历年初中数学竞赛试题精选(含解答)汇总Word格式.doc
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A.0 B.1或-1 C.2或-2 D.0或-2
2.解：
由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。
①当a，b，c为两正一负时：
；
②当a，b，c为两负一正时：
由①②知所有可能的值为0。
应选A
c
A
B
C
a
b
6、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°
，则的值为 （ ）
A. B.
C.1 D.
过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，则于∠B＝60°
，所以DB＝，AD＝。
在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－）2＝b2－C2，整理得a2＋c2=b2＋ac，从而有
应选C
7、设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为 （ ）
A. B. C.2 D.3
因为（a+b）2=6ab，（a-b）2=2ab，由于a<
b<
0，得，故。
应选A
8.已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
9、已知abc≠0，且a+b+c＝0，则代数式的值是 （ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
10、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为＿＿＿＿＿
设该商品的成本为a，则有a（1+p%）（1-d%）=a，解得
11、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________
由已知条件知（x+1）＋y=6，（x＋1）·
y=z2＋9，所以x＋1，y是t2－6t＋z2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z2＋9）＝－4z2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。
所以x+2y+3z＝8
12.气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：
①有7个是雨天；
②有5个下午是晴天；
③有6个上午是晴天；
④当下午下雨时上午是晴天。
则x等于（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
选C。
设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。
由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于x＝a+b+c+d=9。
13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时、、、千米，且满足＞＞＞＞0，其中，为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：
（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。
（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号？
解：
出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为
各艇追上④号艇的时间为
对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。
1、有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，若要在2小时内抽干，至少需水泵几台？
2.某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，若全安排在第一层，每间4人，房间不够，每间5人，则有房间住不满；
若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间住4人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？
3、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改进技术，每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？
4、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为 （ ）
A.3∶5 B.4∶3 C.4∶5 D.3∶4
5、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R等于 （ ）
A.5 B.7 C.9 D.10
6、某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（c<
a）天后，剩下工作由乙单独完成还需b天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（ ）天
A. B. C. D.
7、甲乙两辆汽车进行千米比赛，当甲车到达终点时，乙车距终点还有a千米（0＜a＜50）现将甲车起跑处从原点后移a千米，重新开始比赛，那么比赛的结果是 （ ）
A.甲先到达终点 B.乙先到达终点
C.甲乙同时到达终点 D.确定谁先到与a值无关
1、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的，然而实际情况并不理想，甲厂仅有的产品，乙厂仅有的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的，则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为＿＿＿＿＿＿＿
2、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客车每辆有40个座位，租金400元；
乙种客车每辆有50个座位，租金480元，则租用该公司客车最少需用租金＿＿＿＿＿元。
3、时钟在四点与五点之间，在＿＿＿＿＿＿＿时刻（时针与分针）在同一条直线上？
4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按＿＿＿＿＿%的利率获得了利润（精确到一位小数）
5、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二人相遇＿＿＿＿次。
6、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙比丙小7岁，三人的年龄之和是小于70的质数，且质数的各位数字之和为13，则甲、乙、丙三人的年龄分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三、解答题
1、某项工程，如果由甲乙两队承包，天完成，需付180000元；
