师大版初一数学第九章对称轴教案.docx
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师大版初一数学第九章对称轴教案
第九章 轴对称
9、1生活中的轴对称
第一课时 生活中的轴对称
教学目的
1．通过展示轴对称图形的图片，使学生初步认识轴对称图形；
2．通过试验，归纳出轴对称图形概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形；
3．培养学生的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力。
重点、难点
轴对称图形的概念是教学重点，判断图形是否是轴对称图形既是教学重点又是教学难点。
教具准备
一些关于轴对称的图片、半透明纸张。
教学过程
一、引入
1．展示图片，认识一些轴对称图形。
自远古以来，对称形式被认为是和谐美丽、并且真实的，不论是在自然界中还是建筑里，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式随处可见，青山倒映在水中，这是令人难忘的对称景象。
同学们可以想象，当你放学回家，落日、晚霞、还有远处的青山倒映在平静的水中，这样如诗如画的景致怎能不令人难忘，
2．课上展开讨论，列举出一些现实生活中有关轴对称的物体和建筑物。
二、新课
1．试验
把一张半透明纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，展开后会是一个什么样的图形?
由教师先示范剪出一个图形，而后由同学们自由发挥想象，剪出图案。
2．由展示的图片和同学们剪出的图案归纳轴对称图形的概念。
从同学们剪出的图案和展示的图片来看，这些图形如果沿着某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形称为轴对称图形这条直线叫做这个图形的对称轴。
三、练习
1．要求同学们找出所剪的图案的对称轴，并且用直尺把它画出来。
2．结合展示图片，让同学们找对称轴，并使同学们知道有的轴对称图形不止一条对称轴。
例如：
圆、五角星、正方形等。
3．给每位同学发一张半透明的画有如右图所示的星形图，然后用不同的方式对折，用直尺画出折痕，看看这颗星有几条对称轴。
四、课堂小结
本节课认识了什么样的图形是轴对称图形，这些图形都有共同的特点，就是沿着某条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这条直线称为这个图形的对称轴。
值得同学们注意的是，有的轴对称图形的对称轴不止一条，例如，练习第3题中的星形图就有六条对称轴。
五、作业
1．第68页练习第2题。
2．第69页习题9.1练习第1、2题
第二课时生活中的轴对称
教学目的
使学生进一步认识轴对称图形，通过动手实验，掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的对应线段相等、对应角相等；理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系。
重点、难点
重点：
轴对称图形的对应线段相等、对应角相等。
难点：
两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系。
一、复习、评讲
1．复习轴对称图形的定义。
2．评讲上节课的作业，使学生进一步掌握判断一个图形是否是轴对称图形。
二、新课
1．什么是两个图形成轴对称?
试验：
发给每位同学右边两个图形的纸张，把纸张沿着虚线折叠，观察对折后的左边部分和右边部分是否完全重合?
像这样，把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点。
练习：
在上图的
（2）中，把A、B、C的对称点标出来。
试验：
在纸上滴上墨水，把纸张对折，随后打开，看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称?
它的对称轴是哪一条?
把它画出来。
2．轴对称图形（或关于某条直线成对称的两个图形）沿对称轴对折后的两部分完全重合，所以它的对应线段（对折后重合的线段）相等，对
应角（对折后重合的角）相等。
3．轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系．
如图
（1），如果沿着虚线对折，直线两旁的部分会完全重合，那么这个图形就是轴对称图形；若把这个图形看成是左右两部分，则这两个图形就是关于虚线这条直线成轴对称。
如图
（2），如果沿着虚线折叠，右边的图形会与左边的图形完全重合，那么就说这两个图形关于虚线这条直线成轴对称，若把
（2）中的左右两个四边形看成是一个整体的图形，那么这个整体的图形是轴对称图形。
因此，轴对称图形和两个图形成轴对称的本质是相同的，只是怎么看图形的问题。
三、巩固练习
1．下面哪些选项的右边图形与左边图形成轴对称?
2．如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?
哪些线段相等?
