（3）熟练运用数轴、Venn图进行集合的运算．破解集合运算需掌握两招：
①明确元素的性质，确定集合的元素，化简集合．②以形助数，与不等式有关的无限集的运算常利用数轴，注意端点值的取舍，有限集的运算常用Venn图（或直接运算）．掌握集合的交、并、补运算的性质及∅的运算性质．
2．明确命题的条件与结论，结合具体问题理解充分条件、必要条件的含义．
（1）明确命题的条件与结论，是抓住命题的四种形式与相互关系的关键，清楚一个命题与它的逆否命题等价．
（2）理解充分条件、必要条件的含义，是判断、求解充分条件、必要条件的根本．充分条件好理解，可以结合实例具体理解必要条件，如：
x>1⇒x>0，显然x>1是x>0的充分条件，为什么说x>0是x>1的必要条件呢？
如果x≤0，那么不会有x>1，故x>0就是必要的．判断语句p是语句q的什么条件，实质上是判断命题“若p，则q”与“若q，则p”的真假．
【温故知新2】 命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是________．
3．含有简单逻辑联结词的命题要两准：
判准命题的构成形式，判准构成它的简单命题的真假．
清楚逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，掌握含有简单逻辑联结词的命题的真值表，会对含有一个量词的命题进行否定，清楚命题的否命题与命题的否定的区别，否命题是对原命题条件、结论的分别否定，命题的否定是对结论的全盘否定．
4．体会逻辑联结词、量词的作用，体会转化思想．
逻辑联结词、量词在数学中比比皆是，好多数学概念都含有逻辑联结词、量词，如集合的交、并、补运算，子集、真子集，函数的概念，函数的奇偶性、单调性、最值等．这部分内容还蕴含着处理问题的思想方法．如求补集的运算，一个集合和它的补集是对立的，又是统一的，知此可求彼．它启示我们：
在一定范围内直接求解一个问题较困难时，可转而求解它的对立面，从而解决原问题．又如，一个命题与它的逆否命题等价，命题可转化为它的逆否命题．再如，一个命题与它的否定必有一真一假，这是反证法的理论基础．
例1 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
解后反思
1．集合间的关系最终要转化为元素与集合的关系，由元素与集合的关系才能确定集合间的关系，元素与集合的关系与集合间的关系有着内在的联系；
2．求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素与集合的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．
说明：
在解题时，容易利用数轴将B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}表示为如下图所示的情形，犯了两个错误：
一是默认了集合B是非空数集但忽略了前提：
m＋1＜2m－1；二是忽略了B是空集的情形，在数轴上只能表示非空数集．
例2 命题p：
将函数y＝sin2x的图象向右平移
个单位得到函数y＝sin
的图象；命题q：
函数y＝sin
cos
的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”为真命题的个数是________．
解后反思
1．通过逻辑联结词可以写出更复杂的命题，要清楚“或”、“且”、“非”的含义．逻辑联结词“且”表示同时满足，逻辑联结词“或”可以“兼有”，与生活中的“或”含义不同．“非”是否定命题的结论；
2．判断命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”的真假，一要了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，二要判断命题p、q的真假，三要掌握真值表．
例3 已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解后反思
1．将问题等价转化是解决问题的基本策略．根据必要不充分条件的含义，转化为集合间的关系，继而转化为元素与集合的关系，得到参数所满足的关系；
2．根据QP寻求参数的不等式时，可以分类讨论：
或
也可以先利用Q⊆P建立参数的不等式组，再剔除Q＝P的情形．
总结感悟
1．元素与集合的关系与集合间的关系有着内在的联系，集合间的包含关系最终要转化为元素与集合的关系，由元素与集合的关系才能确定集合间的关系．
2．对于集合的运算、集合的关系，认识要全面、完整，不要忽略空集．一般来说，含参数的问题要联想到空集．如A∩B＝∅，不要忽略A或B是∅的情形；
3．往往利用数轴、Venn图进行集合的运算，是数形结合的体现；
4．转化是解决问题的基本策略．含有简单逻辑联结词的命题转化为构成它的简单命题，根据命题的等价关系将p⇒q转化为綈q⇒綈p，根据充分、必要条件转化等．
【误区警示】
1．在考察子集关系、集合运算时不要忽略∅.如A⊆B、A∩B＝∅等中，不要忽略A＝∅的情形；
2．不要认为用不等式表示的数集都是非空集合．如A＝{x|aA级
1．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q＝__________．
2．（2016·全国Ⅰ改编）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________．
3．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为____________________．
4．（2016·山东改编）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“必要”）
5．命题“若a6．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是______________________．
B级
7．已知集合A＝{1，3，
}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________．
8．设常数a∈R，集合A＝{x|（x－1）（x－a）≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为__________．
9．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
10．p：
<0，q：
x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________．
11．下列四个命题：
①∀x∈R，x2＋x＋1≥0；
②∀x∈Q，
x2＋x－
是有理数；
③∃α，β∈R，使sin（α＋β）＝sinα＋sinβ；
④∃x，y∈Z，使3x－2y＝10.
