3

3

yiycy3yA

yA

对任意xa0可得：

FAy4（kN）,方向如图所示

3.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移上图所示。

由虚位移原理W（FJ

MAF1yiF2y2

有几何关系可得各点的虚位移如下：

yi2y3

y2

代入⑵式：

（Ma2FiF23F3

对任意0可得：

Ma7（kN

Xa

0,鸟A

0,

0，如

0有：

F3y3

M

0

（2）

yc3

M）

0

m），

逆时针方向。

4-7

解：

将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷f3，大小为6q

1.求支座B处的约束力

解除B点处的约束，代之以力FB，并将其视为主动力，系统还受到主动力

F1,F2,F3,M的作用，如图所示。

在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB

只能绕C点转动。

系统有一个自由度，选转角

为广义坐标。

给定虚位移

由虚位移原理W（Fi）

0有:

FBrBcos450

m

F2y2

cos1500F3y30

（1）

各点的虚位移如下：

rB62

y2

9

y33

代入

（1）式整理可得：

93

（6FBM

2

F2

3F3）

0

对任意

0可得：

FB18.6（kN），方向如图所示

2.求固定端A处的约束力

解除A端的约束，代之以Fax,FAy,MA，并将其视为主动力，系统还受到

主动力F1,F2,F3,M的作用。

系统有三个自由度，选定A点的位移xA,yA和梁AC的转角为广义坐标。

2a.求Fax

⑵

各点的虚位移如下:

代入

（2）式整理可得:

2b求FAy

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移xA0,yA0,0，

此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。

由虚位移原理

W（Fi）0有：

FAy-A

F3

y3

F2

y2cos300M

0⑶

各点的虚位移如下：

1

1

1

1

y

y

3

yc

yk

—

yyA

2

2

3

6

代入（3）式整理可得:

1

3

1

（Fa-

F3

F2

M）yA

0

2

4

6

对任意yA0可得：

FAy3.8（kN），方向如图所示

2c.求M

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移XA0,yA0,0，此

W（Fi）

时梁AC绕A点转动，梁CDB^移，如上图所示。

由虚位移原理

有:

4-8

1•求杆1受力

去掉杆1,代之以力P1，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为

广义坐标，如上图所示。

在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有rDAD,rKAK，且：

「Da,「K3a

滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。

三角形BEK绕B点旋转rEBE，且：

j5a

对刚性杆CD和杆CE由于rDCD,rECE，因此rc0。

由虚位

移原理W（Fi）0有：

（F1P1）rDcos600P1rEcos6000

代入各点的虚位移整理可得:

（Fi2PJa

2•求杆2受力

去掉杆2,代之以力p2，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为

广义坐标，如上图所示。

在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点

转动，因此有rKAK，且:

rK3a

同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转丨BE，且:

向如图所示，且:

代入各点的虚位移整理可得：

（Fi23P2）

3•求杆3受力

去掉杆3,代之以力P3，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。

在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK

绕A点转动，rDAD,rKAK，且：

4a,g3a

同理可知B点不动，rEBE，且：

GGarc0

由虚位移原理W（FJ0有：

cos12000

F1rDcos600P3rEcos1500P3rK

代入各点的虚位移整理可得：

（Fi23P3）a0

对任意0可得：

p33Fi（受拉）

36

4-12铅垂力F为常力

解：

F大小和方向不变，常力也是有势力。

取杆和弹簧构成的系统为研究对象。

该系统为保守系统，有一个自由度，选为广义坐标，如

图所示。

取0为零势能位置，则系统在

任意位置的势能为：

VV弹Vf

不稳定平衡位置

4-15

解：

取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。

半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。

作用在半圆柱上的主动力为

重力，系统为保守系统，如图所示，其中h

红。

由于半圆柱作纯滚动，有:

（1）

取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为:

VmgzCmg[（Rr）cos

代入

（1）式有：

4rcos（

）]

Vmg[（Rr）cos

4rzRr

cos（-

3r

）]

dVd

mg（R

sin（旦

sin]

由平衡条件dVo可得

d

0为平衡位置。

势能V的二阶导数:

d2V

mg（R

r）[彎』cos（丄

3rr

cos]

由上式可得当R（3!

）r，0是稳定的

4