四、课堂小结成轴对称的两个图形是完全重合的，因此，它们的对应线段相等，对应角相等；知道轴对称和轴对称图形的区别与联系。
五、作业
课本P69习题第3、4题。
9．2轴对称的认识
1．简单的轴对称图形
第一课时线段的垂直平分线
教学目的
通过动手试验，使学生知道线段是轴对称图形，掌握线段的垂直子分线的定义和性质，并学会应用线段垂直平分线性质解决相关问题。
重点、难点
重点：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
难点：
运用线段垂直平分线性质解决问题。
教学过程
一、复习引入
1．轴对称图形的定义是什么?
2．线段是轴对称图形吗?
它的两个端点是否关于某条直线成轴对称?
二、新课
1．认识线段是轴对称图形，引出线段垂直平分线的定义。
试验：
按以下方法，看看线段是否是轴对称图形?
在半透明纸上画出线段AB和它和中点O，再过O点画出与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折，观察线段OA和线段OB是否重合?
显然，线段OA和OB互相重合，因此，线段是轴对称图形。
那么，线段的对称轴是哪一条呢?
线段垂直平分线的定义：
垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。
如上图的直线CD就是线段AB的垂直平分线。
2．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
在以上试验的基础上，同学们在直线CD上任意取一点M，连结MA、MB，而后沿着直线CD折叠，观察MA和MB是否重合?
再取一点试试，观察PA和PB是否重合?
待同学们实验完毕，引导同学们归纳线段垂直平分线的性质。
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
3．线段垂直平分线性质的应用举例。
例1．如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。
分析：
要求△BCE的周长，需知道BE、CE、BC的长度，从题目给出的条件来看，BE、BC的长度已经知道，而正点是线段BC的垂直平分线上的点，所以CE=BE，从而问题得到解决。
例2．如右图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗?
为什么?
三、课堂练习
课本P73练习第1、2题
四、课堂小结
线段垂直平分线的性质及其运用是本节课的重点，应用其性质我们可以证明两条线段相等。
五、作业
1．如图1，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：
△BCD的周长。
图1 图2
2．如图2，△BAC＝120°，∠C＝30°，DE是线段AC的垂直平分线，求：
∠BAD的度数。
第二课时角平分线
教学目的
使学生知道角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，掌握角平分线的性质，并能运用它解决相关问题。
重点、难点
重点：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
难点：
运用角平分线性质解决问题。
教学过程
一、复习引入
1．点到直线的距离的定义是什么?
2．角是轴对称图形吗?
对称轴是哪一条直线?
二、新课
1．认识角是轴对称图形，知道角平分线所在的直线是它的对称轴。
试验：
按以下方法试验，使同学认识角是轴对称图形。
在半透明的纸上画∠AOB，对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OM。
从上面试验可以看出，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线。
2．角平分线上的点到角两边的距离相等。
在以上试验的基础上，同学们在射线OM上任取一点P，过P点分别作OA和OB的垂线PC和PD，而后沿着OM折叠，观察PC和PD是否重合?
再取一点，按上述同样的方法试验，待同学们试验完毕，引导同学归纳角平分线的性质。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
3．角平分线性质应用举例
例1．如下图
（1）所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，交AC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝3DE。
AD和3DC是什么关系?
为什么?
图
（1） 图
（2）
例2．如上图
（2），BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，P＝3cm，求P点到直线AB的距离。
三、课堂练习
（课本P73第3、4题）
四、课堂小结
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
运用角平分线性质可以说明两条线段相等。
五、作业
1．如图3，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，那么
（1）DE和DC相等吗?
为什么?
（2）AE和AC相等吗?
为什么?
图3 图4
2．如图4，在△ABC中，用直尺、量角器画∠A、∠B、∠C的平分线，看看三条角平分线有什么关系?
2．画图形的对称轴
教学目的
使学生掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”验证一个图形是不是轴对称图形，并请熟练画出轴对称图形的对称轴。
重点、难点
重点：
画轴对称图形的对称轴。
难点：
归纳总结画轴对称图形对称轴的方法。
教学过程
一、复习
1.轴对称图形以及它的对称点是怎么定义的?
