圆锥曲线经典中点弦问题.docx
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圆锥曲线经典中点弦问题
中点弦问题专题练习
•选择题（共8小题）
1已知椭圆盏+专二1，以及椭圆内一点P（4,2）,则以P为中点的弦所在直线的斜率为（
A•_1
2
2•已知A（1,2）为椭圆
A•x+2y+4=0
3•AB是椭圆
22
ab
22
孚+$二1内一点，则以
4Lb
B•x+2y-4=0
（a>b>0）的任意一条与
A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）
C•2x+y+4=0D.2x+y-4=0
x轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e为椭圆的离心率,
AB的中点，贝UKAB?
KOM的值为（）
A•e-1B•1-e
4•椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（
A•3x+2y-12=0B•2x+3y-12=0C•
e2-1
D•1-e2
4x+9y-144=0
）
D•9x+4y-144=0
22
5•若椭圆盏亡二L的弦中点（4,2），则此弦所在直线的斜率是（
6.
22
已知椭圆七+勺二1的一条弦所在直线方程是
ab
x-y+3=0，弦的中点坐标是（-
2,
1）,则椭圆的离心率是（
2
B•.:
c•.:
;
D•：
■
2
2
2
5
A•
7•直线y=x+1被椭圆A•
x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（
B•
（―丄）
）
丄）
（-
8.
2
卩-1
16
以椭圆
内一点
M（1,1）为中点的弦所在的直线方程为（
4x-3y-3=0
B•x-4y+3=0
C•4x+y-5=0
x+4y-5=0
二•填空题（共9小题）
2?
9•过椭圆专+才二1内一点M（2,0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是__
22
10•已知点（1,1）是椭圆.某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：
—
22
11.椭圆4x+9y=144内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_一
直线方程为•
那么这弦所在直线的方程为
12.椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点,
13.过椭圆
=1内一定点（1,0）作弦，则弦中点的轨迹方程为
14•设AB是椭圆—.的不垂直于对称轴的弦,
M为AB的中点,
O为坐标原点，贝UkAB?
kOM=
M（1,1）为中点的弦所在直线方程为
17.
P（-2,1）为中点的弦所在的直线方程为
18.
19.
20.
21.
直线y=x+2
解答题（共
被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是
13小题）
求以坐标轴为对称轴，一焦点为
（0,5迈）
且截直线
y=3x-2所得弦的中点的横坐标为-的椭圆方程.
22
已知M（4,2）是直线I被椭圆x+4y=36所截的弦AB的中点，其直线I的方程.
22
已知一直线与椭圆4x+9y=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M
（1,1）,求直线AB的方程.
已知椭圆
2
⑹厂1,求以点P（2，-门为中点的弦AB所在的直线方程.
已知椭圆与双曲线2x2-2y2=1共焦点，且过（.：
•'）
22.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.
22
23.直线I:
x-2y-4=0与椭圆x+my=16相交于A、B两点，弦AB的中点为设椭圆的中心为0,求厶AOB的面积.
P（2,-1）.
（1）求m的值；
（2）
24.AB是椭圆
22
--''中不平行于对称轴的一条弦,
b2
M是AB
的中点，O是椭圆的中心，求证:
25.已知椭圆C:
kAB?
kOM为定值.
）,直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当I的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.
26.已知椭圆卡+¥製二1.
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过A（2,1）的直线I与椭圆相交，求I被截得的弦的中点轨迹方程;
（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程.
22
27.已知椭圆.
（1）求过点P［丄，丄）且被点P平分的弦所在直线的方程；
22
求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦
（2）
（3）
BC中点的轨迹方程.
28.已知某椭圆的焦点是F1（-4,0）、F2（4,0）,过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为椭圆上不同的两点A（xi,yi）、C（x2,y）满足条件：
|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
（I）求该椭圆的方程；
（n）求弦AC中点的横坐标.
B,且|F1B|+|F2B|=10,
22
29.（2010?
永春县一模）过椭圆*」-内一点M（1,1）的弦AB.
164
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程.
