高考数学专题二函数第练函数模型及其应用练习解析.doc

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【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题二函数第13练函数模型及其应用练习

训练目标

（1）函数模型应用；

（2）审题及建模能力培养.

训练题型

函数应用题.

解题策略

（1）抓住变量间的关系，准确建立函数模型；

（2）常见函数模型：

一次函数、二次函数模型；指数、对数函数模型；y＝ax＋型函数模型.

1．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

2．（2015·广东江门普通高中调研测试）某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12m2的矩形，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5200元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？

最低总造价是多少？

3．铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：

行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行李质量为xkg，托运费用为y元．

（1）写出函数y＝f（x）的解析式；

（2）若行李质量为56kg，托运费用为多少？

4．（2015·湖北曾都、枣阳、襄阳、宜城一中期中）国庆期间襄阳某体育用品专卖店抓住商机大量购进某特许商品进行销售，该特许产品的成本为20元/个，每日的销售量y（单位：

个）与单价x（单位：

元）之间满足关系式y＝＋4（x－50）2，其中20

（1）求a的值及每日销售该特许产品所获取的总利润L（x）；

（2）试确定单价x的值，使所获得的总利润L（x）最大．

5．（2015·湖州上学期期末质量检测）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m（1≤m≤4且x∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝mf（x），其中f（x）＝

（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？

（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．

答案解析

1．解　设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞0得：

0＜x＜30，设客房租金总收入为y元，

则有：

y＝（20＋2x）（300－10x）＝－20（x－10）2＋8000（0＜x＜30）．

由二次函数性质可知当x＝10时，ymax＝8000.

所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40（元）时，客房租金总收入最高，为每天8000元．

2．解　设房屋地面长为ym，宽为xm，总造价为z元（x，y，z>0），则xy＝12，z＝3y×1200＋2×3x×800＋5200.

∵y＝，∴z＝＋4800x＋5200.

∵x>0，y>0，∴z≥2＋5200＝34000.

当＝4800x，即x＝3时，z取最小值，最小值为34000元．

答　房屋地面长4m，宽3m时，总造价最低，最低总造价为34000元．

3．解　

（1）设行李质量为xkg，托用费用为y元，

①若0

②若50

③若x>100，则y＝30＋0.45×（x－100）．

所以，由①②③可知

y＝

（2）因为50kg<56kg≤100kg，

所以y＝12.5＋6×0.35＝14.6（元）．

故若行李质量为56kg，托运费用为14.6元．

4．解　

（1）由y＝＋4（x－50）2，取x＝40，y＝401，得

401＝＋4（40－50）2，解得a＝20.

所以y＝＋4（x－50）2，则每日销售该特许产品所获取的总利润为L（x）＝y（x－20）＝[＋4（x－50）2]（x－20）

＝20＋4（x－50）2（x－20）（20

（2）由L（x）＝20＋4（x－50）2（x－20）＝4x3－480x2＋18000x－199980，得L′（x）＝12x2－960x＋18000＝12（x－30）（x－50）．

当x∈（20,30）时，L′（x）>0，L（x）为增函数；

当x∈（30,50）时，L′（x）<0，L（x）为减函数．

所以当x＝30时，L（x）max＝16020.

所以当销售单价为30元/个时，所获得的总利润L（x）最大．

5．解　

（1）因为m＝3，所以y＝

当0≤x<6时，由≥2，解得x≤11，此时0≤x<6；

当6≤x≤8时，由12－≥2，解得x≤，此时6≤x≤.

综上所述，0≤x≤.

故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．

（2）方法一　当6≤x≤8时，y＝2×（4－x）＋m[]＝8－x＋，

因为8－x＋≥2对6≤x≤8恒成立，

即m≥对6≤x≤8恒成立，

等价于m≥（）max,6≤x≤8.

令g（x）＝，则函数g（x）＝在[6,8]上是单调增函数，

当x＝8时，函数g（x）＝取得最大值，

所以m≥，所以所求m的最小值为.

方法二　当6≤x≤8时，y＝2×（4－x）＋m[]＝8－x＋，

注意到y1＝8－x及y2＝（1≤m≤4且m∈R）均在[6,8]上单调递减，

则y＝8－x＋在[6,8]上单调递减，

故y≥8－8＋＝，由≥2，得m≥.

所以所求m的最小值为.

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