高考数学《函数的图像》题型专题汇编.docx

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高考数学《函数的图像》题型专题汇编

2019高考数学《函数的图像》题型专题汇编

题型一　作函数的图象

1、分别画出下列函数的图象：

（1）y＝|lg（x－1）|；

（2）y＝2x＋1－1；（3）y＝x2－|x|－2；（4）y＝.

解　

（1）首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg（x－1）|的图象，如图①所示（实线部分）．

（2）将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．

（3）y＝x2－|x|－2＝其图象如图③所示．

（4）∵y＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．

题型二　函数图象的辨识

1、函数y＝的图象大致是（　　）

答案　D

解析　从题设解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xlnx，y′＝1＋lnx，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.

2、设函数f（x）＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是（　　）

A．y＝f（|x|）B．y＝－|f（x）|C．y＝－f（－|x|）D．y＝f（－|x|）

答案　C

解析　题图中是函数y＝－2－|x|的图象，即函数y＝－f（－|x|）的图象，故选C.

3、函数f（x）＝1＋log2x与g（x）＝x在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）

答案　B

解析　因为函数g（x）＝x为减函数，且其图象必过点（0,1），故排除A，D.因为f（x）＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象上移1个单位得到的，所以f（x）为增函数，且图象必过点（1,1），故可排除C，故选B.

4、函数f（x）＝·sinx的图象的大致形状为（　　）

答案　A

解析　∵f（x）＝·sinx，∴f（－x）＝·sin（－x）

＝－sinx＝·sinx＝f（x），且f（x）的定义域为R，

∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D；当x＝2时，f

（2）＝·sin2<0，故排除B，

只有A符合．

5、若函数f（x）＝（ax2＋bx）ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为（　　）

A．a＝1，b＝2B．a＝1，b＝－2

C．a＝－1，b＝2D．a＝－1，b＝－2

解析：

选B.令f（x）＝0，则（ax2＋bx）ex＝0，解得x＝0或x＝－，由图象可知，－＞1，又当x＞－时，f（x）＞0，故a＞0，结合选项知a＝1，b＝－2满足题意，故选B.

6、如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：

x＝t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y＝f（t）的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是（　　）

解析：

选C.由y＝f（t）的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.

7、函数f（x）＝|x|＋（其中a∈R）的图象不可能是（　　）

解析：

选C.当a＝0时，函数f（x）＝|x|＋＝|x|，函数的图象可以是B；

当a＝1时，函数f（x）＝|x|＋＝|x|＋，函数的图象可以是A；

当a＝－1时，函数f（x）＝|x|＋＝|x|－，x>0时，|x|－＝0只有一个实数根x＝1，函数的图象可以是D；所以函数的图象不可能是C.故选C.

8、已知f（x）＝则下列函数的图象错误的是（　　）

解析：

选D.在坐标平面内画出函数y＝f（x）的图象，将函数y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f（x－1）的图象，因此A正确；作函数y＝f（x）的图象关于y轴的对称图形，得到y＝f（－x）的图象，因此B正确；y＝f（x）在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y＝|f（x）|的图象与y＝f（x）的图象重合，C正确；y＝f（|x|）的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x≤1时，y＝f（|x|）＝，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确．故选D.

9、如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（　　）

答案　B

解析　当x∈时，f（x）＝tanx＋，图象不会是直线段，从而排除A，C；

当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<1＋，

∴f

10、已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　）

A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝－1D．f（x）＝x－

答案　A

解析　由函数图象可知，函数f（x）为奇函数，应排除B，C.若函数为f（x）＝x－，则x→＋∞时，f（x）→＋∞，排除D，故选A.

11、函数f（x）＝的图象大致为（　　）

答案　B

解析　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，

∴f（x）＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．

当x＝1时，f

（1）＝＝e－>0，排除D选项．

又e>2，∴<，∴e－>，排除C选项．故选B.

12、已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝－f（2－x）的图象为（　　）

答案　D

解析　方法一　先作出函数y＝f（x）的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f（－x）的图象；

然后将y＝f（－x）的图象向右平移2个单位，得到y＝f（2－x）的图象；

再作y＝f（2－x）的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f（2－x）的图象．故选D.