30.已知椭圆C方程为-丁―直线一-二与椭圆C交于A、B两点，点PI--
（1）求弦AB中点M的轨迹方程；
（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2,求证：
k1+k2为定值.
2014年1月pa叩an7
1104的高中数学组卷
参考答案与试题解析
•选择题（共8小题）
22
1•已知椭圆「以及椭圆内一点
P（4,2）,则以P为中点的弦所在直线的斜率为（
A•_1
2
又X1+x2=8,y1+y2=4,
考点：
椭圆的简单性质•
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程•
分析：
利用中点坐标公式、斜率计算公式、点差法”即可得出•
解答：
解：
设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（X1,y1）,B（x2,y2）,斜率为k.
-七）
（牛+辽）tyj
36
g
22
二；「两式相减得
代入得寻碍二Q，解得k=-*
故选A•
点评:
熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、
点差法堤解题的关键.
2•已知A（1,2）为椭圆
22
^~-1内一点，则以
416
A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（
A•x+2y+4=0
B•x+2y-4=0
C•2x+y+4=0
D•2x+y-4=0
考点：
直线的一般式方程.
专题：
计算题•
分析：
首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案•解答：
解：
设直线的方程为y-2=k（x-1）,
联立直线与椭圆的方程代入可得：
（4+k2）x2+2k（2-k）x+k2-4k-12=0
因为A为椭圆的弦的中点，
2k（k-2）
所以.•二解得k=-2,
4十
所以直线的方程为2x+y-4=0•
故选D•
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题•
3.AB是椭圆
AB的中点，贝UKab?
KOM的值为（
A.e-
C.e2-1
D.1-e2
考点：
专题：
分析：
解答:
椭圆的简单性质.
综合题.
设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y,根据韦达定理求得X1+X2，的表达式，根据直线方程
求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线0M的斜率,
进而代入kAB?
kOM中求得结果.
解：
设直线为：
y=kx+c
联立椭圆和直线
b2x2+a2（kx+c）
i22
斗j
l国b
2-a2b2=0，即（b2+k2a2）
消去y得
x2+2a2kcx+a2（c2-b2）=0
，二1（a>b>0）的任意一条与x轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为
所以：
X1+X2=-
点评:
所以，M点的横坐标为:
Mr（x1+x2）=
又：
y仁kxi+c
所以：
Kom=
A2
所以:
b.2
b2
）=一2
a
kAB?
kOM=kx（-
=e2-1
本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题,利用差分法较为简便.
22
4.椭圆4x+9y=144内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以
A.3x+2y-12=0B.2x+3y-12=0C.
P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
4x+9y-144=0D.9x+4y-144=0
考点：
专题：
分析：
直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.圆锥曲线的定义、性质与方程.
利用平方差法：
设弦的端点为A（X1,y1），B（X2,
y2）,代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及
斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程.解答：
解：
设弦的端点为A（X1,yi）,B（X2,y2）,
则X1+x2=6，y1+y2=4，
把A、B坐标代入椭圆方程得，仆］乂+9比2二⑷，旳％¥『二⑷，
两式相减得，4
+9
2
-y2）=0，即4（X1+X2）（Xi-x2）+9（yl+y2）（yi-y2）=0,
r=，即kAB=-=
所以这弦所在直线方程为：
y-2=-2（x-3）,即2x+3y-12=0.
3
故选B.
点评：
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.
2?
5.若椭圆
字+三厂二1的弦中点（4,2），则此弦所在直线的斜率是（
369
A.2
B.-2
c.
3
D._丄
2
考点：
直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率.
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
设此弦所在直线与椭圆相交于点A（xi,yi）,B（x2,y2）.利用中点坐标公式和点差法”即可得出.
解答：
解：
设此弦所在直线与椭圆相交于点A（xi,yi）,B（x2,y2）.
点评:
则
，两式相减得
，：
厂
代入上式可得
94khie；
备甘e解得
故选D.
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、
L（厂+巾）
*
36
1
'g
=0.
kAB=
中点坐标公式和
点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题.
