高一数学函数模型及其应用复习例题讲解Word文件下载.docx
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axk作为模型的应用问题很常见.
［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质
1
2%,每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
（已
3
知：
lg20.3010,lg30.4771）
222
［分析］每次过滤杂质含量降为原来的，过滤n次后杂质含量为？
（_）n，结合按
31003
市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型.
［解析］依题意，得—?
（-）n1，即
（2）n丄•则n（lg2lg3）（1lg2）,
故n丄墮
lg3lg2
10031000320
7.4,考虑到nN，即至少要过滤8次才能达到市场要求。
4•数学模型为对数函数的问题
形如ylogaX（a0且a1）的函数叫做对数函数，a1时，此函数为增函数;
0a1时，此函数为减函数，虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算。
［例］在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的质量M（kg）、火
箭（除燃料外）的质量m（kg）的关系v2000ln（1—）.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，
m
火箭的最大速度可达12km/s?
402.
［例］某城市现有人口100万，如果20年后该城市人口总数不超过120万，年自然增
长率应控制在多少以内?
［解］设年自然增长率为x，依题意有:
100（1x）20120,
（1x）201.2,
20lg（1x）lg1.2,
lg（1x）-lg1.2.
2
由计算器计算得x0.9%。
答：
年自然增长率应控制在0.9%以内。
5•比较函数模型的增长趋势
比较函数模型的增长趋势一般有两条途径：
（1）不等式的方法，即作差比较或解不等式；
（2）结合函数的图象，数形结合的方法。
［例］为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分）与通话费y（元）的关系如图所示.
（1）分别求出通话费y,、y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用
［分析］由图形可知，函数关系是线性关系，因此，可以用一次函数解决实际问题
［解］
（1）由图象可设y,k1x29,y2k2x，把点B（30,35）、C（30,15）分别代入所设
6、分段函数问题；
，国家征收个人工资、薪金所得税是分段
1000元部分需征税,
［考题1］“依法纳税是每个公民应尽的义务”
计算的：
总收入不超过1000元的，免征个人工资、薪金所得税；
超过
设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为x,x全月总收入一1000元,
税率见下表：
级数
全月应纳税所得额x
税率
不超过500兀部分
5%
超过500元至2000元部分
10%
超过2000元至5000元部分
15%
…45%
9
超过100000元部分
（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1—3级纳税额f（x）的计算公式•
（2）某人2000年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？
［解析］
（1）依税率表，有
第一级：
x?
5%,
第二级：
（x500）?
500?
第三级：
（x2000）?
1500?
5%.
0.05x
（0x
500）,
即f（x）
0.1（x500）25（500
x2000）,
0.15（x2000）
175（2000
x500C）
（2）这个人10月份纳税所得额x420010003200,
f（3200）0.15（32002000）175355.
这个人10月份应缴纳个人所得税355元。
［考题2］某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产
品还需要增加投资0.25万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售
的这种产品的数量为t（单位：
百件）时，销售所得的收入约为5t丄忙（万元）.
（1）若该公司的年产量为x（单位：
百件）（x0）时，试把该公司生产并销售这种产
品所得的年利润表示为当年产量x的函数.
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
［解析］
（1）当0x5时，产品全部出售，当x5时，产品只能出售500件.
又•/10.8010.75,•f（x）max10.80，此时x475（件）,
•当年产量为475件时，利润最大.
第三章单元知识梳理与能力整合
、考点聚焦
巫鞅的家点与算对应7）程相的矣系
T用二分法录方程的近臥讯卜
「T几吳不同增长的幽教模生1-
」建立灾陥问趣妁函轍模型一1
、基本思想总结
i
•数形结合的思想
数形结合的思想是本章重要的数学思想。
［例1］某公司试销一种成本单价为500元/件的新产
品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800
元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价X（元/件）可近似看作一次函数ykxb的关系（如图所示）。
（1）根据图象，求一次函数ykxb的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=
销售总价-成本总价）为S元。
①试用销售单价x表示毛利润S；
②试问销售单价定为多少
时，该公司可获得最大毛利润？
最大毛利润是多少？
此时的销售量是多少?
（i）
由图象知,
当
x600时，y400；
当
x700时，y300，代入
ykxb中，得
400
600k
b,
k
1,
解得
300
700k
b
1000.
•y
x1000（500
x
800）.
（2）销售总价=销售单价X销售量=xy，成本总价=成本单价X销售量=500y，代入求毛利润的公式，得
Sxy500yx（x100C）500（x100C）
x21500x500000
（x750）262500500x80C）.