方法二　先作出函数y＝f（x）的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f（－x）的图象；然后将y＝－f（－x）的图象向右平移2个单位，得到y＝－f（2－x）的图象．故选D.

方法三　当x＝0时，y＝－f（2－0）＝－f

（2）＝－4.故选D.

题型三　函数图象的应用

命题点1　研究函数的性质

1、已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数，单调递增区间是（0，＋∞）

B．f（x）是偶函数，单调递减区间是（－∞，1）

C．f（x）是奇函数，单调递减区间是（－1,1）

D．f（x）是奇函数，单调递增区间是（－∞，0）

答案　C

解析　将函数f（x）＝x|x|－2x，去掉绝对值，得f（x）＝

画出函数f（x）的图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减．

2、已知函数f（x）＝|log3x|，实数m，n满足0

答案　9

解析　作出函数f（x）＝|log3x|的图象，观察可知0

若f（x）在[m2，n]上的最大值为2，从图象分析应有f（m2）＝2，

∴log3m2＝－2，∴m2＝.从而m＝，n＝3，故＝9.

3、若函数f（x）＝的图象如图所示，则f（－3）等于___

解析：

由图象可得a（－1）＋b＝3，ln（－1＋a）＝0，所以a＝2，b＝5，

所以f（x）＝故f（－3）＝2×（－3）＋5＝－1.答案：

－1

4、已知f（x）＝2x－1，g（x）＝1－x2，规定：

当|f（x）|≥g（x）时，h（x）＝|f（x）|；当|f（x）|

A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值

答案　C

解析　画出y＝|f（x）|＝|2x－1|与y＝g（x）＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f（x）|≥g（x），故h（x）＝|f（x）|；在A，B之间，|f（x）|

综上可知，y＝h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值－1，无最大值．

5、已知函数f（x）＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是____________．

答案　（3，＋∞）

解析　在同一坐标系中，作y＝f（x）与y＝b的图象．

当x>m时，x2－2mx＋4m＝（x－m）2＋4m－m2，所以要使方程f（x）＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.

6、不等式3sin－

<0的整数解的个数为________．

答案　2

解析　不等式3sin－

<0，即3sin<

.设f（x）＝3sin，g（x）＝

，在同一坐标系中分别作出函数f（x）与g（x）的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f（x）

<0的整数解的个数为2.

7、已知函数f（x）＝若实数a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是__________．

答案　（2,2021）

解析　函数f（x）＝的图象如图所示，不妨令a

由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1

8、已知点A（1，0），点B在曲线G：

y＝lnx上，若线段AB与曲线M：

y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为________．

解析：

设B（x0，lnx0），x0＞0，线段AB的中点为C，则C，又点C在曲线M上，故＝，即lnx0＝.此方程根的个数可以看作函数y＝lnx与y＝的图象的交点个数．画出图象（如图），可知两个函数的图象只有1个交点．

答案：

1

9、已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x.

（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；

（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间；

（3）求f（x）在[－2，5]上的最小值，最大值．

解：

（1）设x＜0，则－x＞0，

因为x＞0时，f（x）＝x2－2x.所以f（－x）＝（－x）2－2·（－x）＝x2＋2x.

因为y＝f（x）是R上的偶函数，所以f（x）＝f（－x）＝x2＋2x.

（2）函数f（x）的图象如图所示：

由图可得：

函数f（x）的单调递增区间为（－1，0）和（1，＋∞）；单调递减区间为（－∞，－1）和（0，1）．

（3）由

（2）中函数图象可得：

在[－2，5]上，

当x＝±1时，取最小值－1，当x＝5时，取最大值15.

10、已知函数f（x）＝x|m－x|（x∈R），且f（4）＝0.

（1）求实数m的值；

（2）作出函数f（x）的图象；

（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；

（4）若方程f（x）＝a只有一个实数根，求a的取值范围．

解：

（1）因为f（4）＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.

