历年高考数学压轴题集锦文档格式.docx

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历年高考数学压轴题集锦文档格式.docx

8．已知数列｛an｝满足a=3a（a0）,a

an+a,设bn=

2an

an-aan+a

1）求数列｛bn｝的通项公式；

2）设数列｛bn｝的前项和为Sn，试比较Sn与7的大小，并证明你的结论.

9．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0,2）为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；

（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

10.f（x）对任意xR都有f（x）+f（1-x）=1.

（Ⅰ）求f

（1）和f

（1）+f（n-1）（nN）的值．

2nn

（Ⅱ）数列an满足

an是等差数列吗？

请给予证明；

（Ⅲ

）

令

an=f（0）+f

（1）+f

（2）++f（n-1）+f

（1），数列

4an

4an-1,Tn=b1+b2+b3++bn,Sn=32-n试比较Tn与Sn的大小．

11.：

如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且O→A·

O→B＝0，求以OA、OB为

直径的两圆的另一个交点P的轨迹.（13分）

12.知函数f（x）＝log3（x2－2mx＋2m2＋2）的定义域为Rm－3

（1）求实数m的取值集合M；

（2）求证：

对m∈M所确定的所有函数f（x）中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.

4x-t

13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为,（）,函数f（x）=4x-t.

x2+1

（1）.求f（）和f（）的值。

（2）。

证明：

f（x）在[,]上是增函数。

（3）。

对任意正数x1、x2,求证：

f（x1+x2）-f（x1+x2）2-

x+xx+x

14．已知数列｛an｝各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的nN*，都有

4Sn=（an+1）2.

I、求数列a的通项公式.

II、若2ntS对于任意的nN*恒成立，求实数t的最大值.

15.（12分）已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，

3且满足HP·

PM=0，PM=－3MQ，

（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.

16.（14分）设f1（x）=2,定义fn+1（x）=f1[fn（x）],an=fn（0）-1,其中n∈N*.

11+xn+1nnfn（0）+2

4n2+n

（2）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=4n+n,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小.

4n2+4n+1

→→→→→→17．已知a=（x,0），b=（1，y），（a+3b）⊥（a–3b）．

（I）求点（x，y）的轨迹C的方程；

（II）若直线L：

y=kx+m（m0）与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．

18．已知函数f（x）对任意实数p、q都满足f（p+q）=f（p）f（q）,且f

（1）=1.

1）

当nN时，求f（n）的表达式；

2）

设an=nf（n）（nN+）,求证：

ak3;

k=14

3）

设bn=nff（n（n+）1）

（nN+）,Sn=bk,试比较1与6的大小．

k=1k=1Sk

19．已知函数f（x）=logax（a0且a1）,若数列：

2,f（a1）,f（a2）,…，

f（an）,2n+4（nN）成等差数列.

1）求数列｛an｝的通项an；

2）若0a1,数列｛an｝的前n项和为Sn，求limSn；

nn→n

3）若a=2,令bn=anf（an），对任意nN,都有bnf-1（t）,求实数t的取值范围.

20．已知△OFQ的面积为26,且OFFQ=m.

1）设6m46,求向量OF与FQ的夹角正切值的取值范围；

2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|OF|=c,m=（6-1）c2，

当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的方程.

3）设F1为

（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

21、已知函数f（x）=3x2+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，正数数列a满足

an=1,f（an+an+1）-g（an+1an+an2）=1

①求an的通项公式；

②若an的前n项和为Sn，求limSn.nnn→n

22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°

，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦

22点且经过点D．

（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；

（2）若点E满足EC=1AB，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且2

|ME|=|NE|，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．

23、．设函数f（x）=x1,

4x+2

（1）求证：

对一切xR,f（x）+f（1-x）为定值；

（2）记an=f（0）+f

（1）+f

（2）++f（n-1）+f

（1）（nN*）,求数列｛an｝的通

nnn

项公式及前n项和.

24.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数.当X0时,f（x）=

x+x+1

（I）求当X<

0时,f（x）的解析式;

（II）试确定函数y=f（x）（X0）在1,+）的单调性，并证明你的结论.

（III）若x2且x2，证明：

|f（x）－f（x）|<

25、已知抛物线y2=4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D（X0,0）

⑴求X0的取值范围。

⑵△ABD能否是正三角形？

若能求出X0的值，若不能，说明理由。

26、已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。

⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=82，MN的中点到Y轴的距

离为，求椭圆的方程。

27．（14分）（理）已知椭圆+y2=1（a1），直线l过点A（－a，0）和点B（a，ta）

0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.