由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；
由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元，现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？
2、甲、乙两汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲从其所订的汽车中转让给乙6辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍，试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量？
最少是多少辆？
3、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。
这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。
试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。
4、某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发到县城，由于汽车在赴校途中发生了故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分仍未见汽车来接，就步行走向县城，在行进途中遇到了已修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原来到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？
数学竞赛专项训练（5）方程应用参考答案
一、选择题
1、D。
解：
设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程：
，化简得，解得不合题意舍去）。
应选D。
2、C。
第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为
所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。
3、C。
若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为，
则解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。
4、B。
设甲乙合作用天完成。
由题意：
，解得。
故选B。
5、A。
A与B比赛时，A胜2场，B胜0场，A与B的比为2∶0。
就选A。
6、A。
设从起点到终点S千米，甲走（s+a）千米时，乙走x千米
7、B。
设小船自身在静水中的速度为v千米/时，水流速度为x千米/时，甲乙之间的距离为S千米，于是有求得所以。
8、C。
设A、B、C各人的年龄为A、B、C，则A＝B+C+16 ①
A2＝（B＋C）2+1632 ② 由②可得（A＋B＋C）（A－B－C）＝1632 ③，由①得A－B－C＝16 ④，①代入③可求得A＋B＋C＝102
二、填空题
1、2∶1。
解甲厂该产品的年产量为，乙厂该产品的年产量为。
则：
，解得
2、3520。
因为9辆甲种客车可以乘坐360人，故最多需要9辆客车；
又因为7辆乙种客车只能乘坐350人，故最多需要8辆客车。
①当用9辆客车时，显然用9辆甲种客车需用租金最少，为400×
9＝3600元；
②当用8辆客车时，因为7辆甲种客车，1辆乙种客车只能乘坐40×
7+50＝330人，而6辆甲种客车，2辆乙种客车只能乘坐40×
6+50×
2＝340人，5辆甲种客车，3辆乙种客车只能乘坐40×
5+50×
3＝350人，4辆甲种客车，4辆乙种客车只能乘坐40×
4+50×
4＝360人，所以用8辆客车时最少要用4辆乙种客车，显然用4辆甲种客车，4辆乙种客车时需用租金最少为400×
4+480×
4＝3520元。
3、4点分或4点分时，两针在同一直线上。
设四点过分后，两针在同一直线上，
若两针重合，则，求得分，
若两针成180度角，则，求得分。
所以在4点分或4点分时，两针在同一直线上。
4、20.3。
钱先生购房开支为标价的95%，考虑到物价上涨因素，钱先生转让房子的利率为
5、共11次。
60
100米
180
300
420
540
660
720
6、30岁、15岁、22岁。
设甲、乙、丙的年龄分别为岁、岁、岁，则
显然是两位数，而13＝4+9＝5+8＝6+7
∴只能等于67 ④。
由①②④三式构成的方程组，得，，。
1、设甲、乙、丙单独承包各需、、天完成，
则解得
再设甲、乙、丙单独工作一天，各需、、元，
则，解得
于是，甲队单独承包费用是45500×
4＝182000（元），由乙队单独承包费用是29500×
6＝177000（元），而丙不能在一周内完成，所以，乙队承包费最少。
2、解：
设甲、乙最后所购得的汽车总数为辆，在生产厂最后少供的6辆车中，甲少要了辆（），乙少要了（）辆，则有
，整理后得。
当时，最大，为90；
当时，最小为18。
所以甲、乙购得的汽车总数至多为90辆，至少为18辆。
3、解：
［方案一］：
当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站。
设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为，根据题意，有
解得，因此这8个人全部到火车站所需时间为
故此方案可行。
［方案二］：
当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站。
分析此方案可知，两批人员步行的距离相同，如图所示，D为无故障汽车人员下车地点，C为有故障汽车人员上车地点。
因此，设AC＝BD＝y，有
解得。
因此这8个人同时到火车站所需时间为
，故此方案可行。
火车站
D
·
故障点
4、解：
假定排除故障花时分钟，如图设点A为县城所在地，点C为学校所在地，点B为师生途中与汽车相遇之处。
在师生们晚到县城的30分钟中，有10分钟是因晚出发造成的，还有20分钟是由于从C到B步行代替乘车而耽误的，汽车所晚的30分钟，一方面是由于排除故障耽误了分钟，但另一方面由于少跑了B到C之间的一个来回而省下了一些时间，已知汽车速度是步行速度的6倍，而步行比汽车从C到B这段距离要多花20分钟，由此汽车由C到B应花（分钟），一个来回省下8分钟，所以有-8＝30 ＝38 即汽车在途中排除故障花了38分钟。
初中数学竞赛专项训练（7）
（逻辑推理）
一、选择题：
1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积 （ ）
A.6分 B.7分 C.8分 D.9分
2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；
乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜 （ ）
A.0局 B.1局 C.2局 D.3局
3、已知四边形ABCD从下列条件中①AB∥CD ②BC∥AD ③AB＝CD ④BC＝AD ⑤∠A＝∠C ⑥∠B＝∠D，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有 （ ）