（2）f（x）＝x|x－4|＝

f（x）的图象如图所示．

（3）f（x）的单调递减区间是[2，4]．

（4）从f（x）的图象可知，当a>4或a<0时，f（x）的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f（x）＝a只有一个实数根，即a的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）．

命题点2　解不等式

1、函数f（x）是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________________．

答案　∪

解析　当x∈时，y＝cosx>0.当x∈时，y＝cosx<0.

结合y＝f（x），x∈[0,4]上的图象知，

当1

所以在[－4,0]上，<0的解集为，

所以<0的解集为∪.

2、定义在R上的奇函数f（x），满足f＝0，且在（0，＋∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为________．

解析：

因为函数f（x）是奇函数，在（0，＋∞）上单调递减，且f＝0，所以f＝0，且在区间（－∞，0）上单调递减，因为当x＜0，若－＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0，当x＞0，若0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0，综上xf（x）＞0的解集为∪.

答案：

∪

命题点3　求参数的取值范围

1、已知函数

若关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．

答案　（0,1]

解析　作出函数y＝f（x）与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈（0,1]．

2、已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．

答案　

解析　先作出函数f（x）＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为，故f（x）＝g（x）有两个不相等的实根时，k的取值范围为.

3、设函数f（x）＝|x＋a|，g（x）＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是__________．

答案　[－1，＋∞）

解析　如图作出函数f（x）＝|x＋a|与g（x）＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞）．

4、给定min{a，b}＝已知函数f（x）＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．

解析：

函数f（x）＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为（4，5）．

答案：

（4，5）

5、直线y＝k（x＋3）＋5（k≠0）与曲线y＝的两个交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＋y1＋y2＝________．

解析：

因为y＝＝＋5，其图象关于点（－3，5）对称．又直线y＝k（x＋3）＋5过点（－3，5），如图所示．所以A，B关于点（－3，5）对称，所以x1＋x2＝2×（－3）＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.

所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.

答案：

4

6、函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋＋2的图象关于点A（0，1）对称．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若g（x）＝f（x）＋，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

解：

（1）设f（x）图象上任一点P（x，y）（x≠0），则点P关于（0，1）点的对称点P′（－x，2－y）在h（x）的图象上，即2－y＝－x－＋2，即y＝f（x）＝x＋（x≠0）．

（2）g（x）＝f（x）＋＝x＋，g′（x）＝1－.

因为g（x）在（0，2]上为减函数，所以1－≤0在（0，2]上恒成立，

即a＋1≥x2在（0，2]上恒成立，所以a＋1≥4，即a≥3，

故实数a的取值范围是[3，＋∞）．

《函数的图像》课后作业

1、y＝2|x|sin2x的图象可能是（　　）

答案　D

解析　由y＝2|x|sin2x知函数的定义域为R，

令f（x）＝2|x|sin2x，则f（－x）＝2|－x|sin（－2x）＝－2|x|sin2x.

∵f（x）＝－f（－x），∴f（x）为奇函数．∴f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B.

令f（x）＝2|x|sin2x＝0，解得x＝（k∈Z），∴当k＝1时，x＝，故排除C.

故选D.

2、如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动（与线段AB有公共点）时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是（　　）

答案　C

解析　当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.

3、已知函数f（x）＝logax（0

答案　A

解析　方法一　先作出函数f（x）＝logax（00时，y＝f（|x|＋1）＝f（x＋1），其图象由函数f（x）的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f（|x|＋1）为偶函数，所以再将函数y＝f（x＋1）（x>0）的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x<0时的图象，故选A.

方法二　因为|x|＋1≥1,0

所以f（|x|＋1）＝loga（|x|＋1）≤0，故选A.

4、函数f（x）＝的图象如图所示，则f（－3）等于（　　）

A．－B．－

C．－1D．－2

答案　C

解析　由图象可得－a＋b＝3，ln（－1＋a）＝0，得a＝2，b＝5，∴f（x）＝故f（－3）＝2×（－3）＋5＝－1，故选C.

5、函数f（x）的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）＝ex＋1B．f（x）＝ex－1

C．f（x）＝e－x＋1D．f（x）＝e－x－1

答案　D

解析与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f（x）的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f（x）的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．

∴f（x）＝e－（x＋1）＝e－x－1.