•••当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件。
［点评］数形结合有两类题型，一类是函数关系是由图形给出的，另一类是函数关系是一种定性的变化关系，反映在图形上又是怎样的要能正确判断。
2•用函数与方程的思想解题
［例1］利用计算器，求方程x22x10的一个近似解（精确到0.1）
［解析］设f（x）x22x1，先画出函数图象的草图，如图的示
因为f
（2）10,f（3）20,
所以在区间（2,3）上，方程x22x10有一解，记为/
取2与3的平均数2.5
因为f（2.5）0.250,所以2x12.5.
再取2与2.5的平均数2.25
因为f（2.25）0.43750，所以2.25x12.5.
如此继续下去，得f
（2）0,f（3）0x,（2,3）
f
（2）0,f（2.5）0为（2,2.5）
f（2.25）0,f（2.5）0为（2.25,2.5）
f（2.375）0,f（2.5）0（2.375,2.5）
f（2.375）0,f（4375）0x1（2.375,2.4375）
因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为x12.4.
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解。
［点评］利用函数图象的性质求方程的根，这是因为若f（a）?
f（b）0,且f（X）在
x（a,b）内单调，则必存在一个c，使f（c）0成立。
三、基本方法总结
1.方程的根与函数的零点：
方程f（x）0有实数根函数yf（x）的图象与x轴有
交点yf（x）有零点.
2•零点判断法
如果函数vf（x）在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）?
f（b）0,那么，函数yf（x）在区间（a,b）内有零点，即存在c（a,b），使得
f（c）0,这个c也就是方程f（x）0的根。
3•用二分法求零点的近似值的步骤：
第1步：
确定区间［a,b］，验证f（a）?
f（b）<
0,给定精确度；
第2步：
求区间（a.,b）的中点x1；
第3步：
计算fg）；
（1）若f（xj0，则花就是函数的零点；
（2）若f（a）?
f（x1）0，则令b为［此时零点x0（a,xd］；
（3）若f（x1）?
f（b）0，则令ax1［此时零点x°
（x1,b）］.
第4步：
判断是否达到精确度：
即若|ab|，则得到零点近似值a（或b）;
否
则重复
（2）〜（4）。
4•函数模型的应用实例
解函数应用问题，一般地可按以下四步进行。
第一步，阅读理解、认真审题。
就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学
实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。
在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试找出问题的函数关系，审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敢于发现、
归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化。
第二步：
引进数学符号，建立数学模型。
一般地设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数
学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。
第三步：
禾U用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。
第四步：
再转译成具体问题作出回答。
四、典型例题
1•读图识图题
这类问题是将实际问题用图象表示出来，让同学们根据题意作出符合题意的图象，能够
考查学生的读图和识图能力。
［例1:
（1）图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有（）
1这几年人民的生活水平逐年得到提高；
1“
-生濡覺就入揺钦
11€
110
105
10U
x生津阶褐拥敏
11i
2人民生活费收入增长最快的一年是1998;
3虽然2000年生活费收入增长是缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民的生活仍有较大改善。
A.1项B.2项C.3项
D.0项
［解析］本题主要考查阅读理解能力以及函数曲线变化
的观察识别能力，根据图象（如图），“生活费收入指数”减
去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”1998年〜1999年
最“陡”，故②正确，生活价格指数下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故③正确，选Co
（2）一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫，下列各图能
基本上反映出亮亮这一天（0时〜24时）体温的变化情况是（）.
［例2］甲、乙两人连续6年对某农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两
个方面的信息如图所示。
J
1丰均牡
'
甲色也鞅
卜«
3<
-•
8
*
r*
:
**
・■>
t：
5456i
19
I2iiji\
乙
甲调查表明：
每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只。
乙调查表明：
甲鱼池个数由第1个30年减少到第6年10个.
请你根据提供的信息说明：
（1）第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数；
（2）到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？
说明理由；
（3）哪一年的规模最大？
说明理由。
［解析］首先根据图象可知，两种调查信息都符合一次函数，因此，可以采用待定系数
法求出函数的解析式，下面的问题就容易解决了。
（1）由图可知，直线y甲kxb，经过（1,1）和（6,2）可求得k0.2,b0.8.
•••y甲0.2（x4）.
同理可得y乙4（x号）.
第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为
261.231.2（万只）
30万只，而第6年出产甲鱼总数为20
（2）规模缩小，原因是：
第一年出产甲鱼总数万只。
（3）设第x年规模最大，即求
由实际问题的意义可知:
0,x0,
2x0.
3/50\2
（x）
23
50
x时，Sj3
18050
3.
