圆锥曲线之定点定值问题(教师).doc

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圆锥曲线之定点定值问题

一、定点问题

例．已知椭圆：

的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

⑴求椭圆C的方程；

⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；

⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．

【练习1】在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．

⑴求轨迹的方程；

⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．

【练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。

设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。

（1）设动点P满足,求点P的轨迹；

（2）设，求点T的坐标；

（3）设,求证：

直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

【练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线：

与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：

直线过定点，并求出定点的坐标．

【练习4】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

二、定值问题

例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；

（Ⅱ）若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？

若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

例2．:

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P（2，0）为定点．

（Ⅰ）若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？

若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．

【练习1】已知是椭圆C的两个焦点，、为过的直线与椭圆的交点，且的周长为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）判断是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由.

【练习3】、是经过椭圆右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦，求证：

：

是定值

【练习4】如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）．当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

【练习5】已知双曲线的离心率为，右准线方程为

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.

答案解析

【定点问题】

例1：

解：

⑴．

⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为①

联立消去得：

，

由得，

又不合题意，

所以直线的斜率的取值范围是或．

⑶设点，则，直线的方程为，

令，得，将代入整理，得．②

由得①代入②整理，得，

所以直线与轴相交于定点．

【练习1】解：

⑴．

⑵将，代入曲线的方程，整理得，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以①

设，，则，②

且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，．由，得．

将②、③代入上式，整理得．所以，即或．经检验，都符合条件①，当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点，且不过点．综上，与的关系是：

，且直线经过定点点．

【练习2】解：

（1）。

（2）点T的坐标为。

（3）点T的坐标为

直线MTA方程为：

，即，

直线NTB方程为：

，即。

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，

解得：

、。

（方法一）当时，直线MN方程为：

令，解得：

。

此时必过点D（1，0）；

当时，直线MN方程为：

，与x轴交点为D（1，0）。

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

（方法二）若，则由及，得，

此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。

若，则，直线MD的斜率，

直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。

因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。

【练习3】解:

（Ⅰ）．

（Ⅱ）由方程组消去，得

．

由题意△，整理得：

①

设，则，．

由已知，，且椭圆的右顶点为，

∴　．即，

也即，

整理得．解得或，均满足①

当时，直线的方程为，过定点，不符合题意舍去；

当时，直线的方程为，过定点，

故直线过定点，且定点的坐标为．

【练习4】解：

（Ⅰ）．

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由得．①

设点，，则．直线的方程．

令，得．将，代入，

整理，得．②

由①得，代入②

整理，得．所以直线与轴相交于定点．

（Ⅲ）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且

，在椭圆上．

由得．

易知．

所以，，．

则．

因为，所以．

所以．

当过点直线的斜率不存在时，其方程为．

解得，．

此时．

所以的取值范围是．

【定值问题】

例1：

解：

（Ⅰ）:

离心率

（Ⅱ）,设由得

化简得，即

故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为

例2：

解：

（Ⅰ）．

（Ⅱ）设圆心（），点A，B.因为圆过点P（2，0），

则可设圆M的方程为.令，

得.则，.

所以.，

设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，则.

所以.

由此可得，当时，为定值．故存在一条抛物线，使|AB|为定值4.

【练习1】解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）设

（1）当直线斜率不存在时，有，，

（2）当直线斜率存在时，设直线方程为代入椭圆方程，并整理得：

所以（或求出的值）

所以

所以

【练习2】2/p

【练习3】解析：

对于本题，,分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有，,（定值）．下面再证明一般性．

设平行弦、的倾斜角为，则斜率，的方程为代入椭圆方程，又∵即得，

另一方面，直线方程为．同理可得由可知（定值）（注意时的情况）

（关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。

）

【练习4】（I）所求距离为

（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为

由，

相减得,故

同理可得：

由PA，PB倾斜角互补知

即,所以,故

设直线AB的斜率为,由，,相减得

所以,

将代入得，所以是非零常数.

【练习5】【解法1】

（Ⅰ）双曲线的方程为.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，化简得.

由及得，

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，且，

设A、B两点的坐标分别为，则，

∵，且，

.

∴的大小为.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.由及得

①

②

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，设A、B两点的坐标分别为，

则，

∴，∴的大小为.

（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.