，
故实数a的取值范围是
∪[1，＋∞）．
本例条件不变，若p∧q为真，则a的取值范围是________．
答案
解析 由p∧q为真，知p，q都为真，
∴a的取值范围是
.
触类旁通
根据命题真假求参数的方法步骤
（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；
（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
【变式训练2】 命题p：
∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0,4]B．[0,4]
C．（－∞，0]∪[4，＋∞）D．（－∞，0）∪（4，＋∞）
答案 D
解析 因为命题p：
∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题綈p：
∃x0∈R，ax
＋ax0＋1<0，则a<0或
解得a<0或a>4.
核心规律
1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．
2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．
3.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．
满分策略
1.判断命题的真假要注意：
全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
2.命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列2——利用逻辑推理解决实际问题
[2017·全国卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解题视点 解决此题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑分析去判断真假．
解析 由甲说：
“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.
答案 D
答题启示 在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．
跟踪训练
a，b，c为三个人，命题A：
“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：
“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．
答案 c，a，b
解析 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．
由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.
同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.
故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：
b最大，a次之，c最小．
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·沈阳模拟]命题“∃x0∈∁RQ，x
∈Q”的否定是（ ）
A．∃x0∉∁RQ，x
∈QB．∃x0∈∁RQ，x
∈Q
C．∀x∉∁RQ，x3∈QD．∀x∈∁RQ，x3∉Q
答案 D
解析 该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．
2．[2017·湖北武汉调研]命题“y＝f（x）（x∈M）是奇函数”的否定是（ ）
A．∃x∈M，f（－x）＝－f（x）
B．∀x∈M，f（－x）≠－f（x）
C．∀x∈M，f（－x）＝－f（x）
D．∃x∈M，f（－x）≠－f（x）
答案 D
解析 命题“y＝f（x）（x∈M）是奇函数”的否定是∃x∈M，f（－x）≠－f（x），故选D.
3．[2018·安徽六校素质测试]设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则（ ）
A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q
答案 B
解析 因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，
>2
答案 B
解析 当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题．
5．[2018·湖南模拟]已知命题p：
若x>y，则－x<－y；命题q：
若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是（ ）
A．①③B．①④
C．②③D．②④
答案 C
解析 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（綈q）为真命题；④（綈p）∨q为假命题．故选C.
6．[2018·浙江模拟]命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）>n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）>n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）>n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）>n0
答案 D
解析 全称命题的否定是特称命题．选D项．
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件
C．命题“∃x0∈R，x
＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”
D．若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题
答案 B
解析 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A错误；ab≠0等价于a≠0且b≠0，所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件，B正确；命题“∃x0∈R，x
＋x0＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，C错误；若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，D错误．综上所述，故选B.
8．已知p：
>0，则綈p对应的x的集合为________．
答案 {x|－1≤x≤2}
解析 ∵p：
>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：
－1≤x≤2.
9．[2018·河南模拟]若命题“∃x0∈R，使得x
＋ax0＋a＋3<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 －2≤a≤6
解析 由命题“∃x0∈R，使得x
＋ax0＋a＋3<0”为假命题，得命题“∀x∈R，都有x2＋ax＋a＋3≥0”为真命题，则Δ＝a2－4（a＋3）≤0，解得－2≤a≤6.
10．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：
甲：
中国非第一名，也非第二名；
乙：
中国非第一名，而是第三名；
丙：
中国非第三名，而是第一名．
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．
答案 一
解析 由题可知：
甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．
[B级 知能提升]
1．[2018·青岛模拟]下列命题中，是真命题的是（ ）
A．∃x0∈R，ex≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．已知a，b为实数，则a＋b＝0的充要条件是
＝－1
D．已知a，b为实数，则a>1，b>1是ab>1的充分条件
答案 D
解析 对于A，对任意x∈R，ex>0，所以A为假命题；对于B，当x＝2时，有2x＝x2，所以B为假命题；对于C，
＝－1的充要条件为a＋b＝0且b≠0，所以C为假命题；对于D，当a>1，b>1时，显然有ab>1，充分性成立，当a＝4，b＝
时，满足ab>1，但此时a>1，b<1，必要性不成立，所以“a>1，b>1”是“ab>1”的充分不必要条件，所以D为真命题．故选D.
2．已知命题p：
∀x>0，x＋
≥4；命题q：
∃x0∈（0，＋∞），2x0＝
，则下列判断正确的是（ ）
A．p是假命题B．q是真命题
C．p∧（綈q）是真命题D．（綈p）∧q是真命题
答案 C
解析 p：
∵x>0，∴x＋
≥2
＝4，∴p为真命题．
q：
当x>0时，2x>1，∴q为假命题．
∴p∧（綈q）是真命题．故选C.
3．已知命题p：
方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：
x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题q∨（p∧q）真、綈p真，则实数m的取值范围是________．
答案 （1,2）
解析 由于綈p真，所以p假，则p∧q假，又q∨（p∧q）真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－4<0，解得－21.所以所求的m的取值范围是14．[2018·桂林模拟]给定两个命题：
p：
对任意实数x，都有ax2＋ax＋1>0恒成立，q：
函数y＝3x－a在x∈[0,2]上有零点，如果（綈p）∧q为假命题，綈q为假命题，求a的取值范围．
解 若p为真命题，则有
或a＝0，即0≤a<4，故当p为真命题时，0≤a<4.
若q为真命题时，方程3x－a＝0在x∈[0,2]上有根．
∵当x∈[0,2]时，有1≤3x≤9，∴1≤a≤9，
即当q为真命题时，1≤a≤9.
∵（綈p）∧q为假命题，∴綈p，q中至少有一个为假命题．
又∵綈q为假命题，∴q为真命题．
∴綈p为假命题，p为真命题．
∴当p，q都为真时，
即1≤a<4.
故所求a的取值范围是[1,4）．
5．已知m∈R，命题p：
对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：
存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
解
（1）∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴（2x－2）min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.
因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．
（2）∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，
∴m≤x，命题q为真时，m≤1.
∵p且q为假，p或q为真，
∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，则
解得1当p假q真时，
即m<1.
综上所述，m的取值范围为（－∞，1）∪（1,2]．
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