2．看以下两个图形是否是轴对称图形?
你能否画出它的对称轴?
二、新课
1．试着画出下边两个图形的对称轴。
用折叠的方法检验所画的对称轴是否准确，如果准确的话，请你总结方法，并说出如何判断对称轴的位置。
2．对称轴的画法
首先找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点，其次画对称点所连线段的垂直平分线，就得到该图形的对称轴。
3．画轴对称图形的对称轴举例
例1：
画出以下图形的对称轴
例2：
下面的虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是?
4．如果图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段被对称轴垂直平分。
三、课堂练习
课本P75练习第1、2题。
四、课堂小结
要能熟练地画出轴对称图形的对称轴，知道如果图形关于某条直线对称，那么连结对称点的线段被对称轴垂直平分。
五、作业
课文P80习题的第1、2题。
3．画轴对称图形
教学目的
1．使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形。
2．通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感，培养审美情操。
重点、难点重点：
重点：
让学生识别轴对称图与画轴对称图形的对称轴。
难点：
区别轴对称与轴对称图形两个不同的概念。
教学过程
一、复习巩固
1．什么是轴对称图形?
2．请你标出图中，A、B、C三点的对称点。
A
B
C
二、新课
如果有一个图形、一条直线，那么如何画出这个图形关于这条直线的对称图形呢?
1．请同学们尝试解决以下问题；
如图
（1），实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。
（1）你可以通过什么方法来验证你画的是否正确?
（2）和其他同学比较一下，你的方法是最简单的吗?
在格点图中，大家会很容易地画出已知图形的轴对称图形，如果没有格点图，我们还能比较准确地画出已知图形的轴对称图形吗?
2．如图，已知点A和l直线，试画出点A关于直线l的对称点A′。
请一位同学说说他的画法（其他同学可以补充）：
l
A·
画好之后，你可以通过什么方法来验证一下A和A′是否关于直线l对称?
例1．已知△ABC，直线l，画出△ABC关于直线l的对称图形。
（1）本题与上面的那些图比较有什么相同点和不同点?
（2）你能否从上面的那些图的画法中得到启示，帮助你解决本题?
A
B C
本题小结：
如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么画出它关于某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的中点，角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形。
三、巩固练习
P78练习第1、2题。
四、小结
1.画轴对称图形，已知图形只是整个图形的一半。
2.因为整个图形是轴对称图形，所以要作的那一半与已知图形是
成轴对称的．
3.画轴对称图形的基础是画已知图形各点的轴对称点。
4.用尺规法画已知图中各点关于直线／的对称点，将对称点连结
得到对称线段，对称线段组成的的图形就是对称图形。
五、作业
P80习题9.2第3题。
4．设计轴对称图案
教学目的
1．使学生能设计简单的轴对称图案。
2．使学生能够欣赏现实生活中的轴对称图形。
重点、难点
重点：
利用对称轴进行图案设计。
难点；寻找对称轴以及如何利用对称轴作轴对称图形。
一、复习巩固
1．如图
（1），请画出△ABC的关于直线l对称的图形。
A l A
B C B C
图
（1） 图
（2）
2．如图
（2），等边△ABC是轴对称图形吗?
如果是，它有几条对称轴?
画画试试看。
二、新课
在日常生活中，我们可以看到丰富多彩的装饰图案，仔细观察这些装饰图案，你会发现其中有许多轴对称图形。
请同学们欣赏P78四个装饰图案。
如图（3）是一个轴对称图形。
问：
1．有多少条对称轴呢?
2．可以利用轴对称性来画出它吗?
