学高中数学第三章函数的应用..函数模型的应用实例练习新人教A版讲义.doc

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3.2.2　函数模型的应用实例

一、A组

1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是（　　）

A.甲比乙先出发

B.乙比甲跑的路程多

C.甲、乙两人的速度相同

D.甲先到达终点

解析:

由题图知甲所用时间短,则甲先到达终点.

答案:

D

2.用长度为24m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为（　　）

A.3m B.4m C.5m D.6m

解析:

设隔墙长为xm,则矩形场地长为=（12-2x）m.所以矩形面积为S=x（12-2x）=-2x2+12x=-2（x-3）2+18,即当x=3m时,矩形面积最大.

答案:

A

3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则x,y之间的函数关系式为（　　）

A.y=0.957 B.y=0.9576100x

C.y= D.y=1-0.04

解析:

特殊值法,取x=100代入选项,只有A正确.

答案:

A

4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是（　　）

A.升高7.84% B.降低7.84%

C.降低9.5% D.不增不减

解析:

设该商品原价为a,

四年后的价格为

a（1+0.2）2·（1-0.2）2=0.9216a.

所以（1-0.9216）a=0.0784a=7.84%a,

即比原来降低7.84%.

答案:

B

5.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为（　　）

A.125 B.100 C.75 D.50

解析:

由已知得a=a·e-50k,即e-50k=.

∴a=·a=（e-50k·a=e-75k·a,

∴t=75.

答案:

C

6.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.若N=40,则t≈　　　　　.（已知lg2≈0.301,lg3≈0.477）. 

解析:

当N=40时,

则t=-144lg=-144lg

=-144（lg5-2lg3）

=-144（1-lg2-2lg3）≈36.72.

答案:

36.72

7.某汽车在同一时间内速度v（单位:

km/h）与耗油量Q（单位:

L）之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为　　　　　km/h时,汽车的耗油量最少. 

解析:

Q=0.0025v2-0.175v+4.27

=0.0025（v2-70v）+4.27

=0.0025[（v-35）2-352]+4.27

=0.0025（v-35）2+1.2075.

故v=35km/h时,耗油量最少.

答案:

35

8.导学号29900137一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.

给出以下3个论断:

①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是　　　　　　. 

解析:

从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故①正确;由排水速度知②正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口（速度快的）、1个排水口,故③不正确.

答案:

①②

9.如图所示,已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4m,CD=6m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.

（1）设MP=xm,PN=ym,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;

（2）求矩形BNPM面积的最大值.

解:

（1）如图所示,延长NP交AF于点Q,

所以PQ=8-y,EQ=x-4.

在△EDF中,,所以.

所以y=-x+10,定义域为[4,8].

（2）设矩形BNPM的面积为S,

则S=xy=x=-（x-10）2+50.

又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.

所以当MP=8m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48m2.

10.导学号29900138（2016·河北正定中学高一月考）经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（单位:

件）与价格（单位:

元）均为时间t（单位:

天）的函数,且日销售量近似满足函数g（t）=80-2t,而且销售价格近似满足于f（t）=

（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式;

（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.

解:

（1）由已知得y=f（t）·g（t）

=

=

（2）由

（1）知,①当0≤t≤10时,

y=-t2+10t+1200=-（t-5）2+1225.

该函数在区间[0,5]上递增,在区间（5,10]上递减,

则ymax=1225（当t=5时取得）,ymin=1200（当t=0或t=10时取得）.

②当10

该函数在区间（10,20]上递减,则y<2000-800=1200,ymin=600（当t=20时取得）.

由①②知,ymax=1225（当t=5时取得）,ymin=600（当t=20时取得）.

二、B组

1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y（单位:

只）与引入时间x（单位:

年）的关系为y=alog2（x+1）,若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到（　　）

A.300只 B.400只 C.600只 D.700只

解析:

将x=1,y=100代入y=alog2（x+1）得,100=alog2（1+1）,解得a=100,

所以当x=7时,y=100log2（7+1）=300.

答案:

A

2.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有（　　）

A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45

C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30

解析:

设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则

y=xQ-P=x

=x2+（a-5）x-1000,

其中x∈（0,+∞）.

由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.

∴整理得

解得

答案:

A

3.导学号29900139如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f（x）的图象大致是（　　）

解析:

依题意,当0

当1

=×1-×1×（x-1）-×（2-x）=-x+;

当2

=×1-×（1+x-2）×1

=x+=-x+.

∴y=f（x）=

再结合题图知应选A.

答案:

A

4.已测得（x,y）的两组值为（1,2）,（2,5）,现有两个拟合模型,甲:

y=x2+1,乙:

y=3x-1.若又测得（x,y）的一组对应值为（3,10.2）,则选用　　　　　作为拟合模型较好. 

解析:

对于甲:

当x=3时,y=32+1=10,对于乙:

当x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.

答案:

甲

5.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少需要清洗的次数是　　　　　.（lg2≈0.3010） 

解析:

设至少要洗x次,则,

∴x≥≈3.322,所以至少需要洗4次.

答案:

4

6.某市出租车收费标准如下:

起步价为8元,起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）;超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶的路程为　　　　　km. 

解析:

设乘客每次乘坐出租车需付费用为f（x）元,

由题意可得,f（x）

=

令f（x）=22.6,显然9+5×2.15+（x-8）×2.85=22.6（x>8）,解得x=9.

答案:

9

7.在固定压力差（压力差为常数）下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R与管道半径r的四次方成正比.

（1）写出函数解析式;

（2）假设气体在半径为3cm的管道中,流量速率为400cm3/s.求该气体通过半径为rcm的管道时,其流量速率R的表达式;

（3）已知

（2）中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率.（精确到1）

解:

（1）由题意,得R=kr4（k是大于0的常数）.

（2）由r=3cm,R=400cm3/s,

得k·34=400,∴k=,

故速率R的表达式为R=·r4.

（3）∵R=·r4,

∴当r=5cm时,R=×54≈3086（cm3/s）.

8.导学号29900140下表是某款车的车速与刹车后的停车距离,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离.

车速/（km/h）

10

15

30

40

50

停车距离/m

4

7

12

18

25

车速/（km/h）

60

70

80

90

100

停车距离/m

34

43

54

66

80

解:

若以y=a·ekx为模拟函数,将（10,4）,（40,18）代入函数关系式,

得解得

∴y=2.4228e0.050136x.

以此函数式计算车速度为90km/h,100km/h时,停车距离分别约为220.8m,364.5m,与实际数据相比,误差较大.

若以y=a·xn为模拟函数,将（10,4）,（40,18）代入函数关系式,得解得

∴y=0.3289x1.085.

以此函数关系计算车速度为90km/h,100km/h时,停车距离分别约为43.39m,48.65m,与实际情况误差也较大.

若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将（10,4）,（40,18）,（60,34）代入函数式,得

解得∴y=x2+x+2.

以此函数解析式计算车速为90km/h,100km/h时,停车距离分别为68m,82m,与前两个相比,它较符合实际情况.

当x=120时,y=114m.故当车速为120km/h时,停车距离为114m.

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