A.4种 B.9种 C.13种 D.15种
4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排法的方案有 （ ）
A.1种 B.2种 C.4种 D.0种
5、正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有（ ）个
A.2 B.3 C.12 D.16
6、周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是 （ ）
A.15 B.14 C.13 D.12
7、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（ ）个展室。
A.23 B.22 C.21 D.20
8、一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最小要抽（ ）张才能保证有4张牌是同一花色的。
A.12 B.13 C.14 D.15
二、填空题：
1、观察下列图形：
①
②
③
④
根据①②③的规律，图④中三角形个数＿＿＿＿＿＿
2、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：
第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花花色的牌又按A，1，2，3，……J，Q，K的顺序排列，某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直到最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿＿
3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字一共可组成＿＿＿＿＿个能被5整除的三位数
4、将7个小球分别放入3个盒子里，允许有的盒子空着不放，试问有＿＿＿＿种不同放法。
5、有1997个负号“－”排成一行，甲乙轮流改“－”为正号“＋”，每次只准画一个或相邻的两个“－”为“＋”，先画完“－”使对方无法再画为胜，现规定甲先画，则其必胜的策略是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、有100个人，其中至少有1人说假话，又知这100人里任意2人总有个说真话，则说真话的有＿＿＿＿＿人。
1、今有长度分别为1、2、3、……、9的线段各一条，可用多少种不同的方法从中选用若干条组成正方形？
2、某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，证明至少有5人植树的株数相同。
3、袋中装有2002个弹子，张伟和王华轮流每次可取1，2或3个，规定谁能最后取完弹子谁就获胜，现由王华先取，问哪个获胜？
他该怎样玩这场游戏？
4、有17个科学家，他们中的每一个都和其他的科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论三个问题，每一对科学家互相通信时，仅仅讨论同一个问题。
证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信
数学竞赛专项训练（7）逻辑推理参考答案
1、答B。
4个队单循环比赛共比赛6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线。
应选B。
2、答B。
解有人胜一局，便有人负一局，已知总负局数为2+3+3＝8，而甲、乙胜局数为4+3＝7，故丙胜局数为8-7＝1，应选B。
3、答B。
共有15种搭配。
①和② ③和④ ⑤和⑥ ①和③ ②和④ ①和⑤ ①和⑥ ②和⑤ ②和⑥ 能得出四边形ABCD是平行四边形。
①和④ ②和③ ③和⑤ ③和⑥ ④和⑤ ④和⑥ 不能得出四边形ABCD是平行四边形。
4、答B。
设最后一排k个人，共n排，各排人数为k，k+1，k+2……k+（n－1）。
由题意，即，因k、n都是正整数，且n≥3，所以，且n与的奇偶性相同，将200分解质因数可知n＝5或n＝8，当n=5时，k=18，当n=8时，k＝9，共有两种方案。
5、答D。
由，以及若x不是整数，则［x］＜x知，2|n，3|n，6|n，即n是6的倍数，因此小于100的这样的正整数有个。
6、答C。
解设参加跳舞的老师有x人，则第一个是方老师和（6+1）个学生跳过舞；
第二是张老师和（6+2）个学生跳过舞；
第三个是王老师和（6+3）个学生跳过舞……第x个是何老师和（6+x）个学生跳过舞，所以有x＋（6+x）＝20，∴x＝7，20-7＝13。
故选C。
7、答C。
如图对展室作黑白相间染色，得10个白室，15个黑室，按要求不返回参观过的展室，因此，参观时必定是从黑室到白室或从白室到黑室（不会出现从黑到黑，或从白到白），由于白室只有10个，为使参观的展室最多，只能从黑室开始，顺次经过所有的白室，最终到达黑室，所以，至多能参观到21个展室。
8、选B。
4种花色相当于4个抽屉，设最少要抽x张扑克，问题相当于把x张扑克放进4个抽屉，至少有4张牌在同一个抽屉，有x=3×
4+1＝13。
1、解：
根据图中①、②、③的规律，可知图④中的三角形的个数为1+4+3×
4+32×
4+33×
4＝1+4+12+36+108＝161（个）
根据题意，如果扑克牌的张数为2、22、23、……2n，那么依照上述操作方法，剩下的一张牌就是这些牌的最后一张，例如：
手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64张牌，现在手中有108张牌，多出108-64＝44（张），如果依照上述操作方法，先丢掉44张牌，那么此时手中恰有64张牌，而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层，这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原顺序的第88张牌，按照两副扑克牌的花色排列顺序88-54-2-26＝6，所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6。
百位上的数共有9个，十位上的数共有10个，个位上的数共有2个，因此所有的三位数共9×
10×
2＝180。
设放在三个盒子里的球数分别为、、，球无区别，盒子无区别，故可令，依题意有，于是，，故x只有取3、4、5、6、7共五个值。
①时，，则只取3、2，相应取1、2，故有2种放法；
②＝4时，3，则只取3、2，相应取0、1，故有2种放法；
③＝5时，2，则只取2、1，相应取1、0，故有2种放法；
④＝6时，1，则只取1，相应取0，故有1种放法；
⑤＝7时，0，则只取0，相应取0，故有1种放法；
综上所求，故有8种不同放法。
5、解：
先把第999个（中间）“－”改为“＋”，然后，对乙的每次改动，甲做与之中心对称的改动，视数字为点，对应在数轴上，这1997个点正好关于点（999）对称。
6、解：
由题意说假话的至少有1人，但不多于1人，所以说假话的1人，说真话的99人。
三、1、解：
1+2+3+……9＝45，故正方形的边长最多为11，而组成的正方形的边长至少有两条线段的和，故边长最小为7。
7＝1+6＝2+5＝3+4
8＝1+7＝2+6＝3+5
9+1＝8+2＝7+
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