22
6.已知椭圆&七二1的一条弦所在直线方程是x-y+3=0，弦的中点坐标是（-2,1）,则椭圆的离心率是（）
ab
1
B..:
c..:
;
D.：
■
2
2
2
5
考点：
椭圆的简单性质.
专题：
计算题.
分析：
设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a,b
的关系式，从而求得椭圆的离心率.
解答：
解：
显然M（-2,1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（xi,yi）,B（x2,y2）,
b2（xi+k7）
整理得：
k==1,
s2（yC
又弦的中点坐标是（-2,1）,
则椭圆的离心率是
故选B.
点评：
本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题.本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法,研究弦中点问题时经常采用此方法
7.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）
A.弓哼B.（-訂C飞弋
考点：
直线与圆锥曲线的关系.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论.
解答：
解：
将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4
2
/•3x+4x-2=0
弦的中点横坐标是x=gx（-纟）=-*、,
£R-T1
代入直线方程中，得丫=丄
3
、21
•弦的中点是（-1,二
故选B.
点评：
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.
8以椭圆
'咅"点M（1,1）为中点的弦所在的直线方程为（
16
A.4x-3y-3=0
B.x-4y+3=0
C.4x+y-5=0
D.x+4y-5=0
考点：
专题：
分析：
直线与圆锥曲线的关系.计算题.
设直线方程为y-仁k（x-1）,代入椭圆
匚+亠二1化简，根据
164
xi+x2=
-g冷-/）
4k2+l
=2，求出斜
率k的值，即得所求的直线方程.
解答：
解：
由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y-仁k（x-1）,
代入椭圆疋牛£二1化简可得£斗（kx-k+1）匕，
1641164丄
2222（4k+1）x+8（k-k）x+4k-8k-12.
亠亦亠r/白_S（k—k?
）
•••由题意可得X1+X2=■=2,•••k=-二，
4k2+l，4，
故直线方程为y-仁-2（x-1）,即x+4y-5=0,
4
故选D.
点评：
本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，是解题的关键.
二.填空题（共9小题）
22
9.过椭圆—亠内一点M（2,0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是.'+—打=：
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.
专题：
综合题.
N为AB的中点，求出AB的斜率，再利用动
分析：
设出N,A,B的坐标，将A,B的坐标代入椭圆方程，结合
弦AB过点M（2,0）,弦AB的中点N,求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可.解答：
解：
设N（x,y）,A（X1,y1）,B（x2,y2）,贝
①，
①-②，可得:
5一
4k
K1■
动弦
AB过点
M
（2,0）,弦AB的中点
当M、N不重合时，有k
y
9y
2
=',（m唱）
（「I）2
当M、N重合时，即M是A、B中点，M
（2,0）适合方程（只一1）
2
二1,
则N的轨迹方程为（£一1〕女
2
故答案为:
点评：
本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法.
10.已知点（1，1）是椭圆
「某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为:
x+2y—3=0
考点：
直线与圆锥曲线的关系.
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
设以A（1,1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（xi,yi）,F（X2,y2）,A（1,1）为EF中点，xi+x2=2,yi+y2=2,
利用点差法能够求出以A（1,1）为中点椭圆的弦所在的直线方程.
解答：
解：
设以A（1,1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（X1,y1）,F（x2,y2）,
•••A（1,1）为EF中点，
•••x1+x2=2,y1+y2=2,
22
把E（x1,y1）,F（x2,y2）分别代入椭圆■二1,
42
两式相减,可得（X1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0,
•2（x1-x2）+4（y1-y2）=0,
•••以A（1,1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：
y-1=-丄（x-1）,
乙
整理，得x+2y-3=0.故答案为：
x+2y-3=0.
点评：
本题考查以A（1,1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
223
11.椭圆4x+9y=144内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_,直
线方程为2x+3y-12=0.
考点：
直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
平方差法：
设弦端点为A（X1,y1）,B（x2,y2）,代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可得斜率；根据点斜式可得直线方程.