（1）用a，t表示△AMN的面积S；

2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值.

28．已知函数f（x）=的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若数列｛an｝（n∈N*）满足：

an>

0，a1=1，an+1=[f（an）]，求数列｛an｝的通项公式an，并证明你的结论.

30、已知点集L=｛（x,y）|y=mn｝,其中m=（2x-b,1）,n=（1,b+1）,点列Pn（an,bn）在L中，P为L与y轴的交点，等差数列｛an｝的公差为1，nN。

（1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；

（2）若cn=5（n2）,求lim（c1+c2++cn）；

nn|P1Pn|n→12n

a（n=2k-1）

（3）若f（n）=n（kN）,是否存在kN使得f（k+11）=2f（k）,若存

bn（n=2k）++

在，求出k的值；

若不存在，请说明理由。

21．经过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点.（12分）

（1）若线段AB的中点为M（x,y）,直线的斜率为k,试求点M的坐标,并求点M的轨迹方程

（2）若直线l的斜率k2,且点M到直线3x+4y+m=0的距离为1,试确定m的取值范

围.

1）解：

由题意，可设椭圆的方程为x+y=1（a2）。

a22

a2解得a=6,c=2

c=2（a-c）.

由已知得

2）解：

由

（1）可得A（3，0）。

设直线PQ的方程为y=k（x-3）。

由方程组

y=k（x-3）

得（3k2+1）x2-18k2x+27k2-6=0，依题意=12（2-3k2）0，得-k

18k227k2-6

设P（x1,y1）,Q（x2,y2），则x1+x2=2k，①x1x2=k2-。

②

由直线PQ的方程得y=k（x-3）,y=k（x-3）。

于是

yy=k2（x-3）（x-3）=k2[xx-3（x+x）+9]。

③

∵OPOQ=0，∴xx+yy=0。

④

所以直线PQ的方程为x-5y-3=0或x+5y-3=0

（3，理工类考生做）证明：

AP=（x-3,y）,AQ=（x-3,y）。

由已知得方程组x-3=（x-3）,

y1=y2,

x1+y1=1,

5-1

注意1，解得x=-

因F（2,0）,M（x1,-y1），故

uuuur1--1

FM=（x1-2,-y1）=（（x2-3）+1,-y1）=（1-,-y1）=-（-1,y2）。

uuur-1uuuuruuur

而FQ=（x2-2,y2）=（,y2），所以FM=-FQ。

①f（x）=x-2k-1（2k≦x≦2k+2,k∈Z）②略⑶方程在［1，4］上有4个实根

①x2=4y②x1x2=-4⑶P（±

2,1）SMIN=7

.解：

因a>

1，不防设短轴一端点为B（0，1）设BC∶y＝kx＋1（k>

0）则AB∶y＝－1x＋1

把BC方程代入椭圆，

2a2

k2+a2

是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0

∴|BC|＝1+k22ak，同理|AB|＝1+k2

1+ak

由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0

（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0

∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0

当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4由Δ<

0，得1<

由Δ＝0，得a＝3，此时，k＝1故，由Δ≤0，即1<

a≤3时有一解由Δ>

0即a>

3时有三解

x1、x2

解：

依题意，知a、b≠0∵a>

c且a＋b＋c＝0∴a>

0且c<

0（Ⅰ）令f（x）＝g（x），得ax2＋2bx＋c＝0.（*）Δ＝4（b2－ac）∵a>

0，c<

0，∴ac<

0，∴Δ>

0∴f（x）、g（x）相交于相异两点（Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*），知

24b2-4ac4（a+c）2-4ac

=（a+c+ac）

=4（c）2+c+1（**）aa

a+b+c=0

2a+c0，而a>

0，∴-2a

a+2c0，

∴c-1

∴-

-2c

∴4［（c）2＋c＋1］∈（3，12）aa

∴|A1B1|∈（3，23）

6、解：

（1）f'

（x）=3x2+2ax

依题意得k=f'

（1）=3+2a=－3，∴a=－3

f（x）=x3-3x2+1，把B（1，b）代入得b=f

（1）=-1

∴a=－3，b=－1

（2）令f'

（x）=3x2－6x=0得x=0或x=2

∵f（0）=1，f

（2）=23－3×

22＋1=－3f（－1）=－3，f（4）=17

∴x∈［－1，4］，－3≤f（x）≤17

要使f（x）≤A－1987对于x∈［－1，4］恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987∴A≥2004。

