集合知识点总结及习题Word格式.doc
《集合知识点总结及习题Word格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《集合知识点总结及习题Word格式.doc(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合 例:
{x∈R|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
定义:
若对任意的x∈A,都有x∈B,则称集合A是集合B的子集,
记为(或BA)
注意:
①有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
②符号∈与的区别
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:
A=B
如果AÍ
B同时BÍ
A那么A=B
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
3.真子集:
B,且存在元素x∈B,但xA,那么就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
4.性质
①任何一个集合是它本身的子集。
AÍ
A
②如果AÍ
B,BÍ
C,那么AÍ
C
③如果AÍ
5.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
u有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交集
并集
补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
S
记作,即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
B﹤=﹥AB=A
AA=A
AΦ=A
ABA
ABB
B﹤=﹥AB=B
(CuA)(CuB)=Cu(AB)
(CuA)(CuB)=Cu(AB)
A(CuA)=UA(CuA)=Φ.
第一章:
集合与函数的概念
第一课时:
集合
1.1集合的含义与表示
1.1.1集合的含义:
我们一般把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称集。
通常用大写字母A、B、C等表示集合,用小写字母a、b、c等表示元素,元素与集合之间的关系是属于和不属于。
元素a属于集合A,记做a∈A,反之,元素a不属于集合A,记做aA。
1.1.2集合中的元素的特征:
①确定性:
如世界上最高的山;
②互异性:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y};
③无序性:
如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。
1.1.3集合的表示方法:
①列举法;
②描述法;
③Venn图;
④用数轴表示集合。
常用数集及记法有
非负整数集(即自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
N
N+或N*
Z
Q
R
1.1.4集合的分类:
①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。
②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。
本节精讲:
一.如何判断一些对象是否组成一个集合:
判断一组对象能否组成集合,主要是要看这组对象是否是确定的,即对任何一个对象,要么在这组之中,要么不在,二者必居其一,如果这组对象是确定的,那么,这组对象就能够组成一个集合。
例:
看下面几个例子,判断每个例子中的对象能否组成一个集合。
(1)大于等于1,且小于等于100的所有整数;
(2)方程x2=4的实数根;
(3)平面内所有的直角三角形;
(4)正方形的全体;
(5)∏的近似值的全体;
(6)平面集合中所有的难证明的题;
(7)著名的数学家;
(8)平面直角坐标系中x轴上方的所有点。
解:
练习:
考察下列各组对象能否组成一个集合,若能组成集合,请指出集合中的元素,若不能,请说明理由:
(1)平面直角坐标系内x轴上方的一些点;
(2)平面直角坐标系内以原点为圆心,以1为半径的园内的所有的点;
(3)一元二次方程x2+bx-1=0的根;
(4)平面内两边之和小于第三边的三角形
(5)x2,x2+1,x2+2;
(6)y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0);
(7)2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0;
(8)新华书店中意思的小说全体。
二.有关元素与集合的关系的问题:
确定元素与集合之间的关系,即元素是否在集合中,还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。
集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是()
A、2∈A,且2∈BB、(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C、2∈A,且(3,10)∈BD、(3,10)∈A,且2∈B
3.1415Q;
∏Q;
0R+;
1{(x,y)|y=2x-3};
-8Z;
三.有关集合中元素的性质的问题:
集合中的元素有三个性质:
分别是①确定性②互异性③无序性
集合A是由元素n2-n,n-1和1组成的,其中n∈Z,求n的取值范围。
n是不等于1且不等于2的整数。
练习:
1.已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},a≠0,且M与N中的元素完全相同,求d和q的值。
2.已知集合A={x,,1},B={x2,x+y,0},若A=B,则x2009+y2010的值为,A=B=.
3.