解答：
解：
设弦端点为A（X1,y1）,B（x2,y2）,
贝X1+x2=6,y1+y2=4,
4巧2+gyJ二L嗣①，分22-^9y22=144②，
①—②得，疋］'-只2’）+9（旳‘-咒‘）=0,即4（x1+x2）（x1-x2）+9（y1+y2）（y1-y2）=0,
「1、二
4〔巧+Mg）
4X6__2
Z1"
_9（旳+匕）
-9心.3）
所以
即
所以弦所在直线方程为：
y-2=-2（x-3）,即2x+3y-12=0.
3
故答案为：
-二；2x+3y-12=0.
3
点评：
本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.
12.椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y二12=0
考点：
直线与圆锥曲线的关系.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
设以P（3,2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（X1,y1）,F（x2,y2）,p（3,2）为EF中点，x1+x2=6,y1+y2=4,
利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.
解答：
解：
设以P（3,2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（X1,y1）,F（x2,y2）,
•••P（3,2）为EF中点，
X1+x2=6,y1+y2=4,
22
把E（X1,y1）,F（x2,y2）分别代入椭圆4x+9y=144,
2+9yiZ=L44
良2，
4x2J+9y2=144
4（x1+x2）（x1-x2）+9（y1+y2）（y1-y2）=0,
•••24（x1-x2）+36（y1-y2）=0,
2
:
•••以P（3,2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：
y-2=-弓（x-3）,
整理，得2x+3y-12=0.故答案为：
2x+3y-12=0.
点评：
本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用.
22
4x+9y-4x=0
22
13.过椭圆勺亍1内一定点（1,0）作弦，则弦中点的轨迹方程为
考点：
椭圆的应用；轨迹方程.
专题：
计算题.
分析：
设弦两端点坐标为（X1,y1）,（x2.y2）,诸弦中点坐标为（x,y）.弦所在直线斜率为k,把两端点坐标代
入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.
解答：
解：
设弦两端点坐标为（X1,y1）（x2.y2）,诸弦中点坐标为（X,y）.弦所在直线斜率为k
22
竺+31
g4丄
两式相减得；—（X1+x2）（x1-X2）+云（y1+y2）（y1-y2）=0
即仝一一
代入上式得
又•/
2
2x/9+2yA2/4（x—i）=07一'
22
4x+9y—4x=0
整理得诸弦中点的轨迹方程：
故答案为4x2+9y2—4x=0
点评：
本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题•考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.
14.设AB是椭圆
二1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB?
kOM=-丄
_2~
考点：
专题：
分析：
椭圆的应用.计算题.
设M（a,b）,A（xi,yi）,B（x2,y2）,易知kOM=—，再由点差法可知kAB=
a
」，由此可求出kAB?
kOM=
2b
解答:
—JJ
解：
设M（a,b）,A（xi,yi）,B（x2,y2）,•/M为AB的中点，•xi+x2=2a,yi+y2=2b.
把A、B代入椭圆
①—②得（X1+X2）（X1-X2）
x12+2y12=2①
x32+2y23=2②
+2（yi+y2）（yi—y2）=0,
•••2a（xi—x2）+4b（yi—yi）
=0,S■?
.
答案:
_b
1
2
•kAB?
kOM=-—
:
点评:
本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.
22
15.以椭圆
—rI—亠内的点M（i,i）为中点的弦所在直线方程为_x+4y—5=0
lb4
考点：
直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
设点M（i,i）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（xi,yi）,B（x2,y2）.利用点差法”即可得出直
线的斜率，再利用点斜式即可得出.
解答：
解：
设点M（i,i）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（xi,yi）,B（x2,y2）.
22
（纠+yJGi一
叩1
（2+y2）（x2-
16
4
相减得
2，
2
—^=0
故所求的直线方程为
，解得kAB=-「
-—：
化为x+4y-5=0•
故答案为x+4y-5=0•
点评：
本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.
16•在椭圆
P（-2,1）为中点的弦所在的直线方程为x-2y+4=0
考点：
专题：
分析：
直线与圆锥曲线的综合问题.计算题.
设以点P（-2,1）为中点的弦所在的直线与椭圆
=1交于A（XI，y1），B
（X2,y2）,由点P（-2,
1）是线段AB的中点，知
，把A（x1,y1）,B（x2,
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