高一集合知识点总结.docx

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高一集合知识点总结

2019年高一集合知识点总结

数学是培养逻辑思维能力，分析能力的重要学科，下面是为大家搜集整理的高一集合知识点总结，欢迎大家阅读与借鉴，希望能够给你带来帮助。

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：

世界上最高的山

（2）元素的互异性如：

集合中的任意两个元素都是不同的

（3）元素的无序性:

集合中的元素之间是没有顺序的。

如：

{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示方法：

列举法与描述法。

注意：

常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：

N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1）列举法：

将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

2）描述法：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:

4、集合的分类：

（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无限集含有无限个元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合例：

{x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系

属于：

;包含于：

;

属于与包含于的区别：

属于是元素与集合之间的关系，例如：

元素a属于集合A{a，b｝

包含于是集合与集合之间的关系。

例如：

集合A{a}包含于集合B{a，c｝

1.“包含”关系—子集

注意：

有两种可能

（1）A是B的一部分，;

（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2.“相等”关系：

A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

即：

①任何一个集合是它本身的子集。

AA

②真子集:

如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

一．知识归纳：

1．集合的有关概念。

1）集合（集）：

某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素

注意：

①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?

A和a?

A，二者必居其一）、互异性（若a?

A，b?

A，则ab）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：

凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

2）集合的表示方法：

常用的有列举法、描述法和图文法

3）集合的分类：

有限集，无限集，空集。

4）常用数集：

N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：

若对xA都有xB，则AB（或AB）；

2）真子集：

AB且存在x0B但x0A；记为AB（或，且）

3）交集：

AB={x|xA且xB}

4）并集：

AB={x|xA或xB}

5）补集：

CUA={x|xA但xU}

注意：

①?

A，若A?

，则?

A；

②若，，则；

③若且，则A=B（等集）

3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：

（1）与、?

的区别；

（2）与的区别；（3）与的区别。

4．有关子集的几个等价关系

①AB=AAB；②AB=BAB；③ABCuACuB；

④ACuB=空集CuAB；⑤CuAB=IAB。

5．交、并集运算的性质

①AA=A，A?

=?

，AB=BA；②AA=A，A?

=A，AB=BA；

③Cu（AB）=CuACuB，Cu（AB）=CuACuB；

6．有限子集的个数：

设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：

【例1】已知集合M={x|x=m+,mZ},N={x|x=,nZ},P={x|x=,pZ}，则M,N,P满足关系

A）M=NPB）MN=PC）MNPD）NPM

分析一：

从判断元素的共性与区别入手。

解答一：

对于集合M：

{x|x=,mZ}；对于集合N：

{x|x=,nZ}

对于集合P：

{x|x=,pZ}，由于3（n-1）+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。

分析二：

简单列举集合中的元素。

解答二：

M={，，}，N={，,,，}，P={，,，}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

=N，N，MN，又=M，MN，

=P，NP又N，PN，故P=N，所以选B。

点评：

由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：

设集合，，则（B）

A．M=NB．MNC．NMD．

解：

当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义集合A*B={x|xA且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

A）1B）2C）3D）4

分析：

确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：

集合A={a1，a2，，an}有子集2n个来求解。

解答：

∵A*B={x|xA且xB}，A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。

选D。

变式1：

已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若aM，则6?

aM，那么集合M的个数为

A）5个B）6个C）7个D）8个

变式2：

已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

解：

由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?

4x+r=0},且AB={1},AB={?

2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：

∵AB={1}1B12?

41+r=0,r=3.

B={x|x2?

4x+r=0}={1,3},∵AB={?

2,1,3},?

2B,?

2A

∵AB={1}1A方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

变式：

已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且AB={2},AB=B，求实数b,c,m的值.

解：

∵AB={2}1B22+m?

2+6=0,m=-5

B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵AB=B

又∵AB={2}A={2}b=-（2+2）=4,c=22=4

b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|（x-1）（x+1）（x+2）0},集合B满足：

AB={x|x-2}，且AB={x|1

分析：

先化简集合A，然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

解答：

A={x|-21}。

由AB={x|1-2}可知[-1,1]B，而（-,-2）B=ф。

综合以上各式有B={x|-15}

变式1：

若A={x|x3+2x2-8x0}，B={x|x2+ax+b0},已知AB={x|x-4}，A,求a,b。

（答案：

a=-2，b=0）

点评：

在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式2：

设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若MN=N，求所有满足条件的a的集合。

解答：

M={-1,3},∵MN=N,NM

①当时，ax-1=0无解，a=0②

综①②得：

所求集合为{-1，0，}

【例5】已知集合，函数y=log2（ax2-2x+2）的定义域为Q，若P，求实数a的取值范围。

分析：

先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在有解，再利用参数分离求解。

解答：

（1）若，在内有有解

令当时，

所以a-4,所以a的取值范围是

变式：

若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

解答：

点评：

解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。