（1）已知g（x）=－（x-3x+1）-3x+tx+1=-x+tx

∴g（x）=-3x+t

∵0<

x≤1，∴－3≤－3x<

0，

①当t>

3时，t－3x2>

0，即g'

（x）0

∴g（x）在（0.1］上为增函数，

g（x）的最大值g

（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）

②当0≤t≤3时,g（x）=-3x+t

令g'

（x）=0,得x=

列表如下:

（0,3）

（3,1]

（x）

＋

－

g（x）

↗

极大值

↘

g（x）在x=

③当t<

0时，g'

（x）=-3x2+t<

0，∴g（x）在（0.1]上为减函数，∴g（x）在（0.1]上为增函数，

∴存在一个a=，使g（x）在（0.1]上有最大值1。

7、解:

（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,PH=（-x,0）,PM=（－2－x,－y）→

PN=（2－x,－y）

∴PM·

PN=（－2－x,－y）·

（2－x,－y）=x2-4+y2→

PH=x

由题意得∣PH∣2=2·

PM·

即x2=2（x2-4+y2）

即x+y=1，所求点P的轨迹为椭圆

（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣双曲线的C实轴长2a=QM-QN=QM-QEME=10（当且仅当Q、E、M共线时

取“=”），此时，实轴长2a最大为10

所以，双曲线C的实半轴长a=10

又c=1NM=2,b2=c2-a2

∴双曲线C的方程式为x

y2=1

（1）bn

2n-1

2）Sn

+1+1++）-1（1+11+11+）-1=16-1=0

282168162422422818

1-2

9．解：

（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0∵该直线与圆x2+（y-2）2=1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±

x．………………故设双曲线C的方程为x-y=1．

a2a2又双曲线C的一个焦点为（2,0）∴2a2=2，a2=1．∴双曲线C的方程为x2-y2=1．………………………y=mx+1

得（1-m2）x2-2mx-2=0．

x2-y2=1

Ⅱ）由

2分

4分

令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-,0）上有两个不等实根．

因此

2m0解得1m2．

1-m2

-20

又AB中点为（m2,12），

1-m21-m2

∴直线l的方程为y=（x+2）．……

-2m2+m+2

令x=0，得b=2=

-2m2+m+2-2（m-1）2+17

6分

∵m（1,2），

∴-2（m-1）2+17（-2+2,1）

∴b（-,-2-2）（2,+）．………………………………………（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长QF到T，使|QT|=|QF|，若Q在双曲线的左支上，则在QF上取一点T，使|QT|=|QF|．根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F（2,0）为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是

（x-2）2+y2=4（x0）①………………………

由于点N是线段FT的中点，设N（x,y），T（x,y）．

x-2

x=T

y=y2T

则

，即

x=2x+2yT=2y

8分

10分

代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1．（x-2）………………

10解：

（Ⅰ）因为f

（1）+f（1-1）=f

（1）+f

（1）=1．所以f

（1）=1．……2分令x=1，得f

（1）+f（1-1）=1，即f

（1）+f（n-1）=1．

nnn2nn2

1n-1

（Ⅱ）an=f（0）+f

（1）++f（n-1）+f

（1）

n-11

又an=f

（1）+f（n-1）++f

（1）+f（0）

12分

5分

两式相加

1n-1n+1

2an=[f（0）+f

（1）]+[f

（1）+f（n-1）]++[f

（1）+f（0）]=n+1

nn2

n+1

所以an=,nN，…………

n+1+1n+11

又an+1-an=-=．故数列{an}是等差数列．

n+1n444n

44（Ⅲ）bn==

n4an-1n

Tn=b12+b22++bn2=16（1+1+1++1）

2232n2

16[1+1+1++1]…………1223n（n-1）

=16[1+（1-1）+（1-1）++（1-1）]…

223n-1n

=16（2-1）=32-16=Snnn

所以TnSn………………………………………

11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0

则OA的方程为y＝kx

7分

9分

10分

12分

14分

由y2＝2px解得A（k2，k）

1又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y＝－xk

1y＝－x

由k解得B（2pk2，－2pk）

y2＝2px

从而OA的中点为A'

，OB的中点为B'

（pk2，－pk）

所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为

222px2py

x2＋y2－k2－k＝0……①

x2＋y2－2pk2x＋2pky＝0……②

∵P（x，y）是异于O点的两圆交点，所以x≠0，y≠0

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