圆锥曲线过定点问题.docx
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圆锥曲线过定点问题
圆锥曲线过定点问题
一、小题自测
1.无论k取任何实数，直线（14k）x（23k）y（214k）0必经过一个定点，则这个定点的坐标
为
22
2.已知直线l:
2axbyab0；圆C:
xy2x10，则直线I与圆C的位置关系为.
二、几个常见结论：
满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。
1、过定点模型：
代B是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中，分别为MA,MB的倾斜角，则有
下面的结论：
uuruuir
①、MAMB为定值直线AB恒过定点；②、kMAkMB为定值直线AB恒过定点；
③、（0）直线AB恒过定点.
2、抛物线中的过定点模型：
代B是抛物线y2px（p0）上的两动点，其中，分别为OA,OB的倾
斜角，则可以得到下面几个充要的结论：
为DA,DB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论:
2
DADBk°Ak°B1
ac直线AB恒过定点（一^2,0）.
2ab
三、方法归纳：
★参数无关法：
把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，
那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x,y的方程
组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
★特殊到一般法：
根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
★关系法：
对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直
线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的
直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
四、例题分析：
2
例1：
过椭圆1y21的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于MN两点.求证：
直线MN过定点,
4
并求出该定点坐标.
★证明：
解法一：
设M（为，yjN（X2,y2），直线MN:
ykx
kxm
m.
y
2x
4
y21
（1
222
4k）x8kmx4m40
0且x-i
8km
14k2，x，x2
4m24
4k2
由AM
（k2
1）X|X2
（km
2）（X1X2）
m2
0,（k2
化简得：
5m2
2
16km12k0,Qk
5（m）2
k
解得：
-6或-（舍），直线MN:
yk（x
k5k
AN得
x-i2
1）也4
14k2
16-12
k
-），过定点
5
土1
x22
（km2）-
1
8km
m4
4k2
（6,0）.
5
解法二：
（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题）
令j
14k
此时
1
28k2
4k2
6，所以直线
5
MN过定点
当k1,kCM
4k
14k2
28k26
14k25
5k
4（1k2）
4k
4k22k28
4k2
5k
kCMkCN
M,N,C三点共线，即:
直线MN过定点（
解法三：
设直线
AM:
yk（x2）（k
0），则直线AM:
y
4（1
6，°）.
；（x
2）
yk（x2）x2
4
222
（14k）x16kx
2
16k40Q2xm
16k二
4k
Xm
28k2
^4?
，Ym
4k
14k2
所以点
（14k2，14k2
4k
4k
1
4k2
4k2
2
8k2
2k28
2
4
M
14k2
k2
），同理：
点
2k284k）
N（4k2'4
5k
4（1k2），直线MN：
，
4k
14k2
5k
4（1k2）（x
28k2）
14k2）
8k2
14k2
16（1k2）
5（14k2）
6（14k2）
5（14k2）
6，所以直线MN过定点
5
6
（-,0）.
5
-Fy.
例2:
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国
I卷）
2
已知椭圆C:
笃
a
2
詁1ab0，四点P111,
P20,
1，P3心，P「，身中恰有三点
在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）
设直线I不经过P,点且与C相交于A、B两点,证明：
I过定点.
★分析：
出现kpAkpBk,kpAkpBk（
AB过定点。
★解:
（1）根据椭圆对称性，必过P3、
P4，又P4横坐标为
1,
椭圆必不过P，所以过P2，P3，P4三点
将P2
0,1,P31，虫
2
代入椭圆方程得
（2）
①当斜率不存在时,
3,解得
玄1b21
B
m
②当斜率存在时，设
yA1
m
I:
ykx
1，得
此时
联立
ykxb
2
X
4y24
，整理得
4k2
8kbx
4b2
kp2A
kp2B
y11
Xi
y21
X2
X2
kx!
X2
X!
kx2b
X1X2
1此时
•••直线I的方程为ykx2k
b2k
64k,
1，当
存在k使得
x2时，y
2
4'J“椭圆C的方程为：
7y21.
I过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.
BX2,y2
0,X1
8kb2
X2
8k
8kb
k，X1
8kb28kb
14k2
4b24
14k2
8kb1
0成立.
1，所以
I过定点2,1
★小结：
此类问题的解题步骤：
第一步：
设直线AB的方程为ykxm,联立曲线方程得根与系数的关系，用0求出参数的取值范围;
第二步：
由AP与BP的关系，得到一次函数kf（m）或者mf（k）;
第三步：
将kf（m）或者mf（k）代入ykxm，得yk（xx定）y定
例3:
已知左焦点为F（-1,。
）的椭圆过点E（1，孚）•过点P（1，1）分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD设M,N分别为线段AB,CD的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求ki;
（3）若ki+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标.
★分析：
第（3）问，可有一般的情形：
过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动
弦的中点所在直线过定点.
此时直线过定点（0,|）.当k1k2_0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0,|）.
综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0,3）.
