中考代数综合第6讲二次函数图象的翻折问题文档格式.docx

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（2）连接OP，若点D在抛物线上且∠DBO+∠POB＝90°

，求点D的坐标；

（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c当﹣1≤x≤3时的函数图象记为l1，将图象l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象l1的其余部分保持不变，得到一个新图象l2．若经过点P的一次函数y＝mx+n的图象与图象l2在第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围．

6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x＝2．

（1）求b的值；

（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．

①当x2﹣x1＝3时，结合函数图象，求出m的值；

②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．

7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝nx2﹣4nx+4n﹣1（n≠0），与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．

（1）求抛物线顶点M的坐标；

（2）若点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；

（3）在

（2）的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线y＝x+m与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．

8.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣

x2+

mx+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O

和点A，点B（4，n）在这条抛物线上．

（1）求B点的坐标；

（2）将此抛物线的图象向上平移

个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在

（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：

当直线y＝

x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

【参考答案】

1.当x≤3时，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象记为G，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y＝x+b与图象M有且只有两

个公共点，则b的取值范围是﹣3＜b＜1或b＝．

【分析】根据题意画出图形，进而利用直线y＝x+b过（﹣1，0）以及（3，0）得出b的值，再利用直线y＝x+b与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有一个交点，求出答案．

【解答】解：

如图所示：

∵y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，解得：

x1＝﹣1，x2＝3，

当直线y＝x+b过（﹣1，0）时，b＝1，当直线y＝x+b过（3，0）时，b＝﹣3，

故当﹣3＜b＜1时，直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有一个交点，

则x2﹣3x﹣3﹣b＝0有两个相等的实数根，故△＝b2﹣4ac＝9+4（3+b）＝0，

解得：

b＝﹣

，

综上所述：

直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范是：

﹣3＜b＜1或

．

故答案为：

﹣3＜b＜1或b＝﹣

【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确利用数形结合分析是解题关键．

【分析】

（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于m的方程，通过解该方程可以求得m的值；

（2）根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；

（3）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．

（1）将A（3，0）代入，得m＝1．

∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．B点的坐标（﹣1，0）．

（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．

∵当﹣2＜x＜1时，y随x增大而减小；

当1≤x＜3时，y随x增大而增大，

∴当x＝1，y最小＝﹣4．当x＝﹣2，y＝5．

∴y的取值范围是﹣4≤y＜5．

（3）当直线y＝kx+b经过B（﹣1，0）和点（4，2）时，解析式为y＝

x+

当直线y＝kx+b经过（﹣2，﹣5）和点（4，2）时，

解析式为y＝

x﹣

结合图象可得，b的取值范围是﹣＜b＜．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度．

（1）把点（1，0）代入抛物线解析式，列出关于m的方程，通过解该方程可以求得m的值，从而得到抛物线的表达式；

（1）∵二次函数y＝x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0），

∴1+m+2m﹣7＝0，解得m＝2．

∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；

（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4．

∵当﹣4＜x＜﹣1时，y随x增大而减小；

当﹣1≤x＜1时，y随x增大而增大，

∴当x＝﹣1，y最小＝﹣4．当x＝﹣4时，y＝5．

∴﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5；

（3）y＝x2+2x﹣3与x轴交于点（﹣3，0），（1，0）．新图象M如右图红色部分．

把抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），

当直线y＝x+b经过（﹣3，0）时，直线y＝x+b与图象M有两个公共点，此时b＝3；

当直线y＝x+b与抛物线y＝﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与图象M有两个公共点，

即﹣（x+1）2+4＝x+b有相等的实数解，整理得x2+3x+b﹣3＝0，△＝32﹣4（b﹣3）＝0，

解得b＝

结合图象可得，直线y＝x+b与图象M有三个公共点，b的取值范围是3＜b＜．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数M的图象是解题的关键．

