小学小升初奥数类型题总复习Word下载.docx

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例3、五位数能被72整除，问：

A与B各代表什么数字？

分析与解：

已知能被72整除。

因为72＝8×

9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。

根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。

再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为

　　A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，

因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。

在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。

练习：

1、六位数5A634B能被33整除，求A+B。

2、七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。

2 植树问题

①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。

基本公式：

棵树=段数＋1；

棵距（段长）×

段数=总长

②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。

棵树=段数－1；

③在封闭曲线上植树：

基本公式：

棵树=段数；

段数=总长关键问题：

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。

基本类型

在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树

在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树

在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树

封闭曲线上植树

基本公式

棵数=段数＋1

棵距×

棵数=段数－1

棵数=段数

关键问题

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

【例题1】一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵垂柳？

136÷

2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：

一共要栽69棵垂柳。

例2、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？

分析张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；

只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.

5分钟汽车共走了：

9×

（501-1）=4500（米），

汽车每分钟走：

4500÷

5=900（米），

汽车每小时走：

900×

60=54000（米）=54（千米）

列综合式：

（501-1）÷

5×

60÷

1000=54（千米）

1、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？

多少棵月季？

两棵月季之间的株距是多少米？

2.一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能

栽多少棵白杨树？

3,和差倍问题

和差问题

和倍问题

差倍问题

已知条件

几个数的和与差

几个数的和与倍数

几个数的差与倍数

公式适用范围

已知两个数的和，差，倍数关系

公式

①（和－差）÷

2=较小数

较小数＋差=较大数

和－较小数=较大数

②（和＋差）÷

2=较大数

较大数－差=较小数

和－较大数=较小数

和÷

（倍数＋1）=小数

小数×

倍数=大数

和－小数=大数

差÷

（倍数-1）=小数

小数＋差=大数

求出同一条件下的

和与差

和与倍数

差与倍数

例题1，和倍问题

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之

几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷

（几倍＋1）＝较小的数

总和－较小的数＝较大的数

较小的数×

几倍＝较大的数

【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

【例题】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏

树、桃树各多少棵？

（1）杏树有多少棵？

248÷

（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62×

3＝186（棵）

杏树有62棵，桃树有186棵。

1.东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？

例题2，和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷

2

小数＝（和－差）÷

【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；

复杂的题目变通后再用公式。

【例题】甲乙两班共学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

解：

甲班人数＝（98＋6）÷

2＝52（人）

乙班人数＝（98－6）÷

2＝46（人）

甲班有52人，乙班有46人。

1.长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积?

16.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，

甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

例题3，差倍问题

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之

几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两个数的差÷

（几倍－1）＝较小的数

较小的数×

几倍＝较大的数

【例题】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。

求

杏树、桃树各多少棵？

124÷

（3－1）＝62（棵）

果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

21.爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子

二人今年各是多少岁？

4．年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

【例题】爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？

明年呢？

解 35÷

5＝7（倍） （35+1）÷

（5+1）＝6（倍）

今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

28.母亲今年37岁，女儿7岁，几年后母亲年龄是女儿的4倍？

29.3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？

5，平面图形

⑴多边形的内角和

N边形的内角和=（N-2）×

180°

⑵等积变形（位移、割补）

①三角形内等底等高的三角形

②平行线内等底等高的三角形

③公共部分的传递性

④极值原理（变与不变）

⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2=a︰b；

S1︰S2=S4︰S3或者S1×

S3=S2×

S4

⑷相似三角形性质（份数、比例）

①;

S1︰S2=a2︰A2

②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;

S=（a+b）2

⑸燕尾定理

S△ABG：

S△AGC＝S△BGE：

S△GEC＝BE：

EC；

S△BGA：

S△BGC＝S△AGF：

S△GFC＝AF：

FC；

S△AGC：

S△BCG＝S△ADG：

S△DGB＝AD：

DB；

6，立体图形

⑴规则立体图形的表面积和体积公式

⑵不规则立体图形的表面积

整体观照法

⑶体积的等积变形

①水中浸放物体：

V升水=V物

②测啤酒瓶容积：

V=V空气+V水

⑷三视图与展开图

最短线路与展开图形状问题

⑸染色问题

几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

名称

图形

特征

表面积

体积

长方体

8个顶点；

6个面；

相对的面相等；

12条棱；

相对的棱相等；

S=2（ab+ah+bh）

V=abh

=Sh

正方体

所有面相等；

所有棱相等；

S=6a2

V=a3

圆柱体

上下两底是平行且相等的圆；

侧面展开后是长方形；

S=S侧+2S底

S侧=Ch

V=Sh

圆锥体

下底是圆；

只有一个顶点；

l:

母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；

S=S侧+S底

S侧=rl

球体

圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。

S=4r2

V=r3

5．鸡兔同笼问题

基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

①把所有鸡假设成兔子：

鸡数＝（兔脚数×

总头数－总脚数）÷

（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：

兔数＝（总脚数一鸡脚数×

总头数）÷

（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：

找出总量的差与单位量的差。

例1、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

先假设它们全是鸡。

于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看多多少。

每多2只脚就说明有一只兔；

将所多的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔子。

假设全是鸡，则足有：

2×

46＝92（只）

比总足数少的：

128－92＝36（只）

这些是因为兔子只算了2足，每只兔子还有2足没算，

所以：

兔子有36÷

2＝18（只）鸡有46－18＝28（只）

例2、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×

100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷

6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。

数数头有三十五，脚数共有

九十四。

请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

假设35只全为兔，则鸡数＝（4×

35－94）÷

（4－2）＝23（只）

兔数＝35－23＝12（只）

也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×

35）÷

（4－2）＝12（只）

鸡数＝35－12＝23（只）

有鸡23只，有兔12只。

练习.（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，

问鸡与兔各多少只？

6．盈亏问题

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．

基本题型：

①一次有余数，另一次不足；

总份数＝（余数＋不足数）÷

两次每份数的差

②当两次都有余数；

总份数＝（较大余数一较小余数）÷

③当两次都不足；

总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷

基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

确定对象总量和总的组数。

盈亏问题

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，

1）如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷

分配差

2）如果两次都盈或都亏，

则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷

分配差

3）参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷

【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；

若每人分4个就少1个。

问有多少小朋友？

有多少个苹果？

按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷

分配差”的数量关系：

（1）有小朋友多少人？

（11＋1）÷

（4－3）＝12（人）

（2）有多少个苹果？

3×

12＋11＝47（个）

有小朋友12人，有47个苹果。

31.修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；

如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。

这条路全长多少米？

32.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；

如果每辆车坐45人，就刚好坐完。

问有多少车？

多少人？

7．牛吃草问题

【含义】牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。

这

类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×

天数

【解题思路】解这类题的关键是求出草每天的生长量。

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；

再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

原草量和新草生长速度是不变的；

确定两个不变的量。

生长量=（较长时间×

长时间牛头数-较短时间×

短时间牛头数）÷

（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×

长时间牛头数-较长时间×

生长量；

一、牛吃草问题之基本

例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

问：

可供25头牛吃几天？

牧场上原有的草是不变的，草地每天新长出的草的数量相同。

设1头牛一天吃的草为1份。

10头牛20天吃：

200份，15头牛10天吃：

150份，

200－150＝50（份），20—10＝10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。

原有草：

（l0—5）×

20＝100（份）或（15—5）×

10＝100（份）。

当有25头牛时，每天吃了25份，又新长出来5份，所以每天减少20份

所以，这片草地可供25头牛吃：

100÷

20＝5（天）。

【例2】一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。

问多少头牛5天可以把草吃完？

草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×

天数。

求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？

设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即

（1×

10×

20）；

另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内

的生长量，所以1×

20＝原有草量＋20天内生长量，同理1×

15×

10

＝原有草量＋10天内生长量，由此可知（20－10）天内草的生长量为

1×

20－1×

10＝50。

因此草每天的生长量为50÷

（20－10）＝5。

（2）求原有草量

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×

10－5×

10＝100

（3）求5天内草总量

5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×

5＝125

（4）求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃

完草需要牛的头数：

125÷

5＝25（头）

需要5头牛5天可以把草吃完。

练习.有一块草场，可供15头牛吃8天，或可供8头牛吃20天。

如果一群

牛14天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头？

二、牛吃草问题之检票问题

例2某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。

旅客总数由两部分组成：

一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

设1个检票1分钟检票的人数为1份。

4个检票30分钟通过：

（4×

30）份，

5个检票20分钟通过：

（5×

20）份，

说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×

30-5×

20）份，所以每分钟新来旅客

20）÷

（30-20）=2（份）。

可以求出原有旅客为　　（4-2）×

30=60（份）或（5-2）×

20=60（份）。

同时打开7个检票时，每分钟减少7份，增加2份，就是每分钟减少原有的5份，或者理解为，让2个检票专门通过新来的旅客，其余的检票通过原来的旅客，需要60÷

（7-2）=12（分）。

三、牛吃草问题之抽水问题

例3、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。

先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。

如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；

如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。

那么出水管比进水管晚开多少分钟？

先进的水相当于原有的草，后放的水相当于后长的草，出水管排水相当于牛吃草。

设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×

8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×

5＝15（份），两者相差1份，相差3分，所以每分钟的进水量是,可以求出先放过水的水量为　16－×

8＝13　因为每分进，的以用的时间是13÷

＝40分

出水管比进水管晚开40分钟。

四、牛吃草问题之天牛吃草

例4由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？

与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。

但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。

设1头牛1天吃的草为1份。

20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，

相差：

100-90=10（份），相差1天，所以牧场1天减少青草10份，或者说寒冷相当于10头牛吃草。

所以牧场原有草：

20×

5＋10×

5＝150（份）。

　　150÷

10－10＝5头。

五、牛吃草问题之上楼梯问题

例5自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

该扶梯共有多少级？

“扶梯的梯级总数”相当于“总的草量”，“梯级上升”相当于“牛吃掉”，也可以看成牛吃草问题。

男孩5分钟走了20×

5＝100（级），

女孩6分钟走了15×

6＝90（级），

女孩比男孩多走一分钟，电梯也就多转一分钟，多了10（级），说明电梯1分钟上升10级。

由男孩5分钟到达楼上，他走了20×

5＝100级

扶梯5分钟本身上升10×

5＝50级，

100＋50＝150（级）。

1、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

第三块草地可供19头牛吃多少天？

2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。

假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？

8，逻辑推理

逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终找到问题的答案。

逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性，并且没有一定的解题模式。

因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律同一律，矛盾律和排中律。

①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。

②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既

不真也不假。

③“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，

在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。

例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。

　　第一盘，李明和小华对张虎和小红；

　　第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。

请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。

因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。

　　第一种可能是：

李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；

　　第二种可能是：

李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。

对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。

所以判断结果是：

张虎的妹妹是小华；

李明的妹妹是小林；

王宁的妹妹是小红。

1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。

赵说：

“甲是2号，乙是3号.”

钱说：

“丙是4号，乙是2号.”

孙说：

“丁是2号，丙是3号.”

李说：

“丁是4号，甲是1号.”

又知道赵、钱、孙、李