6、已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝若方程f（x）＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，1]

C．（0,1）D．（－∞，＋∞）

答案　A

解析　当x≤0时，f（x）＝2－x－1，当0

类推有f（x）＝f（x－1）＝22－x－1，x∈（1,2]，…，也就是说，x>0的部分是将x∈（－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．

若方程f（x）＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是（－∞，1）．

7、设函数y＝f（x＋1）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，在区间（－∞，0）上是减函数，且图象过点（1,0），则不等式（x－1）f（x）≤0的解集为______________．

答案　{x|x≤0或1

解析　画出f（x）的大致图象如图所示．

不等式（x－1）f（x）≤0可化为或

由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1

8、设函数y＝f（x）的图象与y＝2x－a的图象关于直线y＝－x对称，且f（－2）＋f（－4）＝1，则实数a＝________.

答案　－2

解析　由函数y＝f（x）的图象与y＝2x－a的图象关于直线y＝－x对称，可得f（x）＝－a－log2（－x），由f（－2）＋f（－4）＝1，可得－a－log22－a－log24＝1，解得a＝－2.

9、已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）有四个实数根，则k的取值范围是__________．

答案　

解析　由题意作出f（x）在[－1,3]上的示意图如图所示，记y＝k（x＋1）＋1，∴函数y＝k（x＋1）＋1的图象过定点A（－1,1）．

记B（2,0），由图象知，方程有四个实数根，即函数f（x）与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，

故kAB

10、给定min{a，b}＝已知函数f（x）＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，则实数m的取值范围为__________．

答案　（4,5）

解析　作出函数f（x）的图象，函数f（x）＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为（4,5）．

11、数f（x）＝的值域为[0,2]，则实数a的取值范围是_____

答案　[1，]

解析　先作出函数f（x）＝log2（1－x）＋1，－1≤x<0的图象，再研究f（x）＝x3－3x＋2,0≤x≤a的图象．

令f′（x）＝3x2－3＝0，得x＝1（x＝－1舍去），由f′（x）>0，得x>1，

由f′（x）<0，得0

又f（0）＝f（）＝2，f

（1）＝0.所以1≤a≤.

12已知函数f（x）＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是（　　）

A．f（x1）＋f（x2）<0B．f（x1）＋f（x2）>0C．f（x1）－f（x2）>0D．f（x1）－f（x2）<0

答案　D

解析　函数f（x）的图象如图实线部分所示，

且f（－x）＝f（x），从而函数f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上是增函数，

又0<|x1|<|x2|，∴f（x2）>f（x1），即f（x1）－f（x2）<0.

13、函数f（x）＝，g（x）＝1＋，若f（x）

答案　∪

解析　f（x）＝g（x）＝作出两函数的图象如图所示．

当0≤x<1时，由－1＋＝x＋1，解得x＝；当x>1时，由1＋＝x＋1，解得x＝.结合图象可知，满足f（x）

14、函数f（x）＝若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是__________．

答案　

解析　由题意知，直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象至少有3个公共点．函数y＝f（x），x∈[0,6]的图象如图所示，由图知k的取值范围是.

15、已知函数f（x）＝2x，x∈R.

（1）当实数m取何值时，方程|f（x）－2|＝m有一个解？

两个解？

（2）若不等式f2（x）＋f（x）－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）令F（x）＝|f（x）－2|＝|2x－2|，

G（x）＝m，画出F（x）的图象如图所示．

由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；

当0

（2）令f（x）＝t（t>0），H（t）＝t2＋t，t>0，因为H（t）＝2－在区间（0，＋∞）上是增函数，

所以H（t）>H（0）＝0.因此要使t2＋t>m在区间（0，＋∞）上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为（－∞，0]．

16、数

g（x）＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数k的取值范围．

解　对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，即f（x）max≤g（x）min.

观察f（x）＝

的图象可知，

当x＝时，函数f（x）max＝.因为g（x）＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－（x－2）|＝|k－2|，

所以g（x）min＝|k－2|，所以|k－2|≥，解得k≤或k≥.故实数k的取值范围是∪.