（1）求出对称轴，根据对称性求出点B坐标，利用待定系数法求出m的值．

（2）画出图象，利用图象即可解决问题．

（3）当直线y＝kx+1经过点（

，﹣

）时，k＝﹣

，推出直线y＝kx+1（k≠0）与图象M在直线

左侧的部分只有一个公共点，由图象可知k＜﹣

，当直线y＝kx+1经过点（﹣1，0）时，k＝1，此时直线y＝kx+1也满足条件，由此即可解决问题．

（1）∵抛物线的对称轴x＝1，点A坐标（3，0），又∵A、B关于对称轴对称，

∴B（﹣1，0），

把点B（﹣1，0）代入得到0＝m+2m﹣3，

∴m＝1．

（2）如图，由图象可知，当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5．

图象M，如图所示，

∴当直线y＝kx+1经过点（，﹣）时，k＝﹣，

∴直线y＝kx+1（k≠0）与图象M在直线

左侧的部分只有一个公共点，由图象可知

k＜﹣

当直线y＝kx+1经过点（﹣1，0）时，k＝1，此时直线y＝kx+1也满足条件，

综上所述，k的取值范围为k＜﹣

或k＝1．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；

（2）如图1中，如图1中，作PH⊥OB于H．由P（1，﹣2），推出tan∠OPH＝

，由

∠DBO+∠POB＝90°

，∠POB+∠P＝90°

推出∠DBO＝∠P，推出tan∠DBO＝

，设BD交y轴于E，则E（0，

），可得直线

BD的解析式为y＝﹣

x+

，利用方程组即可求出点D坐标，同法求出D′；

（3）当直线y＝mx+n经过P（1，﹣2），B（3，0）时，则有

，解得

，可得一次函数的解析式为y＝x﹣3，观察图象即可解决问题；

（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，

所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1中，作PH⊥OB于H．

∵P（1，﹣2），

∴tan∠OPH＝

∵∠DBO+∠POB＝90°

∴∠DBO＝∠P，

∴tan∠DBO＝

），

∴直线BD的解析式为y＝﹣

，由，

解得或，

∴D（﹣

）．

当点D′在x轴下方时，直线BD′的解析式为y＝

解得或．

∴D′（﹣

，﹣

（3）如图2中，

当直线y＝mx+n经过P（1，﹣2），B（3，0）时，则有，解得，

∴一次函数的解析式为y＝x﹣3．

观察图象可知：

n＞﹣3时，直线经过点P的一次函数y＝mx+n的图象与图象l2在第四象限内恰有两个公共点．

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、两直线垂直k的乘积为﹣1等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

（1）根据对称轴x＝﹣，求出b的值；

（2）①先根据x2﹣x1＝3及对称轴方程，确定A、B中一个点的坐标，代入解析式求出

m的值．

②根据图象和x、y的取值范围，可求出m的值．

（1）∵抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x＝2，

∴﹣

＝2，即﹣

＝2

∴b＝2．

（2）①∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3．

∵A（x1，y），B（x2，y），

∴直线AB平行x轴．

∵x2﹣x1＝3，

∴AB＝3．

∵对称轴为x＝2，

∴A（

，m）．

∴当

时，m＝﹣（

）2+4×

﹣3＝﹣

②当y＝m＝﹣4时，0≤x≤5时，﹣4≤y≤1；

当y＝m＝﹣2时，0≤x≤5时，﹣2≤y≤4；

∴m的取值范围为﹣4≤m≤﹣2．

【点评】本题考查了二次函数的性质，图形的翻折变化等知识，解决本题的关键是l理解题意，充分的利用数形结合的思想．

（3）在

（2）的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记

为G，若直线y＝

x+m与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．

（1）利用配方法将已知函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案．．

（2）根据抛物线的对称性质解答；

（3）利用待定系数法求得抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．根据题意作出图象G，结合图象求得m的取值范围．

（1）∵y＝nx2﹣4nx+4n﹣1＝n（x2﹣2）2﹣1，

∴该抛物线的顶点M的坐标为（2，﹣1）；

（2）由

（1）知，该抛物线的顶点M的坐标为（2，﹣1）；

∴该抛物线的对称轴直线是x＝2，

∵点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，

∴点A与点B关于直线x＝2对称，

∴B（4，3）；

（3）∵抛物线y＝nx2﹣4nx+4n﹣1与y轴交于点A（0，3），

∴4n﹣1＝3．

∴n＝1．

∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．

∴抛物线G的解析式为：

y＝x2+4x+3由

x+m＝x2+4x+3．

由△＝0，得：

m＝﹣

∵抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的交点C的坐标为（1，0），

∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为（﹣1，0）．把（﹣1，0）代入y＝

x+m，得：

m＝

把（﹣4，3）代入y＝

m＝5．

∴所求m的取值范围是m＝﹣

或

＜m≤5．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数G的图象是解题的关键．

（1）把原点坐标代入抛物线，解关于m的一元二次方程得到m的值，再根据二次项系数不等于0确定出函数解析式，再把点B坐标代入函数解析式求出n的值，即可得解；

（2）根据向上平移纵坐标加解答即可；

（3）把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉y得到关于x的一元二次方程，根据△＝0求出b的值，然后令y＝0求出抛物线与x轴的交点坐标，再求出直线经过抛物线与x轴左边交点的b值，然后根据图形写出b的取值范围即可．

（1）∵抛物线经过原点O，

∴m2﹣3m+2＝0，

解得m1＝1，m2＝2，

当m＝1时，﹣

＝﹣

＝0，

∴m＝2，

∴抛物线的解析式为y＝﹣

x2+3x，

∵点B（4，n）在这条抛物线上，

∴n＝﹣

×

42+3×

4＝﹣8+12＝4，

∴点B（4，4）；

（2）∵抛物线的图象向上平移

个单位，

∴平移后的图象的解析式y＝﹣

x2+3x+

；

（3）联立，

消掉y得，﹣x2+3x+＝x+b，整理得，x2﹣5x+2b﹣7＝0，

△＝（﹣5）2﹣4×

1×

（2b﹣7）＝0，解得b＝

令y＝0，则﹣

＝0，整理得，x2﹣6x﹣7＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝7，

∴抛物线与x轴左边的交点为（﹣1，0），

x+b经过点（﹣1，0）时，

（﹣1）+b＝0，解得b＝

当该直线经过点（7，0）时，×

7+b＝0，

解得b＝﹣

∴当直线y＝

x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围为b＞

或﹣

＜b＜

【点评】本题是二次函数综合题，主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，难点在于（3）求出直线与抛物线有三个交点时的b值，作出图形更形象直观．