故当长方形一端落在
J
25M3
AB边上离B点m处时，公寓占地面积最大。
3、已知和选择函数模型题
［例1］某地上年度电价为0.8元，年用量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55元一0.75
元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x0.4）元成反比例,
又当x0.65元时，y0.8.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每度电的成本价为0.3,则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？
［收益=用电量（实际电价一成本价）］
［解析］
（1）vy与x0.4成反例，.••设y
所以，取x0.6.
当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。
［例2］根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从2000年到2020年间要
翻两番，问这20年间，年平均增长率至少要多少，才能完成这一阶段构想？
［解析］这是一个增长率问题，按照每年的顺序，借助指数函数的性质逐步推导出公式，从而建立目标函数.
解：
设平均每年的增长率为X
从2000年到2020年共计21个年头，若2000年工农业总产值为1，贝U2001,2002,
2003，…的年总产值分别为（1x）,（1x）2,（1x）3,,第n个年头为（1x）n1.
根据题意，有（1x）2022,
两边取对数得20lg（1x）2lg2,lg（1x）Ig2,
lg（1x）0.030,•1x1.072,•x0.0727.2%,
即平均每年增长7.2%，就可完成第二阶段的任务。
［例3］某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1
万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件。
由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产
量销售情况良好，为了推销员在推销产品时，接收定单不至少过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？
［解析］首先建立直角坐标系，画出散点图（如图）；
其次，根据散点图，我们可以设
想函数模型可能为一次函数：
f（x）kx
b（k
0）；
二次函数：
g（x）ax
bx
c（a
幕函数型：
h（x）
ax2
b;
指数函数型：
l（x）
abx
c
g
（1）abc1,g
（2）4a2bc1.2,
g（3）9a3bc1.3.
解得a0.05,b0.35,c0.7,故g（x）0.05x20.35x0.7.
将D点的坐标代入，得
g（4）0.05420.3540.71.3，与实际误差为0.07.
（3）对于幕函数型h（x）ax2b，将a、B两点的坐标代入，有
h
（1）ab1,
h
（2）,2ab1.2.
解得a0.48,h0.52.
故h（x）0.48x20.52.
将C、D两点的坐标代入，得
h（3）0.48、30.521.35，与实际误差为0.05;
h（4）0.4820.521.48，与实际误差为0.11.
（4）
对于指数函数型
1（x）abxc，将a、B、C三点的坐标代入，得
1
（1）
abc
1
（2）
ab2c
1.2,
1（3）
ab3c
1.3.
解得:
a
0.8,b
0.5,c1.4.
故
1（x）
0.8
（0.5）x1.4,
1（4）0.8（0.5）41.41.35，与实际误差为0.02。
比较上述4个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为1（x）最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随
着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，
那么产量必然要趋于稳定，而1（x）恰好反映了这种趋势，因此选用1（x）0.8（0.5）x1.4
比较接近客观实际。
五、同步练习
1、李老师骑自行车上班，最初某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误几分钟，为了按照到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s（km）与行进时间t（h）的函数图象的示意图，同学
［解析］李老师最初以某一速度匀速行进，则svt;
中途停下，则sS0（定值），
至此排除A;
修好车后，仍保持匀速行进，S增大，排除B;
修好车后，李老师加快了速度，
因此SS0Vt,但VV,即这时直线的斜率变大了，因此排除Do
［答案］C
2、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a,,a2,……
an共n个数据，我们规定所测量的物理量的"
最佳近似值”a是这样一个量：
与其他近似
值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从a,,a2,……,an推出的
a=.（1994年全国高考试题）
分析：
此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问
题.
由题意可知，所求a应使y=（a-a1）2+（a-a2）2+…+（a-an）2最小
.t,2222
由于y=na-2（a1+a2+—+an）a+（印+a2+…+an）+
若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.
框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域.
所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所
以属于函数关系的简单应用.
m2xx
如图，设AB=2x,则CD弧长=nx,于是AD=—
axlogax的解的个数。
［解析］利用Exce、图形计算器或其他画图软件，可以方便地画出函数的图象，随着a
投资A种商品金额（万元）
4
5
6
获纯利润（万元）
0.65
1.39
1.85
1.84
1.40
投资B种商品金额（万兀）
0.25
0.49
0.76
1.26
1.51
6、某个体经营者把开始六个月试销
A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才
最合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）
［解析］以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如图所示:
据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系。
ya（x4）22（a0），①ybx.②
把x1,y0.65代入①式，得0.65a（14）22，解得a0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用
y0.15（x4）22表示，再把x4,y1代入②式，得b0.25，故前
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