(1)若-3∈{a-3,2a-1,a2-4}求实数a的值;
(2)若∈{m},求实数m的值。
4.已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N,求a,b的值。
5.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},
(1)若A中只有一个元素,求a的值;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围。
四.集合的表示法:
三种表示方法
练习;
1.用列举法表示下列集合。
(1)方程x2+y2=2d的解集为;
x-y=0
(2)集合A={y|y=x2-1,|x|≤2,x∈Z}用列举法表示为;
(3)集合B={∈Z|x∈N}用列举法表示为;
(4)集合C={x|=+,a,b是非零实数}用列举法表示为;
2.用描述法表示下列集合。
(1)大于2的整数a的集合;
(2)使函数y=有意义的实数x的集合;
(3){1、22、32、42、…}
3.用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系:
(1)A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={矩形},F={正方形};
(2)某班共30人,其中15人喜欢篮球,10人喜欢兵乓球,8人对这两项运动都不喜欢,则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为,用Venn图表示为:
。
五.有关集合的分类:
六.集合概念的综合问题:
练习
1.若,则t的值为_____________;
2.设集合A={y|y=x2+ax+1,x∈R},B={(x,y)|y=x2+ax+1,x∈R},试求当参数a=2时的集合A和B;
3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},求
(1)若集合A为空集,则a的取值范围;
(2)若集合A中只有一个元素,求a的值,并写出集合A;
(3)若集合A中至少有一个元素,则a的取值范围。
1.1课后作业:
1.判断下列各组对象能否组成集合:
(1)不等式的整数解的全体;
(2)我班中身高较高的同学;
(3)直线上所有的点;
(4)不大于10且不小于1的奇数。
2.用符号或填空:
(1)2______
(2)______ (3)0______
(4)______ (5)0______(6)
(7)(8)
(9)
3.写出下列集合中的元素(并用列举法表示):
(1)既是素数又是偶数的整数组成的集合
(2)大于10而小于20的合数组成的集合
4.用适当的方法表示:
(1)(x+1)2=0的解集;
(2)方程组的解集;
(3)方程3x-2y+1=0的解集;
(4)不等式2x-1≥0的解集;
(5)奇数集;
(6)被5除余1的自然数组成的集合。
5.集合{1,a2}中a的取值范围。
1.2集合间的基本关系
1.2.1子集:
一般地,两个集合A和B,如果
集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,
我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记做AB(或BA),读作“A包含于B”(或“B包含A”)。
如右图示。
比如说,集合A={1、2、3},集合B={1、2、3、4、5},那么,集合A中的元素1、2、3都属于集合B,所以,集合A为集合B的子集,记做AB(或BA)。
1.2.2集合相等:
如果集合AB且BA时,集合A中的元素与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记做A=B。
或AB。
1.2.3真子集:
如果集合,但存在元素,且,我们称集合A是集合B的真子集。
记作:
AB(或BA)也可记作:
(或)
1.2.4空集:
我们把不含任何元素的集合叫做空集,记做,并规定:
空集是任何非空集合的子集(当然是真子集)
一.集合间的包含与相等的问题:
对于集合相等,我们要从以下三个方面入手:
①若集合AB且BA时,则A=B;
反之,如果A=B,则集合AB且BA。
这就给出了我们证明两个集合相等的方法,即欲要证明A=B,只需要证明AB和BA都成立就行了。
②两个集合相等,则所含元素完全相同,与集合中元素的顺序无关。
③要判断两个集合是否相等,对于元素较少的有限集合,可以用列举法将元素列举出来,看看两个集合中的元素是否完全相同;
若是无限集合,则因从“互为子集”两个方面入手。
若集合,,且满足,求实数的取值范围.
1.已知,且,求实数p、q所满足的条件.
2.若,则().
A.B.
C.D.
3.已知集合P={x|x2+x-6=0}与集合Q={x|ax+1=0},满足QP,求a的取值组成的集合A。
二.有关子集以及子集个数的问题:
例1:
判定以下关系是否正确
(2){1,2,3}={3,2,1}
(4)0∈{0}(5)={0}(6)∈{0}
解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的.说明:
含元素0的集合非空.
例2:
列举集合{1,2,3}的所有子集.
分析:
子集中分别含1,2,3三个元素中的0、1、2或者3个.
含有0个元素的子集有:
含有1个元素的子集有{1},{2},{3};
含有2个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3};
含有3个元素的子集有{1,2,3}.共有子集8个.
例3:
已知{a、b}A{a、b、c、d},则满足条件集合A的个数为________.
A中必含有元素a,b,又A是{a,b,c,d}子集,所以满足条件的A有:
{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a、b、c、d}。
共3个.
例4:
设集合A={x|x=5-4a+a2,a∈R},B={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系式中正确的是。
例5:
已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合C是这样一个集合:
其各元素都加2后,就变为A的一个子集;
若各元素都减2后,则变为B的一个子集,求集合C.
分析:
逆向操作:
A中元素减2得0,2,4,6,7,则C中元素必在其中;
B中元素加2得3,4,5,7,10,则C中元素必在其中;
所以C中元素只能是4或7.
答:
C={4}或{7}或{4,7}.
A.1个B.2个C.3个D.4个
是
A.8个B.7个C.6个D.5个
4.设I={0,1,2,3,4,5},A={0,1,3,5},B={0},则:
①0________A②{0}________B③CIA________CIB
5.已知A={x|x=(2n+1)π,n∈Z},B={y|y=(4k±
1)π,k∈Z},那么A与B的关系为.