所有真命题的序号是________．
12．已知集合A＝{x|（x－1）（x－a）＝0}，B＝{x|（x－1）（x－2）＝0}，求A∪B.
说明：
学生易混淆“方程的解集”与“方程的解”这两个概念，将集合A＝{x|（x－1）（x－a）＝0}误化简为{1，a}
数学 答案精析
第1讲 集合与逻辑联结词
——“集合”重“算”，“逻辑”重“词”
复习指导
【温故知新1】 解 本小题主要考查集合元素的性质和集合的运算．
由A∩B＝{1}得1∈B，所以有a＋2＝1，或a2＝1，得a＝1或－1.经检验，a＝1时，A∩B＝{1，3}不符合题意；a＝－1时，a2＝a＋2，不符合题意．故不存在实数a，使A∩B＝{1}．
【温故知新2】 若tanα≠1，则α≠
解析 根据原命题与其逆否命题的关系求解．
由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：
若tanα≠1，则α≠
.
题型分析
例1 解 当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2；
当B≠∅时，有
解得2＜m≤4.
综上：
m≤4.
例2 2
解析 函数y＝sin2x的图象向右平移
个单位后，
所得函数为y＝sin
＝sin
，
∴命题p是假命题．
又y＝sin
cos
＝sin
cos
＝sin2
＝
－
cos
，
∴其最小正周期为T＝
＝π，
∴命题q真．由此，可判断命题“p∨q”真，“p∧q”假，“綈p”真．
例3 解 由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，QP，即Q⊆P且Q≠P.
∴
解得－1≤a≤5.
又
无解，
∴实数a的取值范围是[－1，5]．
线下作业
1．{x|13．存在x0∈R，使得x
<0 4.充分不必要
5．若a≥b，则2a≥2b 若a6．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
7．0或3
解析 由A∪B＝A得B⊆A，所以有m＝3或m＝
.由m＝
得m＝0或1，经检验，m＝1时不符合题意，m＝0或3时符合．
8．（－∞，2]
解析 集合A讨论后利用数轴可知，
或
，故a≤2.
9．[0，2]
解析 由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴
或
∴0≤m≤2.
10．（－∞，－1]∪[3，＋∞）
解析 p：
x<3；q：
－1∵p且q为假命题，
∴p，q中至少有一个为假，
∴x≥3或x≤－1.
11．①②③④
12．解 由（x－1）（x－a）＝0，
得x1＝1，x2＝a，
当a＝1时，A＝{1}；
当a≠1时，A＝{1，a}．
B＝{x|（x－1）（x－2）＝0}＝{1，2}．
所以①a＝1时，A∪B＝{1，2}；
②a＝2时，A∪B＝{1，2}；
③a≠1且a≠2时，A∪B＝{1，2，a}．
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