3
★小结：
此类问题的解题步骤：
（交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤）
第一步：
设其中一条直线的斜率为k1，求出直线方程；
第二步：
直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；
第三步：
由上述两步，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；
第四步：
化直线为点斜式，确定定点坐标。
★拓展：
若过抛物线的某定点作两条直线，这两条直线的斜率之和（积）为定值，那么两条线的中点连线必
过一定点。
五、练习反馈：
1如图，已知椭圆—y21,直线I:
x4,A,B是长轴的两端点，M是椭圆上异于AB的任意一点,
4
设直线AM交直线I于点P,直线BM交直线I于点Q则以PQ为直径的圆C经过定点
x2y2
2.已知椭圆C:
1的上顶点为A，直线I:
ykxm
42
交椭圆于P,Q两点，设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2.
（1）若m0时，求k*2的值；
（2）
点，求证：
直线MN过定点，并求出此定点坐标
22
（注：
经过椭圆C：
A与1a
ab
b0上一点x0，y
于A，B两点，△ABF的周长为a3.
的椭圆的切线方程为竽響1）
ab
若k1k21时，证明：
直线I:
ykxm过定点.
4.已知椭圆C:
2
x
~~2
a
b2
0）过点P（2,），且离心率为
2
2
过点P作两条互相垂直的直
线分别交椭圆于
A、B两点（A、B与点P不重合）。
求证：
直线AB过定点，并求该定点的坐标。
5.已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e-，且其中一个焦点与抛物线y-x2的焦点重合.
24
（1）求椭圆C的方程；
1
（2）过点S,0的动直线I交椭圆C于代B两点，试问：
在坐标平面上是否存在一个定点T,
3
使得无论I如何转动，以AB为直径的圆恒过点T?
若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
2
6.已知Fi、F2分别为椭圆Ci:
与
a
b2
1（a
b0）的上、下焦点,其中Fi也是抛物线
2
C2:
X4y的焦点,
5
点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|?
（1）求椭圆Ci的方程•
A,B,在线段AB上取
（2）已知点P（1,3）和圆O：
X2y2b2,过点P的动直线I与圆0相交于不同的两点
一uuuurnuuiruun
一点Q,满足：
APPB,AQQB,（0且1）.求证：
点Q总在某定直线上
圆锥曲线过定点问题答案:
一、小题自测答案：
1、（2,2）2、相交
所以
子或m「2（舍），直线l：
y
kXm过定点（0,
（k2
kXm
2y24
2
1*
2k21
（2k21）X24kmx
k（m月半■
2k21
2m2
（m
.2）203m22.2m20
五、练习反馈答案：
3、
试题分析；⑴根据椭圆的定义可壯》ABF的周长为加、艮卩也=去，解得；口=2,再代入点的坐标，求得椭圆方程；门）iSMEjJNg」",写出过这两点的切卷肪程，并代入点？
的坐标，得到直线的方程，求出定点一
试题解折：
（1）由题倉得：
4口=口3a-=4,a=2,
XY椭葩过⑴劭点…冷十字=1…沖纭
二椭郎:
的方程戍+J1-
（2）由题意得：
烈=九「呻=比一进设廳融壬伽升曲蛙和论刘越仏心弼则直线・竽-亍二】，直线半亠一丄
又汽「話一丁:
在上述两切线上，二:
•直线洽保=
谨富十=0旺=二
即：
「-・1.•—.「一，由得，
•••直线廳擀过定点，且定点坐标为
4、【解答】依题意，有
解得a26,b2
1
b2
1,
a2b2
易知直线
2
椭圆C的方程为—
6
AB斜率存在，设
2
y
3
AB方程为
kxmo
kxm
y2，得
1
3
2-・
y
由兰
6
（2k21）x24mkx2m2
设A（x,yj,B%,y2）,
4mk
1uirPA
2）
（km
1）哙
2k21
8mk4k2
2k1）（m
则x1x22
2k2
PB知，
2）（X2
1）x1x2
由PA
（x1即（k2
（k2
3m2
（3m
3m
2k10,
x1x2
uir
PB
（y1
k
2m26
2k21°
0O
1）（y2
2）（x
1）
X2）
2）（X2
2小
m2m
（Xi
2）
5
（kx1
0O
（kmk
2）
4mk）
2k^）
m22m
直线AB过定点D（
2m1
2k1）
2.
mk
3
2
3，
0O
0°由直线AB不过点P（
1
3
1
3）°
直线AB方程化为y
2,1）,
kx-k
3
m2k10o
5、解：
（1）设椭圆的方程为
2
壬1
2a
ab0，离心率
又抛物线y
的焦点为
0,1，所以c
1,a
1,
椭圆C的方程是
1.
（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是
y21,
若直线l垂直于x轴,
则以AB为直径的圆是
16
6
y21,
216
y6
解得
1
'即两圆相切于点1,0.
0.
5分
因此所求的点T如果存在，只能是1,0
[来源:
Z§xx§k.Com]
1
当直线I不垂直于x轴时，可设直线|:
ykx-
11分
0,
3
TATB,即以AB为直•径的圆恒过点T1,0.
故在坐标平面上存.在一个定点T1,0满足条件.一一12分
6、解：
方法1:
由C2：
x24y知戸（0,1）,设皿（沧』0）（沧0）,
因M在抛物线C2上，故x024y0…①
552品2
又|MF11-,则y01②，由①②解得x0_6,y0—
3333
椭圆C的两个焦点F1（0,1）,F2（0,1）,点M椭圆上,
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