数学“傻问题”之二“牛奶兑水”好喝吗？(五下)文档格式.doc
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他又喝了半杯，就出去玩了。
乐乐一共喝了多少杯纯牛奶？
多少杯水？
一、原题解决
总览本题，那么为什么教材中会选择此题呢？
连“纯牛奶”也不纯，兑水后就更不纯了（见“后记”说明），乐乐能喝到的“纯牛奶”只有开始时的半杯啊！
原来题目想问的是“含有原来纯牛奶成分的那一部分”有多少，以及乐乐喝的“后加的水的那一部分”是多少？
也就是说，此题中将牛奶和水看作完全平均分布的液体（事实上搅拌完全后也几乎如此，如果将牛奶和水看成两种不相溶的液体，会更好理解），兑水稀释后的分布比例也完全相同，这是理解本题的难点与解题之关键所在。
试着分析题意，第一次喝半杯的纯牛奶，加满水后，一杯中含有半杯纯牛奶和半杯水，（假设均匀溶解）第二次喝的半杯中，就应当含有半杯牛奶的一半和半杯水的一半，即杯纯牛奶和杯水。
因此，两次总共喝了+=杯纯牛奶和0+=杯水。
因为每次喝半杯，总共喝了一杯，+=1，检验应当是正确的。
为了更好地理解题意，试着用图形帮助理解。
如下图，用一个黄色的正方形代表满满一杯纯牛奶。
第一次喝了一半，再加水（蓝色），变成一半水一半纯牛奶；
第二次喝掉纯牛奶和水的各一半。
结果果然如上。
（下面一行的四个图显示的是再“加满水”和“喝一半”各两次后的样子）
一杯纯牛奶喝掉一半加满水再喝掉（奶+水的）一半
再加满水再喝掉一半第三次加满水第四次喝一半
二、规律拓展
如果再这样子操作下去，情况会更复杂，但规律也更明显——看来作图帮助理解的话，图形选择非常重要，正方形平均分成两半还比较好做，但是次数一多显然不够用——用圆形可能会好一些（图略），用线段图的方法也可以考虑。
从图形中我们发现了规律：
水的变化比较复杂，但牛奶每次被喝掉的都是上一次剩下的一半，因此尝试从牛奶入手寻求解决方法。
这次尝试列表法。
喝的次数
纯牛奶（杯）
水（杯）
每次喝的量（杯）
1
2
3
4
……
n
-或
哈！
从喝第三次时规律就清晰了，原来既然牛奶每次只喝上一次剩下的一半，而每次都要喝半杯，因此剩下的部分就是喝的水咯！
而要计算喝第几次时纯牛奶的总量，只要将这几次的纯牛奶量相加即可得到——这里可以用到“等比数列求和”的知识，也可以看图帮助理解，这里不展开解释，有兴趣的可以自己研究。
直接给出结果：
+++…+=1-，即喝第n次时总共喝纯牛奶1-杯。
而水不要傻傻相加，会算到吐血的，同样可以利用规律，因为每次喝杯，喝n次就喝掉杯，剩下的就是水咯，因此喝第N次时总共喝水-（1-）杯。
三、题型拓展
看来到此为止，只要每次喝半杯，不论乐乐要喝几次，我们马上就能给出每次喝的以及总共喝的纯牛奶和水的量了。
但如果“调皮的”乐乐每次不喝半杯，而是喝杯的话，情况会一样吗？
这时画图显然没那么简单了（三等分不好画），仍然选用列表法。
（1-）×
=
×
（1--）×
（+）×
（1---）×
（++）×
分析到喝第三次，脑袋就有点不够用了，借助了一下图形，再回到表格，发现：
每次喝的纯牛奶是上一次剩下的部分的，越来越少，而每次喝的水则相当于“填补纯牛奶喝掉的空缺后”的，越来越多，但它们的和仍旧是杯，永远不变。
同样利用“等比数列”求和的方法，直接给出喝n次时喝的纯牛奶的总量的答案：
+++…+=1-，而因为喝n次总共喝了杯，因此喝的水的总量是-（1-）杯。
比较每次喝杯和杯的两种情况，喝n次时牛奶总量与每次喝几杯有很大关系，规律似乎是：
假设每次喝k杯（0<
k<
1），则喝n次时，所喝牛奶总量为1-（1-k）n杯，而所喝水的总量是kn-[1-（1-k）n]杯。
有毅力、有兴趣的同学可以尝试每次喝杯验证看看（其实k=0或1的极端情况也适用以上表达式，k=0表示每次都不喝，那么所喝牛奶和水永远都是0，k=1表示每次都全喝完，那么牛奶只喝1杯，而水喝n-1杯）。
四、经验归纳
做到这里，不论乐乐每次喝多少我们都能快速给出所喝纯牛奶与水的总量了，解题与分析暂告一段落。
回顾解题过程，我们得到的经验是：
1、复杂的问题需要慢慢分析，才有可能找到规律；
2、做题时可以借助画图和表格，但没有唯一正确的方法，要根据情况使用；
3、要相信自己，只要方向正确，计算上的困难都可以克服，反之，如果计算太过繁杂，试着检验一下自己的解题思路是否正确；
4、要常常变换思路，通过不同数据检验方法的正确性，寻找共同特征与普适规律，这样可以帮助简化问题。
总而言之，“牛奶兑水”是个可悲的“傻问题”（见“后记”），但只要我们仔细分析，从中发现规律，锻炼了数学思维，这样的问题还是有用的。
最后，“实践出真知”，体验过后我的结论是：
“牛奶兑水”不好喝，至少1：
1兑水口感有明显的差别——至于兑水比例多少能不影响口感，这个问题就有待同学们继续研究吧（我想奸商们肯定早就在研究了）。
加油！
后记：
“数学来源于生活，应用于生活”，一拿到题目，赶紧百度“牛奶兑水”之真伪，大吃一惊：
第一条，检验牛奶兑水的方法=鉴别牛奶中掺假的方法，看来牛奶兑水同样是奸商的手段之一啊；
第二条，“纯牛奶”就是奶粉兑水的还原奶，因此“纯牛奶”也不纯，还有香精等添加剂；
第三条，“牛奶不兑水日本人傻到家”，这个不解释，无语了；
第四条，为什么牛奶兑水喝不好，里面有一句“忌掺开水，水温高，营养成分有影响，而且温度忽然高，蛋白变性”，再次百度“牛奶加开水”证实确有其事【牛奶里含有水，蛋白质，脂肪，碳水化合物（乳糖），矿物质（主要是钙，铁，磷），维生素（A,B1,C，D,胡萝卜素）用开水冲牛奶会使营养物质流失，其中维生素B1，C，D损失最多，另外蛋白质也会发生凝固结块，冲牛奶最好的温度在60～65左右】。
看来“牛奶兑水”特别是兑开水是不健康，不仅会影响口感，还会破坏营养成分，正确的方法是加热到60°
C左右再喝。
Editedbyhcj0131
2015.5.21
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