请准备一张正方形纸片，按以下5个步骤一起来画。
（1）在正方形纸片上画出四条对称轴。
（2）在其中一个三角形中，如图，画出图形形状的基本线条。
（注意：
不同的线条最终会得到不同的图案，你可以自己设计线条，而不必和书上一样。
）
（3）按照其中一条斜的对称轴画出
（2）中图形的对称图形。
（4）按照另一条斜的对称轴画出（3）中图形的对称图形。
（5）按照水平（或垂直）对称画出（4）中图形的对称图形，即得到图（3）中的图。
在图案上涂上你喜欢的颜色，擦掉其他的线条，轴对称的图案就完成了。
三、练习巩固
P80练习1、2
四、小结
画轴对称图案，首先要画出对称轴，其次要画出图形形状的部分线条，然后根据对称性画出对称图形。
9．3等腰三角形
1．等腰三角形
第一课时等腰三角形
（1）
教学目的
1．使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质。
2．通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。
重点、难点
重点：
等腰三角形等边对等角性质。
难点：
通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。
教学过程
一、复习引入
1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形?
△ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形。
2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象?
二、新课
1．指出△ABC的腰、顶角、底角。
相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC，叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。
2．实验。
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三
角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图
（2）所示，你能发现什么现象吗?
请你尽可能多的写出结论。
可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：
（1）等腰三角形是轴对称图形
（2）∠B＝∠C
（3）BD＝CD，AD为底边上的中线。
（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
（5）∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线。
结论
（2）用文字如何表述?
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归结为什么?
等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）。
例l已知：
在△ABC中，AB＝AC,∠B＝80°，求∠C和∠A的度数。
本题较易，可由学生口述，教师板书解题过程。
引申：
已知：
在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，求∠B和∠C的度数。
小结：
在等腰三角形中，已知一个角，就可以求另外两个角。
三、练习巩固
P84练习1、2、3
补充：
填空：
在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，
1．如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______
2．如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝______
3．如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______
四、小结
本节课，我们学习了等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等（简写“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“三线合一”），它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用。
用数学语言表述如下：
1．△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C。
2．△ABC中，如果A月＝AC，D在BC上，那么由条件
（1）∠BAD＝∠CAD，
（2）AD⊥AC，（3）BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个。
五、作业
P86习题第1、2、3题。
第二课时等腰三角形
（2）
教学目的
1．使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。
2．通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法。
重点、难点
重点，等腰三角形的性质及其应用。
难点：
简洁的逻辑推理。
教学过程
一、复习巩固
1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?
等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。
把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。
由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”。
2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?
二、新课
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。
我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形具有什么性质呢?
1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。
3．上面的条件和结论如何叙述?
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等边三角形是轴对称图形吗?
如果是，有几条对称轴?
等边三角形也称为正三角形。
例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数。
分析：
由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求。
问题1：
本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?
问题2：
求∠1是否还有其它方法?
三、练习巩固
1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合（）
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°（）
2．如图
（2），在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。
四、小结
由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。
“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。
五、作业
1．P86练习第4题。
补充：
如图（3），△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，∠EOD的度数。
2．等腰三角形的识别
教学目的
1．通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力。
2．能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形。
重点、难点
重点：
让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用。
难点：
一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述。
教学过程
一、复习引入
等腰三角形具有哪些性质?
等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。
二、新课
对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢?
我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等。
这一节，我们再学习另一种识别方法。
我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗?
为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：
1．在半透明纸上画一个线段BC。
2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A。
3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折。
问题1：
AB与AC是否重合?
问题2：
本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述?
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”。
也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形。
一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。
例1．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么?
问题3：
三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?
你能说明理由吗?
等腰直角三角形：
顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如图所示。
问题4：
你能说出等腰直角三角形各角的大小吗?
问题5：
请你画一个等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底边上的高，数一数图中共有几个等腰直角三角形?
三、练习巩固
P86练习l、2、3。
四、小结
这节课，，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”），此条件可以做为判断一个三角形是等腰三角形的依据。
因此，要牢记并能熟练应用它。
五、作业
1．P86习题第5题。
小结与复习
教学目的
1．使学生对整章的学习内容做一回顾，系统地把握全章的知识要点和基本技能。
2．通过例题和练习，使学生能较好地运用本章知识和技能解决有关问题。
重点、难点
判断图形是否是轴对称图形，线段的垂直平分线、
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