6.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且AB,求a的值。
7.已知集合A={x∈R|x2+3x+3=0},B={y∈B|y2-5y+6=0},
8.已知集合A={x|x=a2+1,a∈N},B={x|x=b2-4b+5,b∈N},求证:
A=B。
课后作业:
A组
1.写出集合{1,2,3}的所有子集,并指出哪些是它的真子集。
2.下列命题:
①空集没有子集;
②任何集合至少有两个子集;
③空集是任何集合的真子集;
④若,则。
其中正确的有()
A、0个B、1个C、2个D、3个
3.设,则A,B的关系是_____________
4.已知,,,求实数的取值范围。
5.已知集合,集合,若,则实数的值。
6.设集合,,若A是B的真子集,求实数的取值范围。
7.用适当的符号填空:
①②③______
④⑤⑥
8.判断下列两个集合之间的关系:
①,是8的约数_________________
②,__________________
③,是4与10的公倍数__________________
9.设集合,,若,求实数的值。
10.下列选项中的M与P表示同一集合的是()
A、,
B、,
C、,
D、,
11.试写出满足条件Æ
的所有集合M
12.写出满足条件的所有集合M
13.已知,求
14.已知集合,,若A=B,求的值。
15.已知集合,,求满足AB的实数的取值范围。
16.设集合,,且BA,求的值。
B组
1.下列命题:
④若Æ
A,则Æ
其中正确的是()
A、0个B、1个C、2个D、3个
2.已知集合,且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有()
A、13个B、12个C、11个D、10个
3.设集合,,则()
A、M=NB、MNC、D、NM
4.已知集合,,且BA,则实数的取值范围是_________________。
5.已知集合,若集合A有且仅有2个子集,则的取值是()
A、1B、C、0,1D、,0,1
6.设,集合,则()
A、1B、C、2D、
7.已知,,则_________________
8.已知,,则_________________
9.已知集合,,若Æ
且BA,求实数的值。
10.如果数集中有3个元素,那么不能取哪些值?
11.不等式组的解集为,,试求及
12.已知集合,
(1)、若,求实数的取值范围。
(2)、若,求A的非空真子集的个数。
1.3集合的基本运算
1.3.1并集:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作“A并B”).即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
如图1-3-1所示。
例如,设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.
解:
A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}
U
CUA
再比如说,设集合A={x|-1<
x<
2},集合B={x|1<
3},求A∪B.
A∪B={x|-1<
2}∪{x|1<
3}={x|-1<
3}
图1-3-1图1-3-2图1-3-3
1.3.2交集:
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
如图1-3-2所示。
例如,设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∩B.
A∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}
再比如说,新华中学开运动会,设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}
B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A∩B.
A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.
1.3.4补集:
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.,如图1-3-3所示。
例如,设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求CuA,CuB
根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CuA={4,5,6,7,8};
CuB={1,2,7,8}.
1.3.5集合中,一些常用的运算性质:
本节精讲
一.有关两个集合的并集、交集的问题
1.已知集合M={直线},N={圆},则M∩N的元素个数为( )个.( )
A.0 B.1C.2 D.不确定
2.(2010·
江西理,2)若集合A={x},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=( )
A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.∅
3.(09·
山东文)集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0 B.1C.2 D.4
4.(2010·
福建文,1)若集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>
2},则A∩B等于( )
A.{x|2<
x≤3} B.{x|x≥1}C.{x|2≤x<
3} D.{x|x>
5.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )
A.a<2 B.a>-2C.a>-1 D.-1<a≤2
6.(08·
山东文)满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( )
A.1 B.2C.3 D.4
7.(09·
全国Ⅱ理)设集合A={x|x>
3},B=,则A∩B=( )
A.∅ B.(3,4)C.(-2,1) D.(4,+∞)
8.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={-1,1,6},则P+Q中所有元素的和是( )
A.9 B.8C.27 D.26
9.已知集合A={x|x=2k+1,k∈N*},B={x|x=k+3,k∈N},则A∩B等于( )
A.B B.AC.N D.R
10.当x∈A时,若x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”,若集合M={0,1,3}的孤星集为M′,集合N={0,3,4}的孤星集为N′,则M′∪N′=( )
A.{0,1,3,4} B.{1,4}C.{1,3} D.{0,3}
二、填空题
11.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且A∪B={2,4,x},则x=________.
12.已知A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1},当A={2}时,集合B=________.
13.(胶州三中2009~2010高一期末)设A={x|x2-px+15=0},B={x|x2+qx+r=0}且A∪B={2,3,5},A∩B={3},则p=______;
q=______;
r=______.
三、解答题
14.已知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}
(1)若A∩B=∅,求a的取值范围.
(2)若A∪B=B,a的取值范围又如何?
15.设集合M={1,2,m2-3m-1},N={-1,3},若M∩N={3},求m.
16.已知A={1,x,-1},B={-1,1-x}.
(1)若A∩B={1,-1},求x.
(2)若A∪B={1,-1,},求A∩B.
(3)若B⊆A,求A∪B.
当x=时,A∪B={1,,-1}.
17.某班参加数学课外活动小组的有22人,参加物理课外活动